? ? ? ? 伴隨著模糊集理論的形成、發(fā)展和深化，RusPini率先提出模糊劃分的概念。以此為起點(diǎn)和基礎(chǔ)，模糊聚類理論和方法迅速蓬勃發(fā)展起來。針對不同的應(yīng)用，人們提出了很多模糊聚類算法，比較典型的有基于相似性關(guān)系和模糊關(guān)系的方法、基于模糊等價(jià)關(guān)系的傳遞閉包方法、基于模糊圖論的最大支撐樹方法，以及基于數(shù)據(jù)集的凸分解、動態(tài)規(guī)劃和難以辨別關(guān)系等方法。然而，上述方法均不能適用于大數(shù)據(jù)量的情況，難以滿足實(shí)時(shí)性要求較高的場合，因此實(shí)際應(yīng)用并不廣泛。

模糊聚類分析按照聚類過程的不同大致可以分為三大類：

(1)基于模糊關(guān)系的分類法：其中包括譜系聚類算法(又稱系統(tǒng)聚類法)、基于等價(jià)關(guān)系的聚類算法、基于相似關(guān)系的聚類算法和圖論聚類算法等等。它是研究比較早的一種方法，但是由于它不能適用于大數(shù)據(jù)量的情況，所以在實(shí)際中的應(yīng)用并不廣泛。

(2)基于目標(biāo)函數(shù)的模糊聚類算法：該方法把聚類分析歸結(jié)成一個(gè)帶約束的非線性規(guī)劃問題，通過優(yōu)化求解獲得數(shù)據(jù)集的最優(yōu)模糊劃分和聚類。該方法設(shè)計(jì)簡單、解決問題的范圍廣，還可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題而借助經(jīng)典數(shù)學(xué)的非線性規(guī)劃理論求解，并易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。因此，隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用和發(fā)展，基于目標(biāo)函數(shù)的模糊聚類算法成為新的研究熱點(diǎn)。

(3)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊聚類算法：它是興起比較晚的一種算法，主要是采用競爭學(xué)習(xí)算法來指導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)的聚類過程。

?

在介紹算法之前，先介紹下模糊集合的知識。

HCM聚類算法

? ? ? ? 首先說明隸屬度函數(shù)的概念。隸屬度函數(shù)是表示一個(gè)對象x 隸屬于集合A 的程度的函數(shù)，通常記做μA(x)，其自變量范圍是所有可能屬于集合A 的對象（即集合A 所在空間中的所有點(diǎn)），取值范圍是[0,1]，即0<=μA(x)，μA(x)<=1。μA(x)=1 表示x 完全隸屬于集合A，相當(dāng)于傳統(tǒng)集合概念上的x∈A。一個(gè)定義在空間X={x}上的隸屬度函數(shù)就定義了一個(gè)模糊集合A，或者叫定義在論域X={x}上的模糊子集A’。對于有限個(gè)對象x1，x2，……，xn 模糊集合A’可以表示為：

? ? ? ? 有了模糊集合的概念，一個(gè)元素隸屬于模糊集合就不是硬性的了，在聚類的問題中，可以把聚類生成的簇看成模糊集合，因此，每個(gè)樣本點(diǎn)隸屬于簇的隸屬度就是[0，1]區(qū)間里面的值。

?

再接下來要講FCM算法不得不先講一下HCM算法

硬C-均值(HCM)算法是實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)集J硬C劃分的經(jīng)典算法之一，也是最受歡迎的算法之一。它能夠把數(shù)據(jù)集X分成C個(gè)超橢球結(jié)構(gòu)的聚類。HCM算法把傳統(tǒng)的聚類問題歸結(jié)為如下的非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

其中U=(u_ij)_cxn為硬C-劃分矩陣，V=(v1，v2，，，vc)為C個(gè)聚類中心，||·||代碼歐式距離。

HCM算法的具體流程如下：

初始化：指定聚類類別數(shù)C，2<=C<=n，n是數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，設(shè)定迭代停止閾值?，初始化聚類中心V0，設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器b=0；

步驟一：根據(jù)下面的公式計(jì)算或更新劃分矩陣U

步驟二：根據(jù)下面公式更新聚類中心V（b+1）

步驟三：如果||Vb – V(b+1)||< ?，則算法停止并輸出劃分矩陣和聚類中心V，否則令b=b+1，轉(zhuǎn)向執(zhí)行步驟一

FCM聚類算法

Dunn按照RusPini定義的模糊劃分的概念，把HCM算法擴(kuò)展到模糊劃分領(lǐng)域。Dunn對每個(gè)樣本與每個(gè)聚類中心的距離用其隸屬度平方加權(quán)，從而把類內(nèi)誤差平方和目標(biāo)函數(shù)J1擴(kuò)展為類內(nèi)加權(quán)誤差平方和函數(shù)J2：

Bezdek又將Dunn的目標(biāo)函數(shù)推廣為更普遍的形式，給出了基于目標(biāo)函數(shù)的模糊聚類更一般的描述。

其中，m∈[1,+∞)稱為加權(quán)指數(shù)，又稱作平滑參數(shù)。盡管從數(shù)學(xué)角度看，m的出現(xiàn)不自然，但如果不對隸屬度加權(quán)，從HCM算法到FCM算法的推廣將是無效的。

FCM算法的具體流程如下：

初始化：指定聚類類別數(shù)C，2<=C<=n，n是數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，設(shè)定迭代停止閾值?，初始化聚類中心V0，設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器b=0；

步驟一：根據(jù)下面的公式計(jì)算或更新劃分矩陣U

步驟二：根據(jù)下面公式更新聚類中心V（b+1）

步驟三：如果||Vb – V(b+1)||< ?，則算法停止并輸出劃分矩陣和聚類中心V，否則令b=b+1，轉(zhuǎn)向執(zhí)行步驟一

FCM算法流程圖

FCM算法是目前比較流行的一種模糊聚類算法，究其原因大致有以下幾個(gè)方面：首先，模糊C—均值泛函J_m仍是傳統(tǒng)硬C一均值泛函J₁的自然推廣；硬C一均值泛函J₁是一個(gè)應(yīng)用十分廣泛的聚類準(zhǔn)則，對其在理論上的研究己經(jīng)相當(dāng)完善，這就為J_m的研究提供了良好的條件；數(shù)學(xué)上看，J_m與R^S的希爾伯特空間結(jié)構(gòu)(正交投影和均方逼近理論)有密切的關(guān)系，因此比其它泛函有更深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；最后，也是最重要的是該目標(biāo)函數(shù)不僅在許多領(lǐng)域獲得了非常成功的應(yīng)用，而且以FCM算法為基礎(chǔ)，人們提出的基于其它原型的模糊聚類算法，形成了一大批FCM類型的算法：如模糊C一線(FCL)、模糊C一面(FCP)等聚類算法，分別實(shí)現(xiàn)了對呈線狀、超平面狀結(jié)構(gòu)模式子集(或聚類)的檢測。

FCM算法應(yīng)用到顏色遷移中

? ? ? ? 錢小燕等人將聚類算法應(yīng)用到色彩遷移中，提出了一種基于圖像模糊顏色聚類的自適應(yīng)色彩遷移算法。該算法首先將源圖像和目標(biāo)圖像分別轉(zhuǎn)換到lαβ顏色空間：利用FCM 算法把源圖像和目標(biāo)圖像劃分為具有不同顏色特征的聚類，然后分析圖像中的顏色特征：分別算出每個(gè)域的匹配權(quán)值，對每個(gè)目標(biāo)圖像的匹配權(quán)值，從源圖像中選取一個(gè)最接近域作為最佳匹配域；最后根據(jù)目標(biāo)圖像各聚類域與源圖像中的匹配域之間的關(guān)系，引入隸屬度因子，兩個(gè)域的處理結(jié)果分別進(jìn)行加權(quán)平均，獲得色彩遷移結(jié)果。使用FCM的思想對圖像進(jìn)行聚類域劃分的思路是：設(shè)準(zhǔn)備處理圖像I的大小是S×H，即對顏色聚類顏色分析的個(gè)數(shù)是N，N = S×H，則圖像I可表示成集合，I={p1 ,p2 ...,pn }。圖像被分為c類，每個(gè)類的聚類中心為V={v1,v2 ...,vc }，用u_ik表示像素p_k隸屬于聚類中心Vi的隸屬度，定義圖像的隸屬度矩陣U。具體算法如下：

步驟一：把源圖像和目標(biāo)圖像分別從RGB轉(zhuǎn)換到lαβ空間。

步驟二：確定待處理圖像聚類域個(gè)數(shù)c，然后初始化聚類中心。假設(shè)加權(quán)指數(shù)m=2，設(shè)定處理的最大迭代次數(shù)為50。

步驟三：當(dāng)?shù)螖?shù)T 小于50 時(shí)，根據(jù)初始化聚類中心計(jì)算隸屬度矩陣。如果p_k≠vi,則對于所有的vi ( i=1,2,...,C )，利用下式計(jì)算隸屬度矩陣。

其中，i =1,2,...C； j =1,2,...N

如果，p_k=vi,，k =1,2,...N則

其中，d_ik為第k個(gè)元素到第i 個(gè)聚類中心的距離，定義在lαβ下的歐式距離。

步驟四：對圖像聚類劃分。圖像的隸屬度矩陣中，從每列選擇隸屬度最大的點(diǎn)作為相對應(yīng)點(diǎn)的歸屬域，并重新計(jì)算聚類中心。

步驟五：對收斂情況進(jìn)行檢查。若||Vi – V’i||<Σ，則立即停止迭代；否則一直迭代計(jì)算步驟三與步驟四。

步驟六：對聚類域進(jìn)行匹配。使用FCM 后，對每一個(gè)聚類域分別設(shè)置一個(gè)匹配權(quán)值參數(shù)w，當(dāng)目標(biāo)圖像是灰度圖像時(shí)，w為聚類域的亮度均值；當(dāng)目標(biāo)圖像為彩色圖像時(shí)，w 是聚類域3 個(gè)通道標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均值。

步驟七：色彩遷移。為了保持通用性，假定目標(biāo)圖像中元素pi的歸屬域與源圖像中聚類域h 是匹配域，利用下式獲得各個(gè)通道的新值：

FCM算法效果圖

BOOL TranFCM(LPBYTE lpDIBBits, LONG lmageWidth, LONG lmageHeight,LPBYTE lpDIBBits2, LONG lmageWidth2, LONG lmageHeight2,LPBYTE lpDIBBits3) {int classnum=2;int m=2;int i,j,k,nindex;double l,a,b;double* belong=new double[lmageWidth*lmageHeight*classnum];double* belong2=new double[lmageWidth2*lmageHeight2*classnum];double* center=new double[classnum*3];double* center2=new double[classnum*3];int* clustermap=new int[classnum];double suml,suma,sumb;FCMCluster(lpDIBBits,lmageWidth,lmageHeight,belong,center,classnum,m);FCMCluster(lpDIBBits2,lmageWidth2,lmageHeight2,belong2,center2,classnum,m);double* vl=new double[classnum];double* va=new double[classnum];double* vb=new double[classnum];double* vl2=new double[classnum];double* va2=new double[classnum];double* vb2=new double[classnum];for(i=0;i<classnum;i++){BYTE distance=255;int map=-1;BYTE r,g,b,r2,g2,b2;for(j=0;j<classnum;j++){LabToRgb(center[i*3+0],center[i*3+1],center[i*3+2],r,g,b);LabToRgb(center2[j*3+0],center2[j*3+1],center2[j*3+2],r2,g2,b2);BYTE dis=abs(RgbToGray(r,g,b)-RgbToGray(r2,g2,b2));if (distance>dis) {distance=dis;map=j;}}clustermap[i]=map;}//TranColor(belong,belong2,center,center2);//求各聚類域的標(biāo)準(zhǔn)差//求結(jié)果圖像的labfor(j = 0;j <lmageHeight; j++){for(i = 0; i <lmageWidth; i++){ nindex=((lmageHeight-j-1)*lmageWidth+i);suml=suma=sumb=0;RgbToLab(lpDIBBits[nindex*3+2],lpDIBBits[nindex*3+1],lpDIBBits[nindex*3+0],l,a,b);for(k=0;k<classnum;k++){suml += belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex]*center2[clustermap[k]*3+0];suma += belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex]*center2[clustermap[k]*3+1];sumb += belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex]*center2[clustermap[k]*3+2];}LabToRgb(l,suma,sumb,lpDIBBits3[nindex*3+2],lpDIBBits3[nindex*3+1],lpDIBBits3[nindex*3+0]);}}return TRUE; }

BOOL FCMCluster(LPBYTE lpDIBBits, LONG lmageWidth, LONG lmageHeight,double* belong,double* center,int classnum,int m) {int i,j,l,nindex;//循環(huán)控制變量int k=0;int LOOP=500;double* center2=new double[classnum*3];//聚類中心long x,y;//隨機(jī)確定聚類中心坐標(biāo)long* num=new long[classnum];//每個(gè)類的像素個(gè)數(shù)double* lpImageLab = new double[lmageWidth*lmageHeight*3];double sumu,suml,suma,sumb; //初始化聚類中心for(i=0;i<classnum;i++){x=rand()%lmageWidth;y=rand()%lmageHeight;nindex=((lmageHeight-y-1)*lmageWidth+x);RgbToLab(lpDIBBits[nindex*3+2],lpDIBBits[nindex*3+1],lpDIBBits[nindex*3+0],center[i*3+0],center[i*3+1],center[i*3+2]);for(j=0;j<i;j++){ double dis=DistanceLab(center[i*3+0],center[i*3+1],center[i*3+2],center[j*3+0],center[j*3+1],center[j*3+2]);if(dis<0.2) {i--;break;}//限值公式 暫取限值為1待優(yōu)化 對初始化聚類中心的選擇非常關(guān)鍵}}//計(jì)算隸屬度矩陣、更新聚類中心、直至前后聚類中心距離小于限值e暫定0.1待優(yōu)化while(k!=classnum && LOOP--)//限值公式{//計(jì)算隸屬度矩陣for(j = 0;j <lmageHeight; j++){for(i = 0; i <lmageWidth; i++){ nindex=((lmageHeight-j-1)*lmageWidth+i);RgbToLab(lpDIBBits[nindex*3+2],lpDIBBits[nindex*3+1],lpDIBBits[nindex*3+0],lpImageLab[nindex*3+0],lpImageLab[nindex*3+1],lpImageLab[nindex*3+2]);//means_Assign(); double blg=-1;//隸屬度for(k=0;k<classnum;k++){sumu=0;double dis1=DistanceLab(lpImageLab[nindex*3+0],lpImageLab[nindex*3+1],lpImageLab[nindex*3+2],center[k*3+0],center[k*3+1],center[k*3+2]);if (dis1==0) {belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex]=1;continue;} for(l=0;l<classnum;l++){double dis2=DistanceLab(lpImageLab[nindex*3+0],lpImageLab[nindex*3+1],lpImageLab[nindex*3+2],center[l*3+0],center[l*3+1],center[l*3+2]);if (dis2==0) break;sumu+=pow((dis1*dis1)/(dis2*dis2),1.0/(m-1)); }if (l!=classnum) {belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex]=0;continue;}belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex]=1/sumu;}}}//更新聚類中心for(k=0;k<classnum;k++){suml=suma=sumb=sumu=0; for(j = 0;j <lmageHeight; j++){for(i = 0; i <lmageWidth; i++){ nindex=((lmageHeight-j-1)*lmageWidth+i);suml+=pow(belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex],m)*lpImageLab[nindex*3+0];suma+=pow(belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex],m)*lpImageLab[nindex*3+1];sumb+=pow(belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex],m)*lpImageLab[nindex*3+2];sumu+=pow(belong[lmageWidth*lmageHeight*k+nindex],m);}}center2[k*3+0]=suml/sumu; center2[k*3+1]=suma/sumu;center2[k*3+2]=sumb/sumu;}//判斷循環(huán)終止條件for(k=0;k<classnum;k++){if(DistanceLab(center[k*3+0],center[k*3+1],center[k*3+2],center2[k*3+0],center2[k*3+1],center2[k*3+2])>0.1) break;//限值e暫定0.1待優(yōu)化}for(i=0;i<classnum*3;i++){center[i]=center2[i];}}return TRUE; }
double DistanceLab(double l1,double a1,double b1,double l2,double a2,double b2) {double lx=l1-l2;double ax=a1-a2;double bx=b1-b2;if (lx<0) lx=-lx;if (ax<0) ax=-ax;if (bx<0) bx=-bx;return lx+ax+bx; }
代碼鏈接

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的颜色迁移之四——模糊聚类（FCM）算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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