該系列為DR_CAN動態(tài)系統(tǒng)的建模與分析系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由于筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。

1 一階系統(tǒng)的一般形式

2 單位階躍

3 階躍響應(yīng)

將單位階躍函數(shù)的 (s) 域表示與一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相乘，我們可以得到這個系統(tǒng)的輸出，再對其進行拉普拉斯逆變換，即可得到系統(tǒng)輸出在時域中的表現(xiàn)：

4 時間常數(shù)

時間常數(shù)（英語：Time constant）是一個描述一階線性時不變系統(tǒng)中對隨時間變化的輸入信號的響應(yīng)能力的參數(shù)，由上升沿時間確定，通常用 ( au) 表示，在形式為 (a/(s+a)) 的一階系統(tǒng)中，( au = 1/a) ，當(dāng) (t = au) 時，系統(tǒng)的輸出約等于收斂值的0.63倍。

類似的，穩(wěn)定時間，也叫整定時間 (T_{ss} = 4 au) 。也就是四倍的時間常數(shù)，當(dāng) (t = T_{ss}) 時，系統(tǒng)的輸出約等于收斂值的0.98倍：

5 系統(tǒng)識別

時間常數(shù)是一階線性時不變系統(tǒng)的一個主要的特征參數(shù)，因此我們可以通過時間常數(shù)來進行系統(tǒng)識別。

以上一節(jié)的流體模型為例，我們通過一個管子像水槽中注水，并且注水的速度是恒定的 (C = 5) ，通過記錄水位高度的變化曲線，我們可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)定時間，從而得到系統(tǒng)的時間常數(shù)。

假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定時間為4s，即系統(tǒng)輸出等于0.98倍的 (C) 時 (t=4)，那這個系統(tǒng)的時間常數(shù)就為1。我們又可以根據(jù)( au = 1/a) ，即 ( au = R/g) ，計算出 (R) 的值。這樣一來我們就得到了這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

6 換一種思路

左上角的圖是通過傳遞函數(shù)來分析得到的這個一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。另外的，我們可以拋開傳遞函數(shù)，通過相空間來分析這個系統(tǒng)的響應(yīng)，關(guān)于相空間可以參考筆者之前的博客3B1B微分方程系列筆記（一）。

首先我們寫出描述這個系統(tǒng)階躍響應(yīng)的微分方程，這個微分方程可以通過拉普拉斯逆變換得到，即圖片左下部分的公式，我們可以以 (x) 和 (dot{x}) 為坐標(biāo)軸畫出圖形，其中藍色和褐色部分分別表示 (a) 為不同極性時的情況。而黑色和綠色部分分別代表 (a>0) 時初始位置不同的情況。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的（四）一阶系统的阶跃响应与时间常数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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