初始化

選擇高斯分布的個數$Q$和學習率$\alpha$(通常在0.01～0.1之間)。

輸入第一幀圖像，對每個像素$I(1)$，分別初始化$Q$個均值${\mu }_q=I(1)$，方差為${\sigma }_q^2$（取一個較大的值，具體自己設置）的高斯函數，對應的權重分別為$w_q$，$q=1,2,?,Q$。

$Q$一般取3～7，$w_k＝1.0/Q$。

判斷像素與$Q$個高斯分布是否匹配

獲取第$k$幀圖像，像素為$I(k)$。

查看像素與$Q$個高斯分布是否匹配，如果有多個匹配，從中選擇最好的一個。

判斷是否匹配的方法：
$$|I(k)?{\mu }_q(k?1)|<2.5{\sigma }_q(k?1)$$
${\mu }_q(k?1),{\sigma }_q(k?1)$分別是第$q$個高斯分布在$k?1$幀的均值和方差。

可以根據$\frac{|I(k)?{\mu }_q(k?1)|}{{\sigma }_q(k?1)}$來判斷與高斯分布的匹配程度，$\frac{|I(k)?{\mu }_q(k?1)|}{{\sigma }_q(k?1)}$越小，匹配程度越高，所以只要選擇令$\frac{|I(k)?{\mu }_q(k?1)|}{{\sigma }_q(k?1)}$最小的高斯分布，就是選擇最匹配的那一個，即
$$l={\mathrm{argmin}}_q\left[\frac{|I(k)?{\mu }_q(k?1)|}{{\sigma }_q(k?1)}\right]$$

高斯分布的更新

• 如果步驟2中有找到最匹配的那個高斯分布$l$，那么

  • 更新權值
    $$w_q(k)=\{\begin{array}{rl}(1?\alpha )w_q(k?1),& q=l\\ w_q(k?1),& q=l\end{array}$$

    上面公式的意思是：如果是像素最匹配的那個高斯分布，那么權值保持不變；否則，權值乘上一個小于0的常數，從而變小。

    更新完之后要對所有權值重新做歸一化。

  • 更新均值和方差

    只對高斯分布$l$的均值和方差更新。

    均值：${\mu }_l(k)=(1?\rho ){\mu }_l(k?1)+\rho I(k)$

    方差：${\sigma }_l^2(k)=(1?\rho ){\sigma }_l^2(k?1)+\rho [I(k)?{\mu }_l(k){]}^2$

    其中，$\rho =\alpha N(I(k)|{\mu }_l,{\sigma }_l^2)$。

    這里的$\rho$為什么要在$\alpha$的基礎上再乘上一個$N(I(k)|{\mu }_l,{\sigma }_l^2)$呢？

    $\rho$如此設置，是想結合$I(k)$與高斯分布$l$的匹配程度，自適應地調節更新時$I(k)$相關項（即$I(k)$和$[I(k)?{\mu }_l(k){]}^2$）的比重。

    如果$I(k)$越匹配高斯分布$l$，它應該越靠近高斯分布$l$的均值${\mu }_l$，$N(I(k)|{\mu }_l,{\sigma }_l^2)$就越大，從而$\rho$越大，更新時$I(k)$相關項的權重就越高，反之則權重越低。

• 如果步驟2中沒有找到一個匹配的高斯分布，那么把最不常用（$w$最小）的那個高斯分布$p$丟棄，即
  $$p={\mathrm{argmin}}_q(w_q)$$
  用一個新的高斯分布代替，新高斯分布相關的參數設置為：

  均值：
  $${\mu }_p(k)=I(k)$$
  方差：
  $${\sigma }_p^2=2{\max }_q\{{\sigma }_q^2(k?1)\}$$
  權值：
  $$w_p=0.5{\min }_q\{w_q(k?1)\}$$

  所有圖片的像素都處理完畢，則前往步驟4；否則，返回步驟2。

確定背景模型

$\text{Q}$個高斯分布按照$\frac{w_q}{{\sigma }_q}$的值從大到小排序。

選取排序序列中前$B$個高斯分布作為背景像素模型，選取方式是
$$B={\mathrm{argmin}}_b(\sum _{q=1}^b{w}_q>T)$$
式中，$T$為預置的閾值($0.5\le T\le 1$)。即排序靠前的高斯分布的權值之和大于$T$所需的最少高斯分布個數。

當背景物體靜止并沒有被遮擋時，物體表面產生的噪聲符合均值穩定的高斯分布，隨著幀數的增加，這個分布的數據會持續累積，而且它的方差也會越來越小。

數據較少時不太能看出分布規律，數據看起來會比較分散，這時方差較大；數據較多時就能看出數據集中于均值附近，這時方差較小。

當一個新的物體遮擋了原來靜止的背景物體時，一般會導致兩種結果

• 要么產生一個新的分布（新物體的像素不匹配原來的高斯分布）；

• 要么增大一個己有的分布的方差（新物體的像素還匹配原來的高斯分布）。

另外，當新的物體是一個運動物體時，相對于被遮擋的背景像素，它的像素一般會有更大的變化，從而新物體像素在每幀的高斯分布參數更新時，都會發生以上的兩種結果之一。