第十三講 Penrose 廣義逆矩陣(I)

一、Penrose 廣義逆矩陣的定義及存在性

所謂廣義，即推廣了原有概念或結果。我們知道，逆矩陣概念是針對非奇異的（或稱為滿秩的）方陣。故這一概念可推廣到：（1）奇異方陣；（2）非方矩陣。事實上， Penrose廣義逆矩陣涵蓋了兩種情況。

對于滿秩方陣A, A存在，且AA＝AA＝I 故，當然有

這四個對滿秩方陣顯然成立的等式構成了Penrose廣義逆的啟示。

Penrose定義：設AC，若ZC且使如下四個等式成立，

AZA = A, ZAZ = Z, (AZ) = AZ , (ZA) = ZA

則稱Z為A的Moore-Penrose(廣義)逆，記為，A。

而上述四個等式有依次稱為Penrose方程（i）,(ii) ,(iii) ,(iv)。

Moore-Penrose逆的存在性和唯一性

定理：任給AC，A均存在且唯一。

證明：存在性.
AC，均存在酉矩陣UC，VC使

UAV = D =即 A = UDV

其中，是AA的全部非零特征值。

此時，令Z＝VU
C 則

＝

即，

其中,

唯一性：設Z ,Y均滿足四個Penrose方程，則

即，滿足四個Penrose方程的Z是唯一的.

該證明實際上給出了Moore-Penrose逆的一種構造方法。由的唯一性可知：(1)當A 為滿秩方陣時，; (2) 實際上還是一個限制相當嚴格，狹窄的量，可考慮更加放寬。

{}-逆的定義：，若且滿足Penrose方程中的第個方程，則稱Z為A 的-逆，記為，其全體記為。-逆共有類，但實

際上常用的為如下5類：A{1}, A{1,2}, A{1,3}, A{1,4}, A{1,2,3,4}＝

二、{1}-逆的性質

引理：

證明：矩陣的秩＝行秩＝列秩. 將

（1）設,則必存在 成為線性無關的向量組。所以，其它列向量可表示為:

可見AB 的各列向量均為的線性組合。亦即

(2) 同理。設,則必存在 成為線性無關的向量組。所以，其它列向量可表示為:

可見，AB的各行向量均為的線性組合，故

合起來即

定理：設, 則

(1)

(2)

(3) S、T為可逆方陣且與A可乘，則

(4) (

(5) ()

(6)

(7)

(8)

證明：(1)

(2) 時，，.顯然成立.

時，

(3)

(4)

(5)

又

同理，

(6) ,

同理

又法：將寫成

均為m維列向量，則

即

故

同理

又法：

又 故

在中，將換為，換為,則有

(7) 以 為例.

即為m階滿秩可逆方陣,存在。

又 冪等： , 乘以 ，得

(8)

即，使 故

對

又，

即，，使 . 故

定理：矩陣A當且僅當A 為滿秩方陣時具有唯一的{1}逆，此時

作業：P306 3，4，5

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總結

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