64馬8賽道問題

• 0. 問題描述
• 1. 解題思路
• • 1.1 有計時的情況--8趟
  • 1.2 無計時的情況
  • • 1.2.1 一般方法--15趟
    • 1.2.2 優化方法--10至11趟
    • 1.2.3 皮一下的方法--1趟
• 2. 總結
• 3. 更新

0. 問題描述

64馬8賽道問題常常以以下形式被描述：

現有64匹馬以及8條賽道，現在需要選出跑的最快的4匹馬。

• 在有計時的情況下，需要跑幾輪？
• 在無計時的情況下，需要跑幾輪？

1. 解題思路

1.1 有計時的情況–8趟

有計時的情況十分簡單。64匹馬分8組測試，對每匹馬分別計時。最后統計用時，按用時從少到多排列，取前4名即可。

1.2 無計時的情況

1.2.1 一般方法–15趟

Step1. 將64匹馬分成8組，跑8趟，淘汰每組后4名。
Step2. 將剩余的32匹馬分4組，跑4趟，淘汰每組后4名。
Step3. 將剩余的16匹馬分2組，跑2趟，淘汰每組后4名。
Step4. 將最后8匹馬編成1組，跑1趟，取前4名即可。
總結： 該方法共需跑15趟。思路比較簡單，比較麻煩，還有優化的空間。

1.2.2 優化方法–10至11趟

Step1. 將64匹馬分成8組，跑8趟，淘汰每組后4名 【此時已跑：8趟】

編號規則：XY，X=組號，Y=組內名次
Step2. 將每組第一名的馬編成1組，跑1趟，淘汰最后4名所在的組【此時已跑：9趟】

編號規則：XY，X=組間名次，Y=組內名次
Step3. 此時可以確定11號是跑的最快的馬，取出放置一旁。

編號規則：XY，X=組間名次，Y=組內名次
從圖中可以看出，組1中越靠近11越快，4組間越靠近組1越快
Step4. 取位于藍色陰影部分的馬匹，除去41號外的另外8匹編成1組，跑1趟【此時已跑：10趟】
Step5. 判斷

如果第10趟中位于第三名的馬匹，Y位編號>=3，則可說明前三名，外加之前取到的11號，這4匹馬就64匹馬中跑的最快的4匹【此時結束：總趟數10趟】

如果本趟中位于第三名的馬匹，Y位編號<3，則需淘汰第10趟中排名第8的馬匹，將41號編入再跑1趟，即可確定64匹馬中跑的最快的4匹【此時結束：總趟數11趟】

1.2.3 皮一下的方法–1趟

Step1. 將8條賽道均勻分成8等份，即獲取64條子賽道。
Step2. 將64匹馬分別分配在各個子賽道，同時起跑，取最先到達子賽道終點的4匹馬即為64匹馬中跑的最快的馬【此時結束：總趟數1趟】

2. 總結

該問題要求盡可能充分的利用已知信息，在該題目中我們可以獲知的信息分別是：

第一輪8趟中，我們可以知道馬匹的 組內排名

第二輪1趟中，我們可以知道馬匹的 組間排名

我們可以獲知的控制條件分別是：

馬匹 組內排名，如果組內無法跑進前4，則必無法進入整體的前四。

馬匹 組內排名，如果本組排名相對靠后的馬位于前4，則本組排名在它之前的馬必在前4

馬匹 組間排名，如果本組最快的馬無法跑進前4，則該組剩余的馬必如法進入整體的前4。

充分利用這些信息我們即可在用最少的輪次篩選出最快的馬匹

3. 更新

2020年2月18日 —— 針對 qq_41543660 評論區回復的更新

最少9次，https://blog.csdn.net/qq_41543660/article/details/104363646

該算法的基本思想為 挑選標桿馬 與 待定數組，標桿馬參與下一輪比賽，名次高于標桿的馬記入 待定數組。

當標桿馬落后時重新選舉標桿馬；并將名次在新標桿馬之前的馬匹記入待定數組。

比如挑選第一組第4名[馬(1,4)]為標桿馬，第一組前三名記入待定數組

更換標桿馬的情況：下一組時馬(1,4)落出前四，將馬(2,4)選舉為新標桿參與下一組比賽，以此類推

不更換標桿馬的情況：下一組時馬(1,4)仍在前4，則馬(1,4)繼續參加下一輪，以此類推

首先感謝您的回復，先說結論

你是對的，在最好的情況下9輪即可完成比賽

最好的情況（以第4名為標桿）：

64匹馬中隨機抽取8匹，且 真TOP4 在這8匹中。這樣該組的 第4名 即為 真第四名，比剩余所有的馬跑的都快。

剩下的8輪中，它必跑第一，也就印證了第一組的前四是 真TOP4。這是一個非常巧妙的方法。

但是，我們可以進行一點簡單的組合運算。這4匹馬被分在一組中的排列組合有多少種呢，應當是

$$C_{60}^4=487635$$即最好情況出現的概率約為$$2.05\times 10^{?4}$$

到此我們先按下不談，再來看看最壞的情況：

最壞的情況莫過于每次都要重新選舉標桿。這樣 9輪 后在待定數組中會存留 TOP27。TOP27 再次按照此規則進行比賽，13輪后，待定數組內會存留 TOP12，TOP12 比賽 2輪 后選出 真TOP4，總過程 15輪。

基于正態分布，該算法最后大約穩定在 12輪 后選出真 TOP4，比文中算法多1輪

當然在你的算法中也提出了 標桿前移 的優化算法，但在這種情況下 無法得出 9輪的最優解，大約會穩定在10至12輪。與上文算法基本一致。

就我個人而言，我認為應用于生產環境的算法應當以穩定為大，即最優與最差的差距不應太大。因此我會選擇我在文中闡述的方法應用于生產。

再次感謝您提出的寶貴意見，最后祝您身體健康，謝謝。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的64马8赛道取前4问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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