方法定義

一般地，假設原命題不成立， (即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

適用范圍

正難則反的情形；

正面情形多于反面情形；

常用于“至多”型、“至少”型命題、“唯一性”命題、“存在性”命題的證明。

推出矛盾

與題目的已知條件矛盾，

與已知的公理、定理、定義矛盾，

與臨時假定矛盾

自相矛盾

否定形式

比如給定命題(p)：若(xge 0)且(yge 0)，則(x+yge 0)；

命題的否定，(p)的否定形式：若(xge 0)且(yge 0)，則(x+y< 0)；(假命題)

命題的否命題(
eg p)：若(x<0)或(y<0)，則(x+y<0)；(假命題)

常見的正面詞語的否定形式

正面詞語	否定	正面詞語	否定	正面詞語	否定
且	或	等于(=)	不等于( eq)	大于>	不大于(leq)
小于<	不小于(ge)	是	不是	都是	不都是(至少有一個不是)
至多有一個	至少有兩個	至少有一個	一個也沒有	任意的	某些
所有的	某個	三數中有一偶數	至少兩個偶數或全奇數

典例剖析

例1【正面情形多，不好說明的】已知(age -1)，求證三個方程：(x^2+4ax-4a+3=0)，(x^2+(a-1)x+a^2=0)，(x^2+2ax-2a=0)中至少有一個方程有實數根。

分析：若從正面思考，那么應該有七種情形，比如三個方程中僅僅有一個有實根的有三種情形，有兩個方程有實根的有三種情形，三個方程都有實根的有一種情形，

那么從正面入手計算，其情形比如會很復雜，故這樣的題目往往選擇反證法。

解析：使用反證法，假設三個方程都沒有實數根，則其必然滿足

(left{egin{array}{l}{(4a)^2-4(-4a+3)<0}\{(a-1)^2-4a^2<0}\{(2a)^2-4 imes (-2a)<0}end{array}ight.) (Rightarrow) (left{egin{array}{l}{-cfrac{3}{2}<a<cfrac{1}{2}}\{a>cfrac{1}{3}或a<-1}\{-2<a<0}end{array}ight.)

即(-cfrac{3}{2}<a<-1)，這與已知(age -1)矛盾，

所以假設不成立，故原命題成立。即三個方程中至少有一個方程有實數根。

例2

已知(f(x)=ax^2+bx+c)，若(a+c=0)，(f(x))在([-1，1])上的最大值為(2)，最小值為(-cfrac{5}{2})。

求證：(a
eq 0)且(|cfrac{b}{a}|<2)。

證明：假設(a= 0)或(|cfrac{b}{a}|ge 2) ，

(1)當(a=0)時，由(a+c=0)，得到(f(x)=bx)，顯然(b
eq 0)，

由題意可得，(f(x)=bx)在區間([-1，1])上是單調函數，

故(f(x))的最大值為(|b|)，最小值為(-|b|)，故最值之和為(|b|-|b|=0)，

而又題目可知，最值之和為(2-cfrac{5}{2}=-cfrac{1}{2})，和已知矛盾。

故(a
eq 0)。

(2)當(|cfrac{b}{a}|ge 2)時，由二次函數的對稱軸為(x=-cfrac{b}{2a})可知，(|x|=cfrac{1}{2}|cfrac{b}{a}|ge 1)，

故(f(x))在區間([-1，1])上是單調函數，其最值在端點處取到，所以有

(left{egin{array}{l}{f(1)=a+b+c=2}\{f(-1)=a-b+c=-cfrac{5}{2}}end{array}ight.)或(left{egin{array}{l}{f(1)=a+b+c=-cfrac{5}{2}}\{f(-1)=a-b+c=2}end{array}ight.)

結合(a+c=0)，解得(b=2)且(b=cfrac{5}{2})或(b=-2)且(b=-cfrac{5}{2})，這是不可能的。

所以(|cfrac{b}{a}|<2)

故由(1)(2)可知， 得到(a
eq 0)且(|cfrac{b}{a}|<2)。

引申：還可以證明函數(f(x))的對稱軸必然會在區間([-1，1])內；或者證明(|b|<2|a|)；或者證明函數(f(x))在區間([-1，1])上不單調。

例3設(x，y，z>0)，則三個數(cfrac{y}{x}+cfrac{y}{z})，(cfrac{z}{x}+cfrac{z}{y})，(cfrac{x}{z}+cfrac{x}{y})【】

$A.都大于2$ $B.至少有一個大于2$ $C.至少有一個不小于2$ $D.至少有一個不大于2$

分析：假設三個數都小于(2)，

則(cfrac{y}{x}+cfrac{y}{z}+cfrac{z}{x}+cfrac{z}{y}+cfrac{x}{z}+cfrac{x}{y}<6)，

又由于(cfrac{y}{x}+cfrac{y}{z}+cfrac{z}{x}+cfrac{z}{y}+cfrac{x}{z}+cfrac{x}{y}=(cfrac{y}{x}+cfrac{x}{y})+(cfrac{z}{x}+cfrac{x}{z})+(cfrac{y}{z}+cfrac{z}{y})ge 6)

這與假設矛盾，故假設不成立，即三個數不都小于(2)，即至少有一個不小于(2)，故選(C)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的反证法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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