分析一個(gè)定投的原理并且做一些定投的實(shí)驗(yàn)。通過原理找出合適定投的產(chǎn)品，并且通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)論是否正確。

1. 定投模型

定投就是每隔一定的時(shí)間就對(duì)一個(gè)投資產(chǎn)品進(jìn)行固定金額的購買。為了能簡化出來定投的數(shù)學(xué)模型，定義如下符號(hào)：

• $x$：每次定投的金額
• $0?T$：總定投的時(shí)間
• $\Delta T$：每次定投間隔的時(shí)間
• $f(t)$：投資產(chǎn)品的價(jià)格關(guān)于時(shí)間的函數(shù)（例如一股$f(t)$元）

由定投的總時(shí)間和定投的間隔時(shí)間我們可以計(jì)算出定投的總次數(shù)$n=T/\Delta T$，那么投資的總金額就是$TV=nx=xT/\Delta T$。不妨設(shè)在$\Delta T$時(shí)刻進(jìn)行第一次投資，那么第$i$次投資獲得產(chǎn)品數(shù)量$m_i=x/f(i\Delta T)$，總共獲得投資產(chǎn)品的數(shù)量為$M={\sum }_{i=1}^n{m}_i$。計(jì)算出總數(shù)量和總成本，就可以計(jì)算出平均成本$c$如下：
$$\begin{gathered} c=TV/M \\ =\frac{xn}{{\sum }_{i=i}^n\frac{x}{f(i\Delta T)}} \\ =\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{f(i\Delta T)}} \end{gathered}$$
已知如果想要投資獲利，那么投資人的目標(biāo)是降低手上每一份投資產(chǎn)品的均價(jià)盡量低，并且在賣出時(shí)的價(jià)格盡量高。定投平?jīng)]有規(guī)定賣出的時(shí)間，因此定投策略本身無法控制賣出價(jià)格。根據(jù)上面的分可以看定投主要控制的是買入的平均價(jià)格。

買入的平均價(jià)格是$c$，這個(gè)公式實(shí)際上是一個(gè)調(diào)和平均數(shù)的公式。定投的魔力也正是通過這個(gè)調(diào)和平均數(shù)表現(xiàn)出來。如果我們在任意一個(gè)時(shí)刻all in一個(gè)投資產(chǎn)品那么我們得到的產(chǎn)品價(jià)格是算數(shù)平均數(shù)。根據(jù)基礎(chǔ)的不等式知識(shí)知道調(diào)和平均數(shù)<算數(shù)平均數(shù)。用公式來說就是：
$$\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{f(i\Delta T)}}<\frac{{\sum }_{i=1}^{n}f(i\Delta T)}{n}$$
右邊的公式就是算出平均數(shù)，也就是隨機(jī)一點(diǎn)all in的平均成本。

當(dāng)然這個(gè)算式寫出來非常的抽象，不妨說一個(gè)形象的理解。定投在投資的時(shí)候由于每次投資的金額相等，那么在價(jià)格低的時(shí)候會(huì)買入更多的產(chǎn)品，在高點(diǎn)的時(shí)候會(huì)購入更少的產(chǎn)品，也就是說自動(dòng)的對(duì)價(jià)格進(jìn)行了購買策略的調(diào)正，一定程度上放大了低價(jià)區(qū)間，縮小了高價(jià)區(qū)間。

2. 定投實(shí)驗(yàn)

定投的實(shí)驗(yàn)反復(fù)被論證：定投是比大多數(shù)基金經(jīng)理都聰明的投資策略。而且$89\%$的對(duì)沖基金都沒有戰(zhàn)勝美國的股市的大盤。

2.1 不同投資策略對(duì)比

有關(guān)定投的實(shí)驗(yàn)非常多，實(shí)驗(yàn)過程簡單明了，結(jié)論也非常清晰。在這里介紹一個(gè)reddit上面的實(shí)驗(yàn)：源實(shí)驗(yàn)。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)假設(shè)三種情景：

• Tiffany是最差的投資者。每個(gè)月她存200美元，獲得$3\%$的利息。到了金融危機(jī)的時(shí)候她就在最高點(diǎn)全部買入S&P500美國大盤基金。之后繼續(xù)存錢直到下一次金融危機(jī)繼續(xù)在最高點(diǎn)投入。這樣她會(huì)買入4次，分別是1987、1990、2000、2007。經(jīng)過40年的投資之后（從1979年開始），總共投入96,000美元，資產(chǎn)663,594美元。
• Brittany是最強(qiáng)的投資者。每個(gè)月她存200美元，獲得$3\%$的利息，然后在每次金融危機(jī)最低點(diǎn)買入S&P500。這樣40年下來資產(chǎn)為956,838
• Sarah是定投者。每個(gè)月投資200美元到S&P500，四十年下來資產(chǎn)為1,386,429。

2.2 不同時(shí)間跨度對(duì)比

定投的時(shí)間間隔不同給人的感覺非常不同。因此在這里做一個(gè)不同時(shí)間間隔的利潤對(duì)比。在2012-2022年這十年時(shí)間內(nèi)，分別采用時(shí)間間隔為1天、1周、1月。結(jié)果如下：

1天1周1月

增長	$191.89\%$	$207.19\%$	$198.73\%$

根據(jù)上面的結(jié)果看出當(dāng)時(shí)間長度足夠長的時(shí)候每一種時(shí)間間隔都有差不多的收益，因此不必過于糾結(jié)與時(shí)間間隔的長短。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的定投基本原理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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