今天呢@assassain julao講了一個(gè)在OI中極其重要，極其有趣，把無(wú)數(shù)人坑退役的知識(shí)點(diǎn)：網(wǎng)絡(luò)流。

網(wǎng)絡(luò)流呢顧名思義，就是在一個(gè)圖中邊有流量的限制，并根據(jù)這些流量限制做一些跟這個(gè)有關(guān)的事（ti）情（mu）。什么，范圍？按zzh神犇的話來(lái)說(shuō)，就是考試中那些看上去像是dp卻又推不出式子的問(wèn)題的通用解法。

按照問(wèn)題的傾向，我們將問(wèn)題分為三類：最大流、最小割、最小費(fèi)用流。

大家看好我要開(kāi)始口胡了

首先我們研究最大流，介紹最大流大部分解法原理，增廣路定理：只要存在增廣路，流就可以繼續(xù)增大。證明顯而易見(jiàn)，這里省去其實(shí)是我不會(huì)證。運(yùn)用這一定理的算法有多種，這里只介紹最常見(jiàn)的Dinic算法。Dinic的原理可以概括為“層次圖”和“阻塞流”，即不斷使用bfs構(gòu)造出層次圖，在層次圖中每一層多路增廣，卡掉小邊，最后從源點(diǎn)到不了匯點(diǎn)的時(shí)候流的大小即為最大流。圖中最多有n層，會(huì)擴(kuò)展n次，每次擴(kuò)展中有n個(gè)節(jié)點(diǎn)搜索，進(jìn)退流m次，因此單次增廣時(shí)間復(fù)雜度為$O(nm)$，總的時(shí)間復(fù)雜度上限為$O(n^2m)$，實(shí)際上遠(yuǎn)沒(méi)有這么差，如果是二分圖匹配這種情況，甚至可以證（chui）明（bi）出時(shí)間復(fù)雜度為$O(\sqrt{n}m)$，浮動(dòng)太大，因此接下來(lái)我們將不再討論時(shí)間復(fù)雜度問(wèn)題明明是你太蒻討論不了啊喂，只認(rèn)為時(shí)間復(fù)雜度有兩種可能：$O(能過(guò))$、$O(不能過(guò))$。直接貼板子。

1 int S,T; 2 int f[maxn][maxn],num[maxn][maxn],cnt,dist[maxm]; 3 int flag[maxn][maxn]; 4 bool bfs() 5 { 6 memset(dist,-1,sizeof(dist)); 7 dist[S]=1; 8 queue<int>q;q.push(S); 9 while(!q.empty()) 10 { 11 int t=q.front();q.pop(); 12 for(int i=head[t];i!=-1;i=edge[i].next) 13 { 14 int v=edge[i].to; 15 if(edge[i].flow>0&&dist[v]<0) 16 { 17 dist[v]=dist[t]+1; 18 q.push(v); 19 if(v==T)return 1; 20 } 21 } 22 } 23 return 0; 24 } 25 int dfs(int pos,int flow) 26 { 27 if(pos==T)return flow; 28 for(int i=head[pos];i!=-1;i=edge[i].next) 29 { 30 int v=edge[i].to; 31 if(dist[pos]+1==dist[v]&&edge[i].flow>0) 32 { 33 int t=dfs(v,min(flow,edge[i].flow)); 34 if(t>0) 35 { 36 edge[i].flow-=t; 37 edge[i^1].flow+=t; 38 return t; 39 } 40 } 41 } 42 return 0; 43 } 44 int Dinic() 45 { 46 int ans=0,cnt; 47 while(bfs()) 48 while(cnt=dfs(S,inf))ans+=cnt; 49 return ans; 50 } 板子

接下來(lái)我們繼續(xù)口胡來(lái)看最小割，對(duì)于最小割有最小割定理：最小割=最大流。證明如下：

開(kāi)始Ctrl+C @assassainPPT

證明：對(duì)于一個(gè)割來(lái)說(shuō)，所有從s到t的流量必定經(jīng)過(guò)刪除的邊，那么Max_flow一定 ≤ 割的值，同理可以推出Max_flow ≤ 任意割的值。
下面來(lái)看一個(gè)已經(jīng)跑完最大流的殘余網(wǎng)絡(luò)，此時(shí)圖中已沒(méi)有從s到t的路徑。將s和s能到達(dá)的所有點(diǎn)劃分為S集，剩余點(diǎn)為T集。中間的所有邊為一個(gè)割且均滿載（剩余容量為0），那么當(dāng)前流也就是最大流等于割的值，又因割的值大于等于最大流，所以此時(shí)的割即為最小割，且與最大流相等。

Ctrl+C完啦

最后我們來(lái)看玄學(xué)之王費(fèi)用流。通過(guò)最大流定理我們可以知道找增廣路就可以得到最大流，那么我們只要在找增廣路時(shí)貪心找到單位流量費(fèi)用最小增廣路即可。這個(gè)證明比較簡(jiǎn)單，留給讀者思考。你又不會(huì)了是不是啊。根據(jù)思（chang）考（shi），我們可以發(fā)現(xiàn)SPFA的時(shí)間復(fù)雜度比較小，可以保留在Dinic接近$O(不能過(guò))$時(shí)過(guò)掉的希望。然而SPFA自己的時(shí)間復(fù)雜度也是$O(玄學(xué))$的，因此，費(fèi)用流的時(shí)間復(fù)雜度更加難以預(yù)測(cè)，大多數(shù)時(shí)間只能看情況考慮賭臉。

（證明自己是個(gè)歐洲人的機(jī)會(huì)來(lái)了）

板子嘛……還沒(méi)打……留坑待填（逃

UPD：填坑啦……下面有板子……

今天大概就是這樣，如果還有什么新的體會(huì)我會(huì)繼續(xù)更新然而你不是哪篇最后都沒(méi)更新完成……

UPD @ 2017/7/30 06:27：貌似昨天@assassain 的板子是比較慢的==

這個(gè)才是更快更不看臉的板子全T

1 int S,T; 2 int f[maxn][maxn],a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],ax[maxn][maxn],ay[maxn][maxn],dist[20010]; 3 long long ans; 4 bool bfs() 5 { 6 memset(dist,0,sizeof(dist)); 7 dist[S]=1; 8 queue<int>q;q.push(S); 9 while(!q.empty()) 10 { 11 int t=q.front();q.pop(); 12 for(int i=head[t];i!=-1;i=edge[i].next) 13 { 14 int v=edge[i].to; 15 if(edge[i].flow>0&&!dist[v]) 16 { 17 dist[v]=dist[t]+1; 18 q.push(v); 19 if(v==T)return 1; 20 } 21 } 22 } 23 return 0; 24 } 25 int g[20010]; 26 int dfs(int pos,int flow)//我可能打了一個(gè)假的dfs…… 27 { 28 if(pos==T||!flow)return flow; 29 int f=0; 30 for(int &i=g[pos];i!=-1;i=edge[i].next)//卡常神器…… 31 { 32 int v=edge[i].to; 33 if(dist[pos]+1==dist[v]&&edge[i].flow>0) 34 { 35 int t=dfs(v,min(flow,edge[i].flow)); 36 if(t>0) 37 { 38 f+=t,flow-=t; 39 edge[i].flow-=t; 40 edge[i^1].flow+=t; 41 if(!flow)break; 42 } 43 } 44 } 45 return f; 46 } 47 int Dinic() 48 { 49 while(bfs()) 50 { 51 for(int i=S;i<=T;i++)g[i]=head[i]; 52 tmp=dfs(S,inf); 53 cnt+=tmp; 54 } 55 } 改·板子

?UPD2 @ 2017/7/30 20:14：

嗯從昨天晚上到現(xiàn)在做了一些題，現(xiàn)在就這些題繼續(xù)口胡。

cogs14 搭配飛行員

鏈接：http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=14

題意：求出二分圖最大匹配。

裸的二分圖最大匹配，沒(méi)啥說(shuō)的。

1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 #include<queue> 6 using namespace std; 7 const int maxn=105,maxm=10005,inf=0x7fffffff; 8 const int S=0,T=101; 9 struct node 10 { 11 int from,to,flow,next; 12 }edge[maxm<<1]; 13 int head[maxn],tot; 14 void addedge(int u,int v,int w) 15 { 16 edge[tot]=(node){u,v,w,head[u]};head[u]=tot++; 17 } 18 int n,n1; 19 int dist[maxn]; 20 bool bfs() 21 { 22 memset(dist,-1,sizeof(dist)); 23 dist[S]=1; 24 queue<int>q;q.push(S); 25 while(!q.empty()) 26 { 27 int t=q.front();q.pop(); 28 for(int i=head[t];i!=-1;i=edge[i].next) 29 { 30 int v=edge[i].to; 31 if(edge[i].flow>0&&dist[v]<0) 32 { 33 dist[v]=dist[t]+1; 34 q.push(v); 35 } 36 } 37 } 38 if(dist[T]<0)return 0; 39 return 1; 40 } 41 int dfs(int pos,int flow) 42 { 43 if(pos==T)return flow; 44 for(int i=head[pos];i!=-1;i=edge[i].next) 45 { 46 int v=edge[i].to,t; 47 if(dist[v]==dist[pos]+1) 48 if(t=dfs(v,min(flow,edge[i].flow))) 49 { 50 edge[i].flow-=t; 51 edge[i^1].flow+=t; 52 return t; 53 } 54 } 55 return 0; 56 } 57 int haha() 58 { 59 freopen("flyer.in","r",stdin); 60 freopen("flyer.out","w",stdout); 61 memset(head,-1,sizeof(head)); 62 scanf("%d%d",&n,&n1); 63 for(int i=1;i<=n1;i++)addedge(S,i,1),addedge(i,S,0); 64 for(int i=n1+1;i<=n;i++)addedge(i,T,1),addedge(T,i,0); 65 int x,y; 66 while(scanf("%d%d",&x,&y)!=EOF)addedge(x,y,1),addedge(y,x,0); 67 int ans=0,flow; 68 while(bfs()) 69 while(flow=dfs(S,inf)) 70 ans+=flow; 71 printf("%d\n",ans); 72 //while(1); 73 } 74 int sb=haha(); 75 int main(){;} cogs14

cogs2051 王者之劍（EX咖喱棒（手動(dòng)滑稽））

cogs734 方格取數(shù)問(wèn)題

鏈接：http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=2051、http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=734

題意：二者都是一樣的，相鄰格子的物品不能同時(shí)選擇，求出物品最大數(shù)量。

首先對(duì)矩陣中每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行黑白染色，從源點(diǎn)向黑點(diǎn)容量為該點(diǎn)物品的邊，由白點(diǎn)連出相同的邊，相鄰黑點(diǎn)白點(diǎn)之間連出容量無(wú)限大的邊。

1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int maxn=35,maxm=3005,maxe=30005; 7 int S,T; 8 struct node 9 { 10 int from,to,flow,next; 11 }edge[maxe<<1]; 12 int head[maxm],Tot; 13 void addedge(int u,int v,int w) 14 { 15 edge[Tot]=(node){u,v,w,head[u]};head[u]=Tot++; 16 edge[Tot]=(node){v,u,0,head[v]};head[v]=Tot++; 17 } 18 int n,m,map[maxn][maxn],flag[maxn][maxn],cnt,num[maxn][maxn],dist[maxm]; 19 long long tot; 20 const int inf=2147483647; 21 #include<queue> 22 bool bfs() 23 { 24 memset(dist,0,sizeof(dist)); 25 dist[S]=1; 26 queue<int>q;q.push(S); 27 while(!q.empty()) 28 { 29 int t=q.front();q.pop(); 30 for(int i=head[t];i!=-1;i=edge[i].next) 31 { 32 int v=edge[i].to; 33 if(!dist[v]&&edge[i].flow>0) 34 { 35 dist[v]=dist[t]+1; 36 q.push(v); 37 } 38 } 39 } 40 return dist[T]; 41 } 42 int dfs(int pos,int flow) 43 { 44 if(pos==T||!flow)return flow; 45 int f=0; 46 for(int i=head[pos];i!=-1;i=edge[i].next) 47 { 48 int v=edge[i].to; 49 if(dist[v]==dist[pos]+1&&edge[i].flow>0) 50 { 51 int t=dfs(v,min(flow,edge[i].flow)); 52 if(t>0) 53 { 54 flow-=t;f+=t; 55 edge[i].flow-=t; 56 edge[i^1].flow+=t; 57 if(!flow)break; 58 } 59 } 60 } 61 return f; 62 } 63 int haha() 64 { 65 freopen("grid.in","r",stdin); 66 freopen("grid.out","w",stdout); 67 memset(head,-1,sizeof(head)); 68 scanf("%d%d",&n,&m); 69 for(int i=1;i<=n;i++) 70 { 71 if(i%2==0)flag[i][0]=1; 72 for(int j=1;j<=m;j++) 73 { 74 scanf("%d",&map[i][j]); 75 tot+=map[i][j]; 76 num[i][j]=++cnt; 77 flag[i][j]=(flag[i][j-1]^1); 78 } 79 } 80 S=0,T=n*m+1; 81 for(int i=1;i<=n;i++) 82 for(int j=1;j<=m;j++) 83 if(!flag[i][j])addedge(S,num[i][j],map[i][j]); 84 else addedge(num[i][j],T,map[i][j]); 85 for(int i=1;i<=n;i++) 86 for(int j=1;j<=m;j++) 87 if(!flag[i][j]) 88 { 89 if(i>1)addedge(num[i][j],num[i-1][j],inf); 90 if(i<n)addedge(num[i][j],num[i+1][j],inf); 91 if(j>1)addedge(num[i][j],num[i][j-1],inf); 92 if(j<m)addedge(num[i][j],num[i][j+1],inf); 93 } 94 long long ans=0; 95 while(bfs())ans+=dfs(S,inf); 96 printf("%lld\n",tot-ans); 97 } 98 int sb=haha(); 99 int main(){;} cogs734

cogs1873 happiness

鏈接：http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=1873

題意：求出全圖最大權(quán)閉合子圖。

普通的最小割問(wèn)題，建邊時(shí)要注意，連到源點(diǎn)、匯點(diǎn)邊權(quán)要加上合作值的一半，兩個(gè)點(diǎn)之間邊為雙向。

1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<queue> 6 using namespace std; 7 const int maxn=105,maxm=10005,inf=0x7fffffff; 8 struct node 9 { 10 int from,to,flow,next; 11 }edge[maxm*40]; 12 int head[maxm<<1],tot,n,m; 13 void addedge(int u,int v,int w) 14 { 15 edge[tot]=(node){u,v,w,head[u]};head[u]=tot++; 16 edge[tot]=(node){v,u,0,head[v]};head[v]=tot++; 17 } 18 int S,T; 19 int f[maxn][maxn],a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],ax[maxn][maxn],ay[maxn][maxn],dist[20010]; 20 long long ans; 21 bool bfs() 22 { 23 memset(dist,0,sizeof(dist)); 24 dist[S]=1; 25 queue<int>q;q.push(S); 26 while(!q.empty()) 27 { 28 int t=q.front();q.pop(); 29 for(int i=head[t];i!=-1;i=edge[i].next) 30 { 31 int v=edge[i].to; 32 if(edge[i].flow>0&&!dist[v]) 33 { 34 dist[v]=dist[t]+1; 35 q.push(v); 36 if(v==T)return 1; 37 } 38 } 39 } 40 return 0; 41 } 42 int g[20010]; 43 int dfs(int pos,int flow) 44 { 45 if(pos==T||!flow)return flow; 46 int f=0; 47 for(int &i=g[pos];i!=-1;i=edge[i].next) 48 { 49 int v=edge[i].to; 50 if(dist[pos]+1==dist[v]&&edge[i].flow>0) 51 { 52 int t=dfs(v,min(flow,edge[i].flow)); 53 if(t>0) 54 { 55 f+=t,flow-=t; 56 edge[i].flow-=t; 57 edge[i^1].flow+=t; 58 if(!flow)break; 59 } 60 } 61 } 62 return f; 63 } 64 int haha() 65 { 66 freopen("nt2011_happiness.in","r",stdin); 67 freopen("nt2011_happiness.out","w",stdout); 68 memset(head,-1,sizeof(head)); 69 scanf("%d%d",&n,&m); 70 S=0,T=n*m+1; 71 for(int ct=0,i=1;i<=n;i++) 72 for(int j=1;j<=m;j++)f[i][j]=++ct; 73 int x; 74 for(int i=1;i<=n;i++) 75 for(int j=1;j<=m;j++) 76 { 77 scanf("%d",&x); 78 ans+=x;a[i][j]=(x<<1); 79 } 80 for(int i=1;i<=n;i++) 81 for(int j=1;j<=m;j++) 82 { 83 scanf("%d",&x); 84 ans+=x;b[i][j]=(x<<1); 85 } 86 for(int i=1;i<n;i++) 87 for(int j=1;j<=m;j++) 88 { 89 scanf("%d",&x); 90 ans+=x; 91 ax[i][j]+=x; 92 a[i][j]+=x;a[i+1][j]+=x; 93 } 94 for(int i=1;i<n;i++) 95 for(int j=1;j<=m;j++) 96 { 97 scanf("%d",&x); 98 ans+=x; 99 ax[i][j]+=x; 100 b[i][j]+=x;b[i+1][j]+=x; 101 } 102 for(int i=1;i<=n;i++) 103 for(int j=1;j<m;j++) 104 { 105 scanf("%d",&x); 106 ans+=x; 107 ay[i][j]+=x; 108 a[i][j]+=x;a[i][j+1]+=x; 109 } 110 for(int i=1;i<=n;i++) 111 for(int j=1;j<m;j++) 112 { 113 scanf("%d",&x); 114 ans+=x; 115 ay[i][j]+=x; 116 b[i][j]+=x;b[i][j+1]+=x; 117 } 118 for(int i=1;i<n;i++) 119 for(int j=1;j<=m;j++)addedge(f[i][j],f[i+1][j],ax[i][j]),addedge(f[i+1][j],f[i][j],ax[i][j]); 120 for(int i=1;i<=n;i++) 121 for(int j=1;j<m;j++)addedge(f[i][j],f[i][j+1],ay[i][j]),addedge(f[i][j+1],f[i][j],ay[i][j]); 122 for(int i=1;i<=n;i++) 123 for(int j=1;j<=m;j++)addedge(S,f[i][j],a[i][j]),addedge(f[i][j],T,b[i][j]); 124 long long cnt=0,tmp; 125 while(bfs()) 126 { 127 for(int i=S;i<=T;i++)g[i]=head[i]; 128 tmp=dfs(S,inf); 129 cnt+=tmp; 130 } 131 cnt/=2; 132 printf("%lld\n",ans-cnt); 133 } 134 int sb=haha(); 135 int main(){;} cogs1873

cogs461 餐巾

鏈接：http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=461

經(jīng)典的餐巾計(jì)劃問(wèn)題。

費(fèi)用流第一題……運(yùn)用拆點(diǎn)的思想，將每一個(gè)點(diǎn)拆成入點(diǎn)和出點(diǎn)，源點(diǎn)向入點(diǎn)連容量為需求量，花費(fèi)為0的邊，出點(diǎn)向匯點(diǎn)連相同的邊，同時(shí)從源點(diǎn)向出點(diǎn)連容量無(wú)限，花費(fèi)為購(gòu)買花費(fèi)的邊，然后在快洗、慢洗的幾天開(kāi)頭那一天的入點(diǎn)和結(jié)束那一天終點(diǎn)之間連容量無(wú)限，花費(fèi)為快（慢）洗代價(jià)的邊。因?yàn)榍耙惶斓牟徒砜梢粤舻胶笠惶煊?#xff0c;所以還需要在連續(xù)兩天入點(diǎn)之間連接容量無(wú)限，花費(fèi)為0的邊。

1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int maxn=510,maxm=8010,inf=0x7fffffff; 7 struct node 8 { 9 int from,to,flow,cost,next; 10 }edge[maxm]; 11 int head[maxn],tot; 12 void addedge(int u,int v,int w,int x) 13 { 14 edge[tot]=(node){u,v,w,x,head[u]};head[u]=tot++; 15 edge[tot]=(node){v,u,0,-x,head[v]};head[v]=tot++; 16 } 17 int need[maxn],S,T; 18 int n,b,f,fc,s,sc; 19 #include<queue> 20 int path[maxn],dis[maxn],vis[maxn]; 21 int spfa(int S,int T) 22 { 23 for(int i=S+1;i<=T;i++)dis[i]=inf; 24 queue<int>q;q.push(S);vis[S]=1; 25 while(!q.empty()) 26 { 27 int u=q.front();q.pop();vis[u]=0; 28 for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) 29 { 30 int v=edge[i].to; 31 if(edge[i].flow>0&&dis[v]>dis[u]+edge[i].cost) 32 { 33 dis[v]=dis[u]+edge[i].cost; 34 if(!vis[v]) 35 { 36 vis[v]=1; 37 q.push(v); 38 } 39 path[v]=i; 40 } 41 } 42 } 43 return dis[T]==inf?0:dis[T]; 44 } 45 int aug(int S,int T) 46 { 47 int f=inf,p=T; 48 while(p!=S) 49 { 50 f=min(f,edge[path[p]].flow); 51 p=edge[path[p]].from; 52 } 53 p=T; 54 while(p!=S) 55 { 56 edge[path[p]].flow-=f; 57 edge[path[p]^1].flow+=f; 58 p=edge[path[p]].from; 59 } 60 return f; 61 } 62 int MCMF(int S,int T) 63 { 64 int ret=0,d; 65 while(d=spfa(S,T)) 66 ret+=aug(S,T)*d; 67 return ret; 68 } 69 int haha() 70 { 71 freopen("napkin.in","r",stdin); 72 freopen("napkin.out","w",stdout); 73 memset(head,-1,sizeof(head)); 74 scanf("%d",&n);S=0,T=n*2+1; 75 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&need[i]); 76 scanf("%d%d%d%d%d",&b,&f,&fc,&s,&sc); 77 for(int i=1;i<=n;i++) 78 { 79 addedge(S,i,need[i],0); 80 addedge(S,i+n,inf,b); 81 addedge(i+n,T,need[i],0); 82 if(i+f<=n)addedge(i,i+f+n,inf,fc); 83 if(i+s<=n)addedge(i,i+s+n,inf,sc); 84 if(i!=n)addedge(i,i+1,inf,0); 85 } 86 printf("%d\n",MCMF(S,T)); 87 } 88 int sb=haha(); 89 int main(){;} cogs461

?

唔大概就這樣了吧……

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Loser-of-Life/p/7257361.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【您有新的未分配天赋点】网络流：从懵逼到完全懵逼的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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