偏微分方程數(shù)值模擬常用的方法主要有三種：有限差分方法(FDM)、有限元方法(FEM)、有限體積方法(FVM)，本文將對這三種方法進行簡單的介紹和比較。

一.有限差分方法

有限差分方法(Finite Difference Methods)是數(shù)值模擬偏微分方程最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法包括區(qū)域剖分和差商代替導數(shù)兩個過程。

具體地，首先將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解區(qū)域。其次，利用Taylor級數(shù)展開等方法將偏微分方程中的導數(shù)項在網(wǎng)格節(jié)點上用函數(shù)值的差商代替來進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知量的代數(shù)方程組。

該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。差商代替導數(shù)后的格式稱為有限差分格式，從格式的精度來考慮，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間離散形式來考慮，有中心格式和迎風格式。對于瞬態(tài)方程，考慮時間方向的離散，有顯格式、隱格式、交替顯隱格式等。

目前常見的差分格式，主要是以上幾種格式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)問題模型和Courant穩(wěn)定條件來決定。

二.有限元方法

有限元方法(Finite Element Methods)的基礎(chǔ)是變分原理和分片多項式插值。該方法的構(gòu)造過程包括以下三個步驟。

首先，利用變分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析的知識將求解空間擴大)。其次，將計算區(qū)域劃分為有限個互不重疊的單元(三角形、四邊形、四面體、六面體等)。再次，在每個單元內(nèi)選擇合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將偏微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的分片插值基函數(shù)組成的線性表達式，得到微分方程的離散形式。利用插值函數(shù)的局部支集性質(zhì)及數(shù)值積分可以得到未知量的代數(shù)方程組。

有限元方法有較完善的理論基礎(chǔ)，具有求解區(qū)域靈活(復雜區(qū)域)、單元類型靈活(適于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格)、程序代碼通用(數(shù)值模擬軟件多數(shù)基于有限元方法)等特點。有限元方法最早應用于結(jié)構(gòu)力學，隨著計算機的發(fā)展已經(jīng)滲透到計算物理、流體力學等各個數(shù)值模擬領(lǐng)域的廣泛應用中。

根據(jù)所采用的檢驗函數(shù)(虛位移函數(shù))和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從檢驗函數(shù)的選擇來說，有配置法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計算格式。對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為

• 建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與檢驗函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。
• 區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前處理過程，要給出計算單元和節(jié)點進行編號相互之間的關(guān)系、節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出問題的自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。
• 確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。
• 單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的函數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。
• 總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。
• 邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(Dirichlet邊界條件)、自然邊界條件(Neumann邊界條件)、混合邊界條件(Cauchy邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。
• 解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，采用適當?shù)拇鷶?shù)方程組求解器，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。

三.有限體積法

有限體積法(Finite Volume Methods)又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區(qū)域劃分為一系列互不重疊的控制體，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體；將待求解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。

該方法的未知量為網(wǎng)格點上的函數(shù)值。為了求出控制體積的積分，須假定函數(shù)值在網(wǎng)格點控制體邊界上的變化規(guī)律。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于有限元方法中檢驗函數(shù)取分片常數(shù)插值的子區(qū)域法；從未知量的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。

有限體積法的基本思路易于理解，能夠保持物理量在控制體上的守恒性質(zhì)，也即離散方程保持了微分方程物理量在控制體滿足某種守恒原理的物理意義。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點。此外，在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計算控制體積的積分，因此可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數(shù)。

三者各有所長

有限差分方法直觀，理論成熟，精度可選。但是不規(guī)則區(qū)域處理繁瑣，雖然網(wǎng)格生成可以使FDM應用于不規(guī)則區(qū)域，但是對區(qū)域的連續(xù)性和解的光滑性等要求較高。使用FDM的好處在于易于編程。

有限元方法適合處理復雜區(qū)域，精度可選，程序代碼具有較強的通用性，適于大規(guī)模編程開發(fā)和計算。有限體積法適于流體計算，可以應用于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，適于并行。但是精度最高達到二階。FVM的優(yōu)勢正逐漸顯現(xiàn)出來，FVM在應力應變、高頻電磁場方面的特殊的優(yōu)點正在被人重視。

三者間的區(qū)別

FVM和FDM在精度和守恒性方面的差別

FVM由積分方程離散，而FDM方法由微分方程直接離散，前者的精度不但取決于積分時的精度，還取決于對導數(shù)處理時的精度，一般總體最高具有二階精度；后者的精度不涉及積分，而是借助Taylor展開利用差商代替導數(shù)，可以具有較高階的精度。前者對于守恒型方程保持守恒性質(zhì)，而后者不一定具有守恒性。

FVM和FEM的區(qū)別

有限元在復雜區(qū)域的適應性對有限體積是相同的，而有限容積的守恒性，物理概念明顯的這些特點，有限元是沒有的。但是有限體積方法在精度方面與有限元方法還有些差距。

FEM和FDM的區(qū)別

有限元方法在適應復雜求解區(qū)域和對解的光滑性要求上要優(yōu)于有限差分法，但是在編程和實現(xiàn)上，有限差分方法在效率上占有一定的優(yōu)勢。

總結(jié)

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