若 $p,q > 1$，且$frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1$，則對(duì)于任意的 $n$ 維向量$a = left { x_{1},x_{2},...,x_{n} ight }$，$b = left { y_{1},y_{2},...,y_{n} ight }$，有

$$sum_{i = 1}^{n}|x_{i}|cdot |y_{i}| leq left ( sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} ight )^{frac{1}{p}}left ( sum_{i=1}^{n}|y_{i}|^{q} ight )^{frac{1}{q}}$$

證明：

令$u = frac{|x_{i}|}{left ( sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} ight )^{frac{1}{p}}}$，$v = frac{|y_{i}|}{left ( sum_{i=1}^{n}|y_{i}|^{q} ight )^{frac{1}{q}}}$，由楊氏不等式有

$$uv = frac{|x_{i}|}{left ( sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} ight )^{frac{1}{p}}} cdot frac{|y_{i}|}{left ( sum_{i=1}^{n}|y_{i}|^{q} ight )^{frac{1}{q}}} leq frac{u^{p}}{p} + frac{v^{q}}{q} = frac{|x_{i}|^{p}}{psum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} } + frac{|y_{i}|^{q}}{ qsum_{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}}$$

對(duì)于上式兩邊 $i$ 從 $1$ 到 $n$ 做連加得

$$sum_{i=1}^{n}frac{|x_{i}|}{left ( sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} ight )^{frac{1}{p}}} cdot frac{|y_{i}|}{left ( sum_{i=1}^{n}|y_{i}|^{q} ight )^{frac{1}{q}}} leq sum_{i=1}^{n}frac{|x_{i}|^{p}}{psum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} } + sum_{i=1}^{n}frac{|y_{i}|^{q}}{ qsum_{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}} = frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1$$

$$ herefore sum_{i=1}^{n} uv leq 1$$

于是有

$$sum_{i = 1}^{n}|x_{i}|cdot |y_{i}| leq left ( sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p} ight )^{frac{1}{p}}left ( sum_{i=1}^{n}|y_{i}|^{q} ight )^{frac{1}{q}}$$

證畢

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的赫尔德(Holder)不等式的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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