Description

邱老師是妖怪愛好者，他有n只妖怪，每只妖怪有攻擊力atk和防御力dnf兩種屬性。邱老師立志成為妖怪大師，于
是他從真新鎮出發，踏上未知的旅途，見識不同的風景。環境對妖怪的戰斗力有很大影響，在某種環境中，妖怪可
以降低自己k×a點攻擊力，提升k×b點防御力或者，提升自己k×a點攻擊力，降低k×b點防御力，a，b屬于正實數
，k為任意實數，但是atk和dnf必須始終非負。妖怪在環境(a,b)中的戰斗力為妖怪在該種環境中能達到的最大攻擊
力和最大防御力之和。strength(a,b)=max(atk(a,b))+max(dnf(a,b))環境由a，b兩個參數定義，a，b的含義見前
文描述。比如當前環境a=3，b=2，那么攻擊力為6，防御力為2的妖怪，能達到的最大攻擊力為9，最大防御力為6。
所以該妖怪在a=3，b=2的環境下戰斗力為15。因此，在不同的環境，戰斗力最強的妖怪可能發生變化。作為一名優
秀的妖怪訓練師，邱老師想發掘每一只妖怪的最大潛力，他想知道在最為不利的情況下，他的n只妖怪能夠達到的
最強戰斗力值，即存在一組正實數(a,b)使得n只妖怪在該環境下最強戰斗力最低。

Input

第一行一個n，表示有n只妖怪。接下來n行，每行兩個整數atk和dnf，表示妖怪的攻擊力和防御力。
1≤n≤10^6, 0＜atk,dnf≤10^8

Output

輸出在最不利情況下最強妖怪的戰斗力值，保留4位小數。

Sample Input

3

1 1

1 2

2 2

Sample Output

8.0000

解題思路：

不難推出一個妖怪在環境 (a,b) ( a , b ) 下的最強戰力為 atk+dnf+dnf?k+atk/k,k=a/b a t k + d n f + d n f ? k + a t k / k , k = a / b 。
比較容易想到二分答案加上解一元二次方程判是否有解的方法，但是會TLE。
不妨把一個妖怪看作平面上的點 (x,y) ( x , y ) ，那么在點 (x,y) ( x , y ) 處的斜率為 k(k<0) k ( k < 0 ) 的直線得到的答案為橫縱截距之和，即 x+y?x?k?y/k x + y ? x ? k ? y / k
這樣可以很好的契合原式，再根據對勾函數性質，如果單獨使點 (x,y) ( x , y ) 最小，得到的答案為 x+y+2?sqrt(xy) x + y + 2 ? s q r t ( x y )
考慮求出這n個點的凸包，那么最大的答案永遠在凸包上，而且每個點作為最大值都有一個斜率k的取值范圍，所以我們只需求出每個點在這個區間內的最小值即可。
如果單獨使點i最小的同時，也使得點i是所有點的最大值，即斜率 ?sqrt(y/x) ? s q r t ( y / x ) 的直線可以與點i相切時，則用 ?sqrt(y/x) ? s q r t ( y / x ) 更新答案，否則，用這個點所連的兩邊的斜率計算的較小值更新答案。
所以這道題還是比較有思維難度的。

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; int getint() {int i=0,f=1;char c;for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());if(c=='-')f=-1,c=getchar();for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';return i*f; }const int N=1000005; const double INF=1e20; struct point {double x,y;point(){}point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){};inline friend point operator - (const point &a,const point &b){return point(a.x-b.x,a.y-b.y);}inline friend double operator * (const point &a,const point &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}inline friend bool operator < (const point &a,const point &b){return a.x==b.x?a.y>b.y:a.x<b.x;}inline friend double slope(const point &a,const point &b){return a.x==b.x?-INF:(b.y-a.y)/(b.x-a.x);} }p[N]; int n;double calc(double x,double y,double k) {if(!k||k==INF||k==-INF)return INF;return x+y-x*k-y/k; }void solve() {sort(p+1,p+n+1);int id=1;for(int i=2;i<=n;i++)if(p[i].y>p[id].y)id=i;for(int i=id;i<=n;i++)p[i-id+1]=p[i];n=n-id+1;int top=1;for(int i=2;i<=n;i++){while(top>1&&(p[i]-p[top-1])*(p[top]-p[top-1])<=0)top--;p[++top]=p[i];}n=top;double ans=INF;for(int i=1;i<=n;i++){double k=-sqrt(p[i].y/p[i].x);double kl=i==1?INF:slope(p[i-1],p[i]);double kr=i==n?-INF:slope(p[i],p[i+1]);if(kl>=k&&k>=kr)ans=min(ans,calc(p[i].x,p[i].y,k));else ans=min(ans,min(calc(p[i].x,p[i].y,kl),calc(p[i].x,p[i].y,kr)));}printf("%0.4lf\n",ans); }int main() {//freopen("lx.in","r",stdin);n=getint();for(int i=1;i<=n;i++)p[i].x=getint(),p[i].y=getint();solve();}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的bzoj4570: [Scoi2016]妖怪【凸包+对勾函数最小值】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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