催眠大師

題目鏈接：YBT2023寒假Day11 B

題目大意

有一個 n*n 的棋盤，有一些位置有障礙。
然后定義棋盤上兩個位置能相互攻擊當且僅當在同一行或同一列，且之間的所有位置都沒有障礙。
多次詢問每次給你 k 求在棋盤中選 k 個沒有障礙的位置放棋子，最小能互相攻擊的對數。

思路

你可以發現障礙把每一行和每一列分別都拆成了若干個段，里面的點就互相可以攻擊。
那就是這些段每個的個數 $d$ 的 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{2}\right)$ 之和。

看到 $n$ 很小，但是如果我們直接 $O(n^2)$ 網絡流也不行。
但是因為是棋盤，一個經典的方法就是行列分別建點，然后之間的邊標記圖中的點。
不過你注意到一行或者一列個數的不是線性的。

不過我們思考網絡流每次跑費用最小的地方，那在能互相攻擊到的位置上，你每選一個點，增加的費用是每次遞增，增加 $1$ 的。
那我們可以改成建兩排點分別是行里面互相能到的點和列里面互相能到的點。
然后原本行列連邊就改成在它屬于的互相能到的點連邊。

然后每個行列互相能到的點到分別源點匯點就連多條邊，每條的流量是 $1$，費用是遞增的 $1～x$。
然后跑費用流就好了。

代碼

#include<queue> #include<cstdio> #include<iostream> #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fusing namespace std;const int N = 55; int n, a[N][N], ans[N * N], coll[N][N], colr[N][N], sz[N * N * 2]; int S, T, le[N * N * 2], KK, tot, Tot; struct node {int x, val, to, nxt, op; }e[N * N * N * N]; char c;int deg[N * N * 2], dis[N * N * 2], lee[N * N * 2]; bool in[N * N * 2]; queue <int> Q;void add(int x, int y, int z, int val) {e[++KK] = (node){z, val, y, le[x], KK + 1}; le[x] = KK;e[++KK] = (node){0, -val, x, le[y], KK - 1}; le[y] = KK; }bool SPFA() {while (!Q.empty()) Q.pop();for (int i = 0; i <= tot; i++) deg[i] = 0, dis[i] = INF, lee[i] = le[i];Q.push(S); deg[S] = 1; dis[S] = 0; in[S] = 1;while (!Q.empty()) {int now = Q.front(); Q.pop();for (int i = le[now]; i; i = e[i].nxt)if (dis[e[i].to] > dis[now] + e[i].val && e[i].x) {dis[e[i].to] = dis[now] + e[i].val;deg[e[i].to] = deg[now] + 1;if (!in[e[i].to]) {in[e[i].to] = 1; Q.push(e[i].to);}}in[now] = 0;}return dis[T] != dis[0]; }int dfs(int now, int sum) {if (now == T) return sum;int go = 0;for (int &i = lee[now]; i; i = e[i].nxt)if (dis[e[i].to] == dis[now] + e[i].val && deg[e[i].to] == deg[now] + 1 && e[i].x) {int this_go = dfs(e[i].to, min(sum - go, e[i].x));if (this_go) {e[i].x -= this_go;e[e[i].op].x += this_go;go += this_go; if (go == sum) return go;}}deg[now] = -1;return go; }int main() {freopen("table.in", "r", stdin);freopen("table.out", "w", stdout);scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++) {c = getchar(); while (c != '.' && c != '#') c = getchar();if (c == '.') a[i][j] = 1;else a[i][j] = 0;}for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++) {if (!a[i][j]) continue;if (!a[i - 1][j]) coll[i][j] = ++Tot;else coll[i][j] = coll[i - 1][j];sz[coll[i][j]]++;if (!a[i][j - 1]) colr[i][j] = ++Tot;else colr[i][j] = colr[i][j - 1];sz[colr[i][j]]++;}S = Tot + 1; T = S + 1; tot = T;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++) {if (!a[i][j]) continue;add(coll[i][j], colr[i][j], 1, 0);if (coll[i][j] != coll[i - 1][j])for (int k = 1; k <= sz[coll[i][j]]; k++) add(S, coll[i][j], 1, k - 1);if (colr[i][j] != colr[i][j - 1])for (int k = 1; k <= sz[colr[i][j]]; k++) add(colr[i][j], T, 1, k - 1);}int num = 0;while (SPFA()) {int x = dfs(S, INF);for (int i = 1; i <= x; i++) num++, ans[num] = ans[num - 1] + dis[T];}int q; scanf("%d", &q);while (q--) {int x; scanf("%d", &x); printf("%d\n", ans[x]);}return 0; }

總結

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