程序猿遇上量子計(jì)算 - 從0到1入門量子計(jì)算

量子力學(xué)需要復(fù)數(shù)

歷史起源-薛定諤方程

量子力學(xué)的發(fā)展于20世紀(jì)，量子計(jì)算則興起于21世紀(jì)。

1900年，普朗克在研究黑體輻射的實(shí)驗(yàn)，分析電磁輻射能量是一份一份的，離散而不可再分的，提出的量子化的概念，這也是量子概念的初見世面。1905年愛因斯坦在研究光電效應(yīng)時(shí)，進(jìn)一步闡述了“量子化”，提出光電效應(yīng)數(shù)學(xué)公式，光析出每個(gè)電子的動(dòng)能Ek，Ek可表示為：Ek=hv-Φ。v-頻率，h-普朗克常數(shù)，Φ-功函數(shù)。

1925年，一戰(zhàn)已經(jīng)結(jié)束，歐洲大陸恢復(fù)了和平，理論學(xué)術(shù)重新活躍，微觀尺度粒子特性一直是科學(xué)家們研究的重點(diǎn)，包括“量子”。瑞士蘇黎世，奧地利理論物理學(xué)家薛定諤在物理學(xué)術(shù)研討會(huì)中精彩闡述了波粒二象性，物理學(xué)家-德拜指出：“既然粒子具有波動(dòng)性，應(yīng)該有一種能夠正確描述這種量子性質(zhì)的波動(dòng)方程”。這給了薛定諤極大的啟發(fā)與思考，關(guān)于定義粒子的波動(dòng)方程成為薛定諤新的研究方向。

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1926年，薛定諤參考德布羅意論文的相對(duì)論性理論，推導(dǎo)出一個(gè)相對(duì)論性波動(dòng)方程，他嘗試將方程應(yīng)用于氫原子，計(jì)算出束縛電子的波函數(shù)，計(jì)算結(jié)果與物理實(shí)驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果一致，達(dá)到精度要求。薛定諤發(fā)表了論文，正式提出薛定諤波動(dòng)方程。

這篇論文給以量子學(xué)術(shù)界的地震，將其帶入下一個(gè)時(shí)代。愛因斯坦稱贊“這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。”

薛定諤方程是描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，是含時(shí)方程，時(shí)間作為變量。

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細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)薛定諤方程是二階線性偏微分方程，函數(shù)值是復(fù)數(shù)的，現(xiàn)今量子力學(xué)中也習(xí)慣用復(fù)數(shù)來表示，道理何在？

復(fù)數(shù)必要性的證明

復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，定義是數(shù)軸上一一對(duì)應(yīng)的數(shù)值；虛數(shù)則是偶數(shù)次方是復(fù)數(shù)的數(shù)，例如(a+b*i)將偶指數(shù)冪是負(fù)數(shù)的數(shù)定義為純虛數(shù)。

1926年薛定諤建立薛定諤波動(dòng)方程時(shí)，寫下二階偏微分方程，將復(fù)數(shù)i引入了量子力學(xué)的世界。后面，量子領(lǐng)域的科學(xué)家久久思索，復(fù)數(shù)/虛數(shù)真的是量子力學(xué)中必要的嗎，能不能構(gòu)建實(shí)數(shù)方程，在可理解性上更佳，計(jì)算速度上更好。薛定諤、馮諾依曼、厄恩斯特·斯蒂克爾堡等科學(xué)家均嘗試構(gòu)建實(shí)數(shù)的量子力學(xué)，一度認(rèn)為復(fù)數(shù)在量子力學(xué)里只是方便計(jì)算的手段，而不是必需的存在，似乎我們完全可以只用實(shí)數(shù)去描述量子的世界。

歐拉公式：

2021年1月，奧地利、西班牙和瑞士等歐洲國(guó)家的科研團(tuán)隊(duì)提出 一種利用確定性糾纏交換驗(yàn)證復(fù)數(shù)必要性的貝爾不等式類型的檢驗(yàn)方法，在實(shí)驗(yàn)上證明復(fù)數(shù)在量子力學(xué)中的必要性。

2022年，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉、陸朝陽(yáng)團(tuán)隊(duì)和南方科技大學(xué)范靖云團(tuán)隊(duì)獨(dú)立地實(shí)驗(yàn)排除了實(shí)數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)。潘建偉院士團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了完整貝爾態(tài)測(cè)量，嚴(yán)格證明了復(fù)數(shù)的必要性。

復(fù)數(shù)的概念 形式

定義

量子力學(xué)需要復(fù)數(shù)，歐洲科學(xué)家利用確定性糾纏交換，驗(yàn)證復(fù)數(shù)必要性，中國(guó)潘建偉院士亦進(jìn)行了完整貝爾態(tài)的測(cè)量。

復(fù)數(shù)，包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)，屬于數(shù)域的擴(kuò)充；虛數(shù)的提出是因?yàn)閺?fù)數(shù)開偶次方根沒有意義，為了閉環(huán)負(fù)數(shù)的開根，例如 i2= -1，則提出了虛數(shù)的概念。

代數(shù)定義

學(xué)術(shù)上將 z=a+bi (a,b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)) 稱之為復(fù)數(shù)，其中a是實(shí)部，b是虛部。

當(dāng) a=0，b=! 0時(shí)，z=bi，則為純虛數(shù)。

當(dāng) a!=0，b=0時(shí)，z=a，則為實(shí)數(shù)。

當(dāng) a!=0，b!=0時(shí)，z=a+bi，有實(shí)部和虛部，則為復(fù)數(shù)。

幾何表示

對(duì)于虛數(shù) z=a+bi，在實(shí)數(shù)幾何坐標(biāo)中無法表示，因此，引入復(fù)平面，即復(fù)數(shù)幾何坐標(biāo)軸，橫軸是實(shí)數(shù)，縱軸是虛數(shù)。

z = a+bi 即可在幾何坐標(biāo)中表示

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復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示

已知z=a+bi,? 是z和x實(shí)數(shù)軸的夾角。

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復(fù)數(shù)的模

把復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的平方和開算術(shù)平方根則稱之為 復(fù)數(shù)的模，記住|z|

常用公式

虛數(shù)的平方等于-1

i的n次冪

i的n次冪是周期函數(shù)，周期為4

歐拉公式

定義

數(shù)學(xué)世界的海洋中，著名公式燦若星河，其中歐拉公式則是最為燦爛的珍珠，他把三角函數(shù)和復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起。數(shù)學(xué)中有很多歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，得名于瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉 。

e是自然常數(shù)，i是虛數(shù)單位，sin是正旋函數(shù)，cos是余弦函數(shù)

歐拉恒等式中包括了圓周率，自然常數(shù)e，虛數(shù)單位i，重要實(shí)數(shù)1，0

這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”。

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練手習(xí)題

題1

題2

題3

文獻(xiàn)索引

[1] The Principles of Quantum Mechanics P.M.Dirac

[2] 物理學(xué)修訂版 Lett. 129， 140401 （2022） - 嚴(yán)格局部條件下實(shí)值量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)反駁 (aps.org)

[3] 簡(jiǎn)明量子力學(xué) 吳飆

總結(jié)

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