歐拉計劃 P429 Sum of squares of unitary divisors（數論）

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題目大意：

定義一個數 $n$ 的因數 $d$ 為獨立因數，當且僅當 $\gcd (d,n/d)=1$ 。定義函數 $s(n)$ 為 $n$ 的所有獨立因數的平方和。求 $s(100000000!)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}1000000009$ 。

題解：好久沒做過歐拉計劃了。。。沒想到隨手一翻就找到了一道很像acm數論題的題目。。。考慮唯一分解定律， $?n\in N,n=p_1^{s_1}{p}_2^{s_2}?p_r^{s_r}$ ，一個因數為獨立因數時，那么這個獨立因數一定可以寫成 $p_{a_1}^{s_{a_1}}{p}_{a_2}^{s_{a_2}}?p_{a_k}^{s_{a_k}}$ 的形式，那么只要求出所有的 $p_i^{s_i}$ ，再將它們一一組合起來即可。此時存在兩個問題：
（1）如何求出階乘數的所有的 $p_i^{s_i}$ ？
根據定義，一個階乘數
$$n!=\prod _{i=1}^{n}i=\prod _{i=1}^n{p}_{a_{i1}}^{s_{a_{i1}}}{p}_{a_{i2}}^{s_{a_{i2}}}?p_{a_{ik}}^{s_{a_{ik}}}=p_1^{\sum _{i=1}^n{s}_{i1}}{p}_2^{\sum _{i=1}^n{s}_{i2}}?p_r^{\sum _{i=1}^n{s}_{ir}}$$

那么對于一個質數 $p$ ，只要求出 $\sum _{i=1}?\frac{n}{p^i}?$ 作為次方即可。
（2）如何求出所有的組合情況？
對于每個質數次方數 $p_i^{s_i}$ ，都有取或不取兩種情況，此時的組合情況數量為 $2^{\pi (n)}$ , $\pi (n)$ 為 $[1,n]$ 中所有質數的數量。對于這種天文數字，我們是不可能通過暴力求解得出所有的組合情況的，那么應該如何簡化問題？考慮 $s(n)$ 求的是所有獨立因數的平方和，我們可以通過生成函數的思想去得出答案，作出多項式 $\prod _{i=1}(p_i^{2s_i}+1)$ ，不難發現這東西涵蓋了所有的組合情況，那么這個多項式最后得到的結果就是 $s(n)$ 的值。此時暴力求這個連乘式就行。
結尾附上AC結果和代碼～

#include<iostream> #include<bitset> #include<vector> using namespace std; #define debug(x) cerr<<#x<<":"<<x<<endl #define debug2(x,y) cerr<<#x<<":"<<x<<" "<<#y<<":"<<y<<endl #define debug3(x,y,z) cerr<<#x<<":"<<x<<" "<<#y<<":"<<y<<" "<<#z<<":"<<z<<endl typedef long long ll; using namespace std; typedef long long ll; const ll N=1e8,M=1000000009; ll cnt=0,prime[N+1]; bitset<N+1> vis; vector<ll> pf; ll qpow(ll a,ll b){ll res=1;while(b){if(b&1) res=(res*a)%M;a=(a*a)%M;b>>=1;}return res; } void pre(){cout<<"Start!"<<endl;for(int i=2;i<=N;++i){if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;for(int j=0;i*prime[j]<=N;++j){vis[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0) break;}} } int main(){pre();cout<<"The primes' count is "<<cnt<<endl;ll res=1;for(int i=0;i<cnt;++i){if(M%prime[i]==0) cout<<prime[i]<<endl;ll k=0,t=prime[i],tt=prime[i];while(N/t){k+=N/t;t=t*tt;}t=qpow(prime[i],k<<1ll)+1;res=t*res%M;}cout<<"The result is "<<res<<endl; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的欧拉计划 P429 （数论）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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