調(diào)頻連續(xù)波原理

FMCW（Frequency Modulated Continuous Wave）,即調(diào)頻的連續(xù)信號(hào)。在許多方面得到應(yīng)用，比如生物雷達(dá)，車載雷達(dá)，無(wú)人機(jī)雷達(dá)等等方面都有FMCW波的應(yīng)用,目前的商業(yè)化的雷達(dá)模塊大多使用的該原理來(lái)實(shí)現(xiàn)雷達(dá)的測(cè)距，測(cè)速。

1 信號(hào)的模型

一般而言我們使用Chirp信號(hào)。下圖為一個(gè)典型的Chirp信號(hào)的模型，從時(shí)域波看，其波形時(shí)一個(gè)頻率隨時(shí)間線性變換的波形。設(shè)線性調(diào)制波的波形的是鋸齒波。則下圖為典型的Chirp信號(hào)在時(shí)域和頻域的圖形如圖所示。所以可以發(fā)射信號(hào)的公式(1)：

\[S_t(t) = Acos[2\pi(f_0+S*t)t+\phi_0]\tag1
\]

其中\(zhòng)(S\)為鋸齒波的斜率，值為信號(hào)的調(diào)頻的帶寬除于調(diào)制的周期\(\frac{B}{T_c}\)，所以式子(1)的相位可以寫為以下的形式(2):

\[p_(t) = {2\pi[(f_0+\frac{B}{2})t+\frac{1}{2T}Bt^2]+\phi_0},t\in[0,T_c]\tag2
\]

圖1 chirp信號(hào)的時(shí)域圖和f-t圖

補(bǔ)充以下簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)，相位的導(dǎo)數(shù)是頻率，下邊的公式(3)

\[f = \frac{\partial\phi(t)}{2\pi\partial t}\tag3
\]

2 靜止情況測(cè)距

設(shè)靜止的目標(biāo)距離雷達(dá)的距離為\(R\)，電磁波在空氣中傳輸速度為c，則接受的信號(hào)接受機(jī)接受到的信號(hào)比發(fā)射的信號(hào)延遲\(\tau = \frac{2R}{c}\),所以理想中接受機(jī)的目標(biāo)回波信號(hào)如為式(4):

\[S_r(t) = KAcos(2\pi[(f_0+\frac{B}{2})(t-\tau)+\frac{1}{2T}B(t-\tau)^2]+\phi_0)\tag4
\]

將接收到信號(hào)\(S_r(t)和S_t(t)\)進(jìn)行混頻處理，處理的簡(jiǎn)單圖如圖所示。對(duì)于當(dāng)個(gè)目標(biāo)得到的頻率圖如圖2所示，

圖2 回波信號(hào)和發(fā)射信號(hào)
圖中黑色的虛線便是中頻信號(hào)的頻率，這個(gè)時(shí)候很明顯的看出發(fā)射信號(hào)和單目標(biāo)的回波信號(hào)的頻率差為一個(gè)單頻信號(hào)由公式（4）得到接收回波信號(hào)的相位表達(dá)式子(5):
$$
p_r=2\pi[(f_0+\frac{B}{2})(t-\tau)+\frac{1}{2T}B(t-\tau)^2]+\phi_0\tag5
$$
則中頻信號(hào)的相位公式(6)為：
$$
\begin{align}
p_m(t) &= p_s(t) - p_r(t)\
&=2\pi \frac{B}{T_c} \frac{2R}{c}t \tag6
\end{align}

通過(guò)這個(gè)式子可以知道中頻的頻率為\(f_{IF} = 2\pi \frac{B}{T_c} \frac{2R}{c}\)，所以在雷達(dá)系統(tǒng)中可以將中頻使用ADC變成數(shù)字信號(hào)后使用FFT測(cè)量頻率\(f_{IF}\)，其他的參數(shù)可知來(lái)測(cè)量\(R\),顯然距離公式R為(7):

\[R=\frac{_{f_{IF}T_c c}}{2\pi B}\tag 7
\]

同理該原理可以推到多目標(biāo)的情況，當(dāng)目標(biāo)多于單個(gè)時(shí)候，計(jì)算得到的FFT的頻率譜存在多個(gè)峰值，如圖3所示

圖3 多目標(biāo)頻域示意圖
### 3 運(yùn)動(dòng)情況下測(cè)速

設(shè)在電磁波的覆蓋區(qū)域中，某一目標(biāo)在\(t_0\)時(shí)刻距離發(fā)射天線為\(R_0\),以徑向\(v\)遠(yuǎn)離天線（以遠(yuǎn)離天線為正方向），那么接受到的目標(biāo)的回波信號(hào)公式如（4）所示，但是\(\tau\)有所改變，\(\tau = \frac{2R(t)}{c} = \frac{2(R_0+vt)}{c}\)為信號(hào)的延時(shí)，這個(gè)時(shí)候通過(guò)混頻后得到中頻信號(hào)的相位如（8）：

\[\begin{align}\notag
p_m(t) &= p_s(t) - p_r(t)\\
&=2\pi \{{[\frac{2}{c}(f_0+\frac{B}{2})v-\frac{4BR_0v}{Tc^2}+\frac{2BR_0}{Tc}]t
+(\frac{2Bv}{Tc}-\frac{2Bv^2}{Tc^2})t^2+\frac{2R_0}{c}(f_0+\frac{B}{2})-\frac{2BR_0}{Tc^2}}\}\tag8
\end{align}
\]

很顯然對(duì)于運(yùn)動(dòng)的信號(hào)的中頻信號(hào)依然是一個(gè)線性調(diào)頻信號(hào)，所以信號(hào)的參數(shù)帶寬\(B_m\)，載頻\(f_m\)，初相\(\phi_m\)

\[\begin{align}\notag
B_m &= \frac{4Bv}{c}-\frac{4Bv^2}{c^2}\tag9 \\
f_m& = \frac{2BR_0}{Tc}+\frac{2vf_0}{c}+\frac{Bv}{c}-\frac{4BR_0v}{Tc^2}+\frac{2Bv^2}{c^2}\notag \\
&\approx\frac{2BR_0}{Tc}+\frac{2vf_0}{c}\tag{10}\\
\phi_m &=2\pi[\frac{2R_0}{c}(f_0+\frac{B}{2})-\frac{2BR_0}{Tc^2}]\tag{11}
\end{align}
\]

所以運(yùn)動(dòng)下的回波信號(hào)的中頻信號(hào)依然可以寫成（12）：

\[r_m(t) = A_mcos\{{2\pi[(f_m+\frac{B_m}{2})t+\frac{1}{2T}B_mt^2]+\phi_m}\} \tag{12}
\]

寫成復(fù)指數(shù)的形式（13）：

\[r_m(t) = A_m e^{j\phi_m}.e^{[{j2\pi(f_m+\frac{B_m}{2})t+\frac{\pi}{T}B_mt^2}]} \tag{13}
\]

這個(gè)時(shí)候可以得到運(yùn)動(dòng)信號(hào)的中頻信號(hào)，從（9）~(11)式子中可以顯然看出帶寬\(B_m\)，載頻\(f_m\)，初相\(\phi_m\)都和目標(biāo)的\(v\)存在聯(lián)系。現(xiàn)在對(duì)其采樣從模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化到數(shù)字信號(hào)來(lái)進(jìn)入數(shù)字芯片進(jìn)行處理，得到距離和速度的信息。設(shè)我們使用的ADC的采樣時(shí)間為\(T_s\)，得到離散化后的信號(hào)\(r[n]\)。并對(duì)其使用DFT計(jì)算(15):

\[\begin{align}
r_m[n] &= A_m e^{j\phi_m}.e^{\{j2\pi[(f_m+\frac{B_m}{2})nT_s+\frac{\pi}{T}B_m(nT_s)^2]\}} \tag{14} \\
X[k]&= DFT(r[n]) = \sum_{n=0}^{N-1} r[k] e^{\frac{-j2\pi kn}{N}} \notag \\
&=A_m e^{j\phi_m}.\sum_{n=0}^{N-1}e^{\{j2\pi[(f_m+\frac{B_m}{2})nT_s+\frac{1}{2T}B_m(n^T_s)^2]-\frac{kn}{N}\}}\tag{15}
\end{align}
\]

\(f_m\)和速度\(v\)和\(R_0\)有關(guān)，但是在掃頻過(guò)程中，\(f_m\)的變化不大，所以不容易計(jì)算出目標(biāo)的徑向速度，但是可以得到在掃頻周期，信號(hào)的包絡(luò)\(\chi_l[k]\)。

\[\begin{align}
\chi_l[k]&=A_m e^{j\phi_m} \notag \\
&=A_me^{\{j2\pi[\frac{2R_0+VTl)}{c}(f_0+\frac{B}{2}) -\frac{2B(R_0+vlT)^2}{Tc^2}]\}} \ \ l=0,1,2...M \tag{16}
\end{align}
\]

通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，有興趣自己計(jì)算

\[\begin{align}
f_v &= \frac{(f_0+\frac{B}{2})v}{c}-\frac{4BR_0v}{Tc^2}\notag\\
&\approx\frac{(f_0+\frac{B}{2})v}{c} \tag{17}
\end{align}
\]

這樣就可以得到速度和距離的信息，這個(gè)是基本的調(diào)頻連續(xù)波測(cè)速和測(cè)距的原理。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的调频连续波原理（1）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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