題目鏈接：

https://acm.hdu.edu.cn/contest/problem?cid=1072&pid=1005

題意：

給定大小為$n$的可重集$A$，給定非負整數(shù)$k,x$。對于$A$的一個非空子集$S$，設$sum(S)$為集合$S$的元素權值之和，$|S|$為集合$S$的元素個數(shù)。求 ${\sum }_{S?A,S\ne ?}sum(S{)}^k?x^{|S|}$對$998244353$取模的結果。

算法：

NTT優(yōu)化dp。

時間復雜度：

$O(nklog(k))$

解法：

為了便于理解，我們先設$d{p}_{i,j,l}$表示為前$i$個，選$j$個作為子集，在$l$次冪下的答案。
設$p$為前$i?1$個數(shù)中任選$j?1$個數(shù)的和，$P$為所有情況的$p$的集合，$P=\{p_0,p_1,p_2,...\}$。

根據(jù)題意，可以得出前$i?1$個，選$j?1$個作為子集，在$l$次冪下的答案$d{p}_{i?1,j?1,l}=(p_0^l+p_1^l+p_2^l+...)x^{j?1}$。

設$su{m}_l=p_0^l+p_1^l+p_2^l+...$，可得$d{p}_{i?1,j?1,l}=su{m}_l{x}^{j?1}$。

考慮狀態(tài)轉移，考慮選$a_i$給答案帶來的變化：

$$\begin{array}{rl}d{p}_{i,j,l}& =[(p_0+a_i{)}^l+(p_1+a_i{)}^l+(p_2+a_i{)}^l+...]x^j\\ & =[(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{0})a_i^{l}su{m}_0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{1})a_i^{l?1}su{m}_1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{2})a_i^{l?2}su{m}_2+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{l})a_i^{0}su{m}_l]x^j\\ & =[(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{0})a_i^{l}d{p}_{i?1,j?1,0}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{1})a_i^{l?1}d{p}_{i?1,j?1,1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{2})a_i^{l?2}d{p}_{i?1,j?1,2}+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{l})a_i^{0}d{p}_{i?1,j?1,l}]x\\ & =[\frac{1}{0!(l?0)!}{a}_i^{l}d{p}_{i?1,j?1,0}+\frac{1}{1!(l?1)!}{a}_i^{l?1}d{p}_{i?1,j?1,1}+\frac{1}{2!(l?2)!}{a}_i^{l?2}d{p}_{i?1,j?1,2}+...+\frac{1}{l!(l?l)!}{a}_i^{0}d{p}_{i?1,j?1,l}]xl!\end{array}$$

我們發(fā)現(xiàn)化簡到最后，參數(shù)$j$并沒有參與計算，因此可將式子轉化為
$d{p}_{i,l}=[\frac{1}{0!l!}{a}_i^{l}d{p}_{i?1,0}+\frac{1}{1!(l?1)!}{a}_i^{l?1}d{p}_{i?1,1}+\frac{1}{2!(l?2)!}{a}_i^{l?2}d{p}_{i?1,2}+...+\frac{1}{l!0!}{a}_i^{0}d{p}_{i?1,l}]xl!$

我們可以發(fā)現(xiàn)這就是個多項式乘法。

令$F(u)=\frac{1}{0!}d{p}_{i?1,0}{u}^0+\frac{1}{1!}d{p}_{i?1,1}{u}^1+\frac{1}{2!}d{p}_{i?1,2}{u}^2+...+\frac{1}{l!}d{p}_{i?1,l}{u}^l$，

$G(u)=\frac{1}{0!}{a}_i^0{u}^0+\frac{1}{1!}{a}_i^1{u}^1+\frac{1}{2!}{a}_i^2{u}^2+...+\frac{1}{l!}{a}_i^l{u}^l$，

$H(u)=F(u)G(u)xl!$。

那么$d{p}_{i,l}=d{p}_{i?1,l}+a_i^{l}x+[u^l]H$（$[u^l]H$表示$H(u)$的第$l$項系數(shù)），最終答案為$d{p}_{n,k}$。

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define L(i,j,k) for(ll i=(j);i<=(k);i++) #define R(i,j,k) for(ll i=(j);i>=(k);i--) #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f #define vec vector #define pll pair<ll,ll> #define fi first #define se second #define pb push_back #define mkp make_pair #define MS(i,j,k) memset(i,j,sizeof(ll)*(k+2)) const ll N=1e5+10,M=10; const ll mod=998244353,mmod=mod-1; const double pi=acos(-1),eps=1e-8; using namespace std; ll fmul(ll a,ll b){a%=mod;b%=mod;ll res=0;while(b){if(b&1){res+=a;res%=mod;}a<<=1;if(a>=mod)a%=mod;b>>=1;}return res;} ll gcd(ll x,ll y){if(y==0) return x;return gcd(y,x%y);} ll fksm(ll a,ll b){ll r=1;if(b<0)b+=mod-1;for(a%=mod;b;b>>=1){if(b&1)r=r*a%mod;a=a*a%mod;}return r;}//a 分母; b MOD-2 ll lowbit(ll x){return x&(-x);}ll m,n,t,x,y,z,l,r,u,v,k,p,pp,nx,ny,nz,ansx,ansy,num,sum,mn,mx,ans; ll lim,pos,tot,cnt,root,key,block; ll a[N],dp[N];ll fac[N],fra[N],two=fksm(2,mod-2); void init(ll n){//n階階乘初始化 fac[0]=1;L(i,1,n)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;fra[n]=fksm(fac[n],mod-2);R(i,n-1,0)fra[i]=fra[i+1]*(i+1)%mod; } ll C(ll n,ll k){if(!n&&!k)return 1;if(n<k||k<0)return 0;return fac[n]*fra[k]%mod*fra[n-k]%mod;}//組合數(shù)ll R[N],a0[N],a1[N]; void init_ntt(ll limit){lim=1;ll k=0;while(lim<limit)lim*=2,k++;L(i,0,lim-1)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));} void ntt(ll *f,ll type){ll G=3,Gi=fksm(G,mod-2);//mod=998244353,G=3;mod=1e9+7,G=5;L(i,0,lim-1)if(i<R[i])swap(f[i],f[R[i]]);for(ll mid=1;mid<lim;mid<<=1){ll Wn=fksm(type==1?G:Gi,(mod-1)/(mid<<1));for(ll j=0;j<lim;j+=(mid<<1)){ll w=1;for(ll k=0;k<mid;k++,w=(w*Wn)%mod){ll x=f[j+k],y=w*f[j+k+mid]%mod;f[j+k]=(x+y)%mod,f[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;}}} }void NTT(ll *f,ll *g,ll siz0,ll siz1){init_ntt(siz0+siz1-1);L(i,siz0,lim)f[i]=0;L(i,siz1,lim)g[i]=0;ntt(f,1);ntt(g,1);L(i,0,lim-1)f[i]=(f[i]*g[i])%mod;ntt(f,-1);ll inv=fksm(lim,mod-2);L(i,0,lim-1)f[i]=f[i]*inv%mod; }void solve(){scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&m);MS(dp,0,k);L(i,1,n)scanf("%lld",&a[i]);L(i,1,n){L(j,0,k){a0[j]=dp[j]*fra[j]%mod;a1[j]=fksm(a[i],j)*fra[j]%mod;}NTT(a0,a1,k+1,k+1);L(j,0,k)dp[j]=(dp[j]+fksm(a[i],j)*m%mod+a0[j]*m%mod*fac[j]%mod)%mod;}printf("%lld\n",dp[k]); }int main(){// ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);// cout<<fixed<<setprecision(12);//精度init(10010);ll T=1;scanf("%lld",&T);while(T--)solve(); }

總結

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