001 量子计算与复数
程序猿遇上量子計(jì)算 - 從0到1入門量子計(jì)算
量子力學(xué)需要復(fù)數(shù)
歷史起源-薛定諤方程
量子力學(xué)的發(fā)展于20世紀(jì),量子計(jì)算則興起于21世紀(jì)。
1900年,普朗克在研究黑體輻射的實(shí)驗(yàn),分析電磁輻射能量是一份一份的,離散而不可再分的,提出的量子化的概念,這也是量子概念的初見世面。1905年愛因斯坦在研究光電效應(yīng)時(shí),進(jìn)一步闡述了“量子化”,提出光電效應(yīng)數(shù)學(xué)公式,光析出每個(gè)電子的動(dòng)能Ek,Ek可表示為:Ek=hv-Φ。v-頻率,h-普朗克常數(shù),Φ-功函數(shù)。
1925年,一戰(zhàn)已經(jīng)結(jié)束,歐洲大陸恢復(fù)了和平,理論學(xué)術(shù)重新活躍,微觀尺度粒子特性一直是科學(xué)家們研究的重點(diǎn),包括“量子”。瑞士蘇黎世,奧地利理論物理學(xué)家薛定諤在物理學(xué)術(shù)研討會(huì)中精彩闡述了波粒二象性,物理學(xué)家-德拜指出:“既然粒子具有波動(dòng)性,應(yīng)該有一種能夠正確描述這種量子性質(zhì)的波動(dòng)方程”。這給了薛定諤極大的啟發(fā)與思考,關(guān)于定義粒子的波動(dòng)方程成為薛定諤新的研究方向。
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1926年,薛定諤參考德布羅意論文的相對(duì)論性理論,推導(dǎo)出一個(gè)相對(duì)論性波動(dòng)方程,他嘗試將方程應(yīng)用于氫原子,計(jì)算出束縛電子的波函數(shù),計(jì)算結(jié)果與物理實(shí)驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果一致,達(dá)到精度要求。薛定諤發(fā)表了論文,正式提出薛定諤波動(dòng)方程。
這篇論文給以量子學(xué)術(shù)界的地震,將其帶入下一個(gè)時(shí)代。愛因斯坦稱贊“這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。”
薛定諤方程是描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律,是含時(shí)方程,時(shí)間作為變量。
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細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)薛定諤方程是二階線性偏微分方程,函數(shù)值是復(fù)數(shù)的,現(xiàn)今量子力學(xué)中也習(xí)慣用復(fù)數(shù)來表示,道理何在?
復(fù)數(shù)必要性的證明
復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù),實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù),定義是數(shù)軸上一一對(duì)應(yīng)的數(shù)值;虛數(shù)則是偶數(shù)次方是復(fù)數(shù)的數(shù),例如(a+b*i)將偶指數(shù)冪是負(fù)數(shù)的數(shù)定義為純虛數(shù)。
1926年薛定諤建立薛定諤波動(dòng)方程時(shí),寫下二階偏微分方程,將復(fù)數(shù)i引入了量子力學(xué)的世界。后面,量子領(lǐng)域的科學(xué)家久久思索,復(fù)數(shù)/虛數(shù)真的是量子力學(xué)中必要的嗎,能不能構(gòu)建實(shí)數(shù)方程,在可理解性上更佳,計(jì)算速度上更好。薛定諤、馮諾依曼、厄恩斯特·斯蒂克爾堡等科學(xué)家均嘗試構(gòu)建實(shí)數(shù)的量子力學(xué),一度認(rèn)為復(fù)數(shù)在量子力學(xué)里只是方便計(jì)算的手段,而不是必需的存在,似乎我們完全可以只用實(shí)數(shù)去描述量子的世界。
歐拉公式:
2021年1月,奧地利、西班牙和瑞士等歐洲國(guó)家的科研團(tuán)隊(duì)提出 一種利用確定性糾纏交換驗(yàn)證復(fù)數(shù)必要性的貝爾不等式類型的檢驗(yàn)方法,在實(shí)驗(yàn)上證明復(fù)數(shù)在量子力學(xué)中的必要性。
2022年,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉、陸朝陽(yáng)團(tuán)隊(duì)和南方科技大學(xué)范靖云團(tuán)隊(duì)獨(dú)立地實(shí)驗(yàn)排除了實(shí)數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)。潘建偉院士團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了完整貝爾態(tài)測(cè)量,嚴(yán)格證明了復(fù)數(shù)的必要性。
復(fù)數(shù)的概念 形式
定義
量子力學(xué)需要復(fù)數(shù),歐洲科學(xué)家利用確定性糾纏交換,驗(yàn)證復(fù)數(shù)必要性,中國(guó)潘建偉院士亦進(jìn)行了完整貝爾態(tài)的測(cè)量。
復(fù)數(shù),包括實(shí)數(shù)和虛數(shù),屬于數(shù)域的擴(kuò)充;虛數(shù)的提出是因?yàn)閺?fù)數(shù)開偶次方根沒有意義,為了閉環(huán)負(fù)數(shù)的開根,例如 i2= -1,則提出了虛數(shù)的概念。
代數(shù)定義
學(xué)術(shù)上將 z=a+bi (a,b為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)) 稱之為復(fù)數(shù),其中a是實(shí)部,b是虛部。
當(dāng) a=0,b=! 0時(shí),z=bi,則為純虛數(shù)。
當(dāng) a!=0,b=0時(shí),z=a,則為實(shí)數(shù)。
當(dāng) a!=0,b!=0時(shí),z=a+bi,有實(shí)部和虛部,則為復(fù)數(shù)。
幾何表示
對(duì)于虛數(shù) z=a+bi,在實(shí)數(shù)幾何坐標(biāo)中無法表示,因此,引入復(fù)平面,即復(fù)數(shù)幾何坐標(biāo)軸,橫軸是實(shí)數(shù),縱軸是虛數(shù)。
z = a+bi 即可在幾何坐標(biāo)中表示
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復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示
已知z=a+bi,? 是z和x實(shí)數(shù)軸的夾角。
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復(fù)數(shù)的模
把復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的平方和開算術(shù)平方根則稱之為 復(fù)數(shù)的模,記住|z|
常用公式
虛數(shù)的平方等于-1
i的n次冪
i的n次冪是周期函數(shù),周期為4
歐拉公式
定義
數(shù)學(xué)世界的海洋中,著名公式燦若星河,其中歐拉公式則是最為燦爛的珍珠,他把三角函數(shù)和復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起。數(shù)學(xué)中有很多歐拉命名的常數(shù)、公式和定理,得名于瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉 。
e是自然常數(shù),i是虛數(shù)單位,sin是正旋函數(shù),cos是余弦函數(shù)
歐拉恒等式中包括了圓周率,自然常數(shù)e,虛數(shù)單位i,重要實(shí)數(shù)1,0
這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式,它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起,數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”。
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練手習(xí)題
題1
題2
題3
文獻(xiàn)索引
[1] The Principles of Quantum Mechanics P.M.Dirac
[2] 物理學(xué)修訂版 Lett. 129, 140401 (2022) - 嚴(yán)格局部條件下實(shí)值量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)反駁 (aps.org)
[3] 簡(jiǎn)明量子力學(xué) 吳飆
總結(jié)
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