馬爾可夫轉(zhuǎn)換場（MRF,Markov Transition Fields)

MRF

????馬爾可夫轉(zhuǎn)換場(MRF, Markov Transition Fields)比GAF要簡單一些，其數(shù)學(xué)模型對于從事數(shù)據(jù)科學(xué)的工程師來說也并不陌生，諸如馬爾可夫模型或隱含馬爾可夫模型(HMM)也是我們經(jīng)常會用到的建模方法，在自然語言處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等數(shù)據(jù)科學(xué)任務(wù)中也會經(jīng)常遇到。
????我們假設(shè)一個長度為 $N$ 的時序數(shù)據(jù)，第一步我們把每一個值放到一個分位數(shù)中，例如，如果我們使用四分位數(shù)，那么就是把所以的值放置到其屬于的分位桶中，25%，50%，75%，100%。這有點(diǎn)類似于直方圖中的bin值。我們可以把每一個桶想象成馬爾可夫模型中的一種狀態(tài)。

馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

????接下來，我們構(gòu)造馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：
$$A_{ij}=P(s_t=j|s_{t?1}=i)$$

記得這里的 $A_{ij}$ 代表從狀態(tài) $i$ 轉(zhuǎn)到狀態(tài) $j$ 的轉(zhuǎn)移概率，如果我們用 $Q$ 分位數(shù)，那么這個矩陣就是 $Q\times Q$

通常情況下，我們會采用最大似然法來估計(jì)轉(zhuǎn)移概率，簡單來說 $A_{ij}$ 可以用從狀態(tài) $i$ 到 $j$ 的計(jì)數(shù)除以狀態(tài) $i$ 的次數(shù)或者是計(jì)數(shù)矩陣進(jìn)行規(guī)范化。可以看到，從原時序數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化來的馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對于原數(shù)據(jù)的分布不太敏感，并且丟失了時間信息，這并不是一個好事。所以MTF浮出水面。

MTF，馬爾可夫轉(zhuǎn)換場

? MTF，即馬爾可夫轉(zhuǎn)換場,記作 $M$ ,是一個 $N\times N$ 矩陣，$N$ 為時序長度：

$$M_{kl}=A_{q_k{q}_l}$$

其中，$q_k$ 是 $x_k$ 的分位桶，$q_l$ 是 $x_l$ 的分位桶，$x$ 為時序數(shù)據(jù)。

MTF 形如:

$$M=?\begin{array}{cccc}{w}_{i,j|x_1\in q_i,x_1\in q_j}& w_{i,j|x_1\in q_i,x_2\in q_j}& \dots & w_{i,j|x_1\in q_i,x_n\in q_j}\\ w_{i,j|x_2\in q_i,x_1\in q_j}& w_{i,j|x_2\in q_i,x_2\in q_j}& \dots & w_{i,j|x_2\in q_i,x_n\in q_j}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ w_{i,j|x_n\in q_i,x_1\in q_j}& w_{i,j|x_n\in q_i,x_2\in q_j}& \dots & w_{i,j|x_n\in q_i,x_n\in q_j}\end{array}?$$

注意這里的 $M$ 和 $A$ 是不一樣的 ,$A$ 中的下表是狀態(tài)，而 $M$ 中的下標(biāo)是時序數(shù)據(jù)中的時間。相對于 $A$ 的意義來講，$M_{kl}$ 是 $x_k$ 所在的分位桶轉(zhuǎn)移到 $x_l$ 所在的分位桶的概率。如下這種表示可能比較容易理解：

$$M_{i,j||i?j|=k}$$ 表示了時間間隔為 $k$ 個點(diǎn)的轉(zhuǎn)移概率，例如 $M_{ij|j?i=1}$ 就表示在時間軸上相差一步的轉(zhuǎn)移概率。對角線上 $M_{ii}$ 是一種特殊情況，它意味著 ($k=0$ )在時間點(diǎn) $i$ 每一個分位桶轉(zhuǎn)移到自身的概率。

MTF表示了時序數(shù)據(jù)中的任意兩個時間點(diǎn)的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，相對的給出了它們之間從狀態(tài)上看是否經(jīng)常相鄰。

MTF 聚合壓縮

? 有的時候，我們希望能夠壓縮MTF矩陣的尺寸，尤其是MTF應(yīng)用于可視化的時候。最常用的方法是對MTF圖像中的像素進(jìn)行求平均聚合運(yùn)算，就是對每一個非重疊的 $m\times m$ 窗口使用模糊核（blurring kernel） $\{\frac{1}{m^2}{\}}_{m\times m}$進(jìn)行平均。這種操作可以理解為對每一個長度為 $m$ 的序列的轉(zhuǎn)換概率進(jìn)行聚合運(yùn)算。

? 下圖簡單解釋了MTF的整個過程:

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的时序分析 43 -- 时序数据转为空间数据 (二) 马尔可夫转换场的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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