漫谈高数（转载）
(一) 泰勒級(jí)數(shù)的物理意義
高等數(shù)學(xué)干嗎要研究級(jí)數(shù)問(wèn)題?
???????是為了把簡(jiǎn)單的問(wèn)題弄復(fù)雜來(lái)表明自己的高深? No，是為了把各種簡(jiǎn)單的問(wèn)題/復(fù)雜的問(wèn)題，他們的求解過(guò)程用一種通用的方法來(lái)表示。
???????提一個(gè)問(wèn)題，99*99等于多少? 相信我們不會(huì)傻到列式子去算，口算也太難了而是會(huì)做一個(gè)迂回的方法，99*(100-1)，這樣更好算。那么995*998呢? 問(wèn)題更復(fù)雜了，(1000-5)*(1000-2)，式子比直接計(jì)算要復(fù)雜，但是口算卻成為了可能。歸納一下，x*y這樣的乘法運(yùn)算或者冪次運(yùn)算，如何直 接計(jì)算很麻煩的話，我們可以用因式分解的方法(中學(xué)生都能理解)來(lái)求解。但是因式分解仍然不夠通用，因?yàn)槲覀兛偸切枰ㄟ^(guò)觀察"特定"的待求解式子，找到 一種規(guī)律，然后才能因式分解，這是我們從小學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)方法的全部: 特定問(wèn)題特定的解答方法。那么，到了高等數(shù)學(xué)，怎么辦? 研究一種方之四海皆準(zhǔn)的，通用的方法。
???????泰勒級(jí)數(shù)的物理意義是什么? 就是把方程g(x)=0的解，寫成曲線方程的形式看看和x軸有什么交點(diǎn)。例如f(x)=x^2=5等價(jià)于g(x)=x^2-5=0和x軸的交點(diǎn)。而這個(gè)曲 線交點(diǎn)可以用直線切線的逼近方法(牛頓迭代法)來(lái)實(shí)現(xiàn)，這就是泰勒級(jí)數(shù)的物理意義: 點(diǎn)+一次切線+2次切線+...+N次切線。每次切線公式的常數(shù)，就是泰勒級(jí)數(shù)第N項(xiàng)的常數(shù)。OK，從泰勒級(jí)數(shù)的式子可以看到，為了保證兩邊相等，且取N 次導(dǎo)數(shù)以后仍然相等，常數(shù)系數(shù)需要除以n!，因?yàn)閤^n取導(dǎo)數(shù)會(huì)產(chǎn)生n!的系數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)，就是切線逼近法的非跌代的，展開(kāi)式。泰勒公式怎么來(lái)的，其實(shí)根據(jù)牛頓逼近法就可以得到從1階一直可以推導(dǎo)到N階。假設(shè)f1(x)=f(x)-f(a)，由牛頓逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)^2
同理，假設(shè)f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)，
兩邊求導(dǎo),f2'(x)=f'(x)-f'(x)-f''(x)(x-a)=-f''(a)(x-a)
再求不定積分f2(x)=-(1/2)f''(a)(x-a)^2+C，C就是那個(gè)高階無(wú)窮小(需要證明)
所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2+o(x-a)^3依次類推，最后就有了泰勒公式。另一種證明過(guò)程干脆就是先寫出來(lái)g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然后從等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g'''''(a)=f'''''(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示系數(shù)了。
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?? ? ??泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)函數(shù)，能做什么？對(duì)于特定的x取值，可以求它附近的函數(shù)。y=x^100展開(kāi)以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少，計(jì)算 過(guò)程和結(jié)果不但更直觀，而且可以通過(guò)舍棄一些高階項(xiàng)的方法來(lái)避免不必要的精度計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間(如果是計(jì)算機(jī)計(jì)算復(fù)雜數(shù)字的話)。在圖像 處理的計(jì)算機(jī)軟件中，經(jīng)常要用到開(kāi)方和冪次計(jì)算，而Quake III的源代碼中就對(duì)于此類的計(jì)算做了優(yōu)化，采用泰勒技術(shù)展開(kāi)和保留基本項(xiàng)的辦法，比純粹的此類運(yùn)算快了4倍以上。
???????還可以做什么呢? 對(duì)于曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，用方程求解的辦法有時(shí)候找不到答案，方程太復(fù)雜解不出來(lái)，那么用泰勒級(jí)數(shù)的辦法求這個(gè)交點(diǎn)，那么交點(diǎn)的精度要提高，相當(dāng)于泰勒級(jí)數(shù)的保留項(xiàng)要增加，而這個(gè)過(guò)程對(duì)應(yīng)于牛頓--萊布尼茨的迭代過(guò)程，曲線交點(diǎn)的解在精度要求確定的情況下，有了被求出的可能。
???????看到了吧，泰勒技術(shù)用來(lái)求解高方程問(wèn)題，是一種通用的方法，而不是像中學(xué)時(shí)代那樣一種問(wèn)題一種解決辦法，高等數(shù)學(xué)之所以成為"高等"，就是它足夠抽象，抽象到外延無(wú)窮大。
???????那么，更感興趣的一個(gè)問(wèn)題是，對(duì)于高階的微分方程表達(dá)的問(wèn)題，怎么求解呢? 泰勒級(jí)數(shù)不行了，就要到傅立葉級(jí)數(shù)-傅立葉變換-拉普拉斯變化。這幾個(gè)工具廣泛用于各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)分析，從信號(hào)與系統(tǒng)到數(shù)理方程的求解。
???????中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)最大的區(qū)別是什么? 中學(xué)數(shù)學(xué)研究的是定解問(wèn)題，例如根號(hào)4等于2。高等數(shù)學(xué)研究什么呢----它包含了不定解問(wèn)題的求解，例如用一個(gè)有限小數(shù)位的實(shí)數(shù)來(lái)表示根號(hào)5的值。我們 用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)求出的根號(hào)5的近似值，無(wú)論保留多少位小數(shù)，它都嚴(yán)格不等于根號(hào)5，但是實(shí)際應(yīng)用已經(jīng)足夠了。不可解的問(wèn)題，用高等數(shù)學(xué)的通解辦法，可以求 出一個(gè)有理數(shù)的近似解，它可以無(wú)限接近于上帝給出的那個(gè)無(wú)理數(shù)的定解。通解可行性的前提是，我們要證明這種接近的收斂性，所以我們會(huì)看到高等數(shù)學(xué)上冊(cè)的課本里面，不厭其煩的，一章接一章，一遍又一遍的講，一個(gè)函數(shù)，在某個(gè)開(kāi)區(qū)間上，滿足某個(gè)條件，就能被證明收斂于某種求和式子。初等數(shù)學(xué)求的是定解，那么如 果沒(méi)有定解呢? 高等數(shù)學(xué)可以求近似解。牛頓萊布尼茨就是切線逼近法的始祖。例如求解一般的3次方程的根，求解公式可以是定解形式:(http://baike.baidu.com/view/1382952.htm)。但是問(wèn)題是根號(hào)內(nèi)的無(wú)理數(shù)仍然無(wú)法表示出來(lái)。那么逼近法求一個(gè)數(shù)的N次方根就派上用場(chǎng)了。
f{m}=m(k+1)=m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.
n是方次，A被開(kāi)方數(shù)。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之間。我們可以隨意代入一個(gè)數(shù)m，例如2，那么：
第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7;
第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71;
第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709;
每次多取一位數(shù)。公式會(huì)自動(dòng)反饋到正確的數(shù)值。
???????具體的求解過(guò)程：先說(shuō)說(shuō)泰勒級(jí)數(shù)：一個(gè)方程，f(x)=0，求解x，它唯一對(duì)應(yīng)x-f(x)二維圖像上的一條曲線。那么x的求解過(guò)程可以用牛頓-萊布尼茨 逼近法求得(迭代)。例如x^2=5可以看成f(x)=x^2-5=0的求曲線和X軸的交點(diǎn)。牛頓迭代法可以用來(lái)求解線性方程的近似解。那么如何求解非線 性方程呢?f(x)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前N項(xiàng)(通常N=2)，得到一個(gè)線性的方程，這個(gè)方程相當(dāng)于是原來(lái)的曲線在求解點(diǎn)附近做了一條切線，其求解過(guò)程和牛頓迭代法等 價(jià)。迭代次數(shù)越多，越接近非線性。用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)分解sin(t)，把一個(gè)光滑的函數(shù)變成一些列有楞有角的波形的疊加。用傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)分解方波，把有楞有角 的波形變成一些光滑曲線的集合。但是傅立葉級(jí)數(shù)舍棄項(xiàng)的時(shí)候，會(huì)產(chǎn)生高頻的吉布斯毛刺(上升下降的邊沿，迪利赫里條件不符合)。局部的收斂性不如泰勒級(jí)數(shù) 展開(kāi)----因?yàn)樘├占?jí)數(shù)展開(kāi)有逐項(xiàng)衰減的常數(shù)因子。
???????舉個(gè)例子，用泰勒級(jí)數(shù)求解歐拉公式。沒(méi)有歐拉公式，就沒(méi)有傅立葉變換，就沒(méi)有拉普拉斯變化，就不能把高階導(dǎo)數(shù)映射到e的倒數(shù)上面，也就無(wú)法把微分方程等價(jià)為一個(gè)限行方程。歐拉公式有什么用? 它把實(shí)數(shù)的三角運(yùn)算變成了復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)算，把指數(shù)運(yùn)算變成了乘積運(yùn)算，把純微分方程的求解過(guò)程變成了指數(shù)方程的求解過(guò)程，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算。
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???????推廣一下。怎么分析一個(gè)函數(shù)?怎么分析一個(gè)幾何的相交問(wèn)題?怎么解決一個(gè)多維的問(wèn)題? 初等的方法是根據(jù)函數(shù)或者圖形的幾何性質(zhì)，去湊答案----當(dāng)然大部分情況是湊不到答案的，因?yàn)槟軠惖酱鸢甘且驗(yàn)閱?wèn)題/題目給出了一些特殊的數(shù)學(xué)關(guān)系以使 得我們恰好能湊到答案! 例如一個(gè)圓球在正方體里面，求通過(guò)某個(gè)頂點(diǎn)的切面方程或者距離什么的，我們可以通過(guò)做輔助面求得。但是這個(gè)求解太特殊了，對(duì)于普通的點(diǎn)，例如切面方程 13x+615y+72z-2=0這樣的，初等方法就無(wú)能為力了。說(shuō)白了初等方法就是牛頓在<<自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理>>提到的幾 何方法，牛頓并沒(méi)有把微積分上升到解析的思想。普通數(shù)學(xué)分析則提出了解析的代數(shù)運(yùn)算思想，把具體的問(wèn)題用通用的方式來(lái)求得，而問(wèn)題的題設(shè)只是一種把函數(shù)的實(shí)際參數(shù)帶入形式參數(shù)的過(guò)程，使得問(wèn)題可以形式化了----如果數(shù)學(xué)問(wèn)題不能形式化就不能通過(guò)狀態(tài)機(jī)來(lái)求解，試想，計(jì)算機(jī)怎么會(huì)畫輔助線呢? 幾何圖形是有意義的，但是形式求解本身沒(méi)有意義，它必須把實(shí)際的"意義"問(wèn)題變成代數(shù)運(yùn)算，例如求最大值最小值變成導(dǎo)數(shù)=0。電路分析當(dāng)中的模型是什么? 就是數(shù)學(xué)建模。因?yàn)殡妷汉碗娏魇强梢詼y(cè)量的量，那么我們就要看什么量是不變量/變量，什么量是自變量/因變量。如果電壓是不變量，我們認(rèn)為是理想電壓源； 如果電流是不變量就是理想電流源，如果電壓電流的比例不變就是恒定電阻；如果電壓電流乘積不變就是理想功率源。把控制電路作為一個(gè)整體，那么電壓/電流控 制電壓/電流，作為一個(gè)黑盒，對(duì)外的特性就是電壓轉(zhuǎn)移系數(shù)，電流轉(zhuǎn)移系數(shù)，轉(zhuǎn)移電阻和轉(zhuǎn)移電抗。在物理學(xué)的電場(chǎng)分析當(dāng)中電壓/電勢(shì)是一個(gè)矢量，但是到了集 總電路分析的領(lǐng)域就退化成了一個(gè)標(biāo)量。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題的分析，好比物理學(xué)當(dāng)中的動(dòng)量/能量守恒，電路分析是以電流守恒為基礎(chǔ)的，于是就有了節(jié)電電流法和環(huán)路 電壓法的概念。這些概念的建立都是為了分析的目的而存在的，是分析工具。我們首先得到一個(gè)工具，當(dāng)直接分析很困難的時(shí)候，我們采用逼近的方法來(lái)解決 ----因?yàn)闃O限就是我們所求的。正是因?yàn)榻馕龅乃枷胧且环N通用的求解方式，愛(ài)因斯坦在晚年才會(huì)追求4大場(chǎng)的統(tǒng)一理論，當(dāng)然他忽略了這個(gè)"解析"的形式系 統(tǒng)本身在量子的尺度上失效了，忽略了不確定性和概率的影響，令人惋惜。說(shuō)的太遠(yuǎn)了，高數(shù)里面為什么有那么多種正交展開(kāi)? 泰勒級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)，羅朗級(jí)數(shù)----其實(shí)就是因?yàn)槌醯鹊姆椒o(wú)法精確分析出定解，那么就去尋找一種"不斷逼近"的方法來(lái)求解。復(fù)變函數(shù)研究的就是如何 用冪級(jí)數(shù)不斷的逼近原函數(shù)這個(gè)基本命題。
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???????泰勒是怎么想出來(lái)的?
???????為什么泰勒級(jí)數(shù)，傅立葉級(jí)數(shù)，這些展開(kāi)式都可以寫成某個(gè)通項(xiàng)公式的和呢? 是不是真理都是簡(jiǎn)單的美的，就像畢達(dá)哥拉斯所設(shè)想的一樣? 這個(gè)觀點(diǎn)也許搞反了因果的方向。我們看一下泰勒級(jí)數(shù)是怎么得到的。泰勒假設(shè)f(x)=f(a)+f'(x)(x-a)+o(x-a)^2，這個(gè)是牛頓萊布尼茨公式可以推出來(lái)的，那么有了一次項(xiàng)以后，如何繼續(xù)逼近? 方法類似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f'(x)(x-a)，那么可以寫出g2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)兩邊對(duì)x求導(dǎo)再求不定積分，就得到了2階的泰勒級(jí)數(shù)。依次類推，可以得到N階的泰勒級(jí)數(shù)。由于每一階的推導(dǎo)過(guò)程是"相似"的，所以泰勒項(xiàng)數(shù)的子項(xiàng)肯定也就具有 了某種形式意義上的相似性。說(shuō)白了，不是因?yàn)榭陀^存在某種規(guī)律使得函數(shù)可以展開(kāi)成具有通項(xiàng)公式的冪級(jí)數(shù)，而是為了把函數(shù)展開(kāi)成具有通項(xiàng)公式的冪級(jí)數(shù)再去看每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)該等于什么，然后為了保證嚴(yán)格再給出收斂以及一致收斂的條件。
???????不是客觀存在某種"簡(jiǎn)單而且美"的真理，而是主體把某種"簡(jiǎn)單而且美"的形式強(qiáng)加給客觀，再看客觀在"強(qiáng)加"語(yǔ)境下的特性如何。傅立葉級(jí)數(shù)的思想，頻率分 析的思想，和這個(gè)相似，是把我們心中的某個(gè)概念賦予外界的實(shí)在，按主管意識(shí)的想法來(lái)拆借外界----只有這樣，思想才能被理解。當(dāng)然，實(shí)數(shù)范圍的泰勒級(jí)數(shù) 和傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的條件仍然比較嚴(yán)格，復(fù)變函數(shù)引入了對(duì)應(yīng)的洛朗級(jí)數(shù)和傅立葉/拉普拉斯變換，通用性強(qiáng)多了。說(shuō)白了，復(fù)變函數(shù)就是函數(shù)逼近論。為了解決初 等思想沒(méi)法解決的不可能想明白的問(wèn)題而引入的高等方法。逼近思想的一個(gè)應(yīng)用就是理解曲率的公式 A=|y''|/sqrt(1+y'^2)。畫出逼近圖形就可以理解了，用兩個(gè)相似三角形就可以證明這個(gè)公式。
???????復(fù)變函數(shù)說(shuō)白了就是2維正交元素組成的數(shù) 域。(1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一個(gè)正交的表達(dá)式，它保留了兩個(gè)方向上的分量，使得2維分析變得可能。這樣一 來(lái)，高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的曲線積分，積分的變量不再是x和y而是只剩下了z，形式上簡(jiǎn)單多了。
???????假設(shè)曲線積分S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=x^2-2xy-y^2,P=x^2-y^2+2xy，顯然滿足格林公式。然后負(fù)數(shù)積分 S(z^2)dz=S(x^2+2xyi-y^2)d(x+yi)=S( (x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy )。而S(x^2+2xyi-y^2)d(x+yi)實(shí)部=S(x^2-y^2)dx-2xy^2dy，虛部=S(2xydx+(x^2- y^2)dy)，實(shí)部和虛部相加就是S1，也就是說(shuō)，S是S1(曲線積分和路徑無(wú)關(guān))的復(fù)數(shù)形式。我們可以驗(yàn)證S(z^2)dz沿不同積分路線從起點(diǎn)到終 點(diǎn)的積分結(jié)果。z^2=(x^2-y^2)+i2xy，顯然滿足柯西-黎曼條件。于是它和實(shí)數(shù)積分的格林公式統(tǒng)一了。
???????實(shí)際的模型總是難以精確的解釋的,所以我們創(chuàng)造一些理想模型去逼近現(xiàn)實(shí)。當(dāng)然，兩者不會(huì)相等，但是只要誤差在容許的范圍之內(nèi)，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)的分析就成功了。這就是一切數(shù)學(xué)建模的思想。工科電子類的專業(yè)課，第一門數(shù)學(xué)建模的課程就是電路分析。這里傳輸線的問(wèn)題被一個(gè)等效電路替代了。實(shí)際電源被一個(gè)理想的電 壓源加上一個(gè)電阻替代了，三級(jí)管放大電路的理論模型就是電流控制的電流源。一切都是為了分析的方便。只要結(jié)果足夠近似，我們就認(rèn)為自己的理論是有效的。出了這個(gè)邊界，理論就需要修正。理論反映的不是客觀實(shí)在，而是我們"如何去認(rèn)識(shí)"的水平，理論是一種主觀的存在，當(dāng)實(shí)際情況可以影射到同一種理論的時(shí)候，我 們說(shuō)理論上有了一種主觀的"普遍聯(lián)系"，就像電路分析和網(wǎng)絡(luò)流量的拓?fù)浞治鲇泻芏喙餐c(diǎn)。這種普遍聯(lián)系不是客體的屬性，只和主體的觀點(diǎn)有關(guān)。
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???????說(shuō)點(diǎn)題外話，對(duì)于工科電子類/計(jì)算機(jī)類的學(xué)生來(lái)說(shuō)，我們學(xué)習(xí)了太多了經(jīng)過(guò)精簡(jiǎn)壓縮貫通的課程，以至于不知道了這些理論原有的面貌。有一種趨勢(shì)就是把重要的思想性的原理性的東西去掉只留下工程實(shí)用性的內(nèi)容下來(lái)。于是工科學(xué)生學(xué)到的都是"閹割"過(guò)的科學(xué)與技術(shù)----缺少靈魂的學(xué)問(wèn)是無(wú)法用來(lái)做研究的。下面是課程的對(duì)應(yīng)關(guān)系:
1. 高等數(shù)學(xué)(工科)2個(gè)學(xué)期 <-> 數(shù)學(xué)分析+解析幾何+微分幾何(5個(gè)學(xué)期)____數(shù)學(xué)系專業(yè)課
2. 線性代數(shù)(工科)1個(gè)學(xué)期 <-> 高等代數(shù)(2個(gè)學(xué)期)+矩陣論(1個(gè)學(xué)期)______數(shù)學(xué)系專業(yè)課
3. 數(shù)理方法(工科)1個(gè)學(xué)期 <-> 常微分方程+偏微分方程+算子理論(3個(gè)學(xué)期)_數(shù)學(xué)系專業(yè)課
4.?離散數(shù)學(xué)(工科)1-2學(xué)期 <-> 形式邏輯+數(shù)理邏輯+集合論+近世代數(shù)+組合數(shù)學(xué)+運(yùn)籌學(xué)+拓?fù)鋵W(xué)(N個(gè)學(xué)期)_數(shù)學(xué)系專業(yè)課
5. 信號(hào)與系統(tǒng)(工科)1個(gè)學(xué)期 <-> 復(fù)變分析+實(shí)變分析+泛函分析+控制理論+... ..._數(shù)學(xué)系專業(yè)課
???????沒(méi)有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，所謂的"科研"，只能是某種一邊發(fā)明數(shù)學(xué)一邊湊答案的抓狂，只能是空談。還是老老實(shí)實(shí)的做項(xiàng)目，搞軟硬件研發(fā)，開(kāi)發(fā)市場(chǎng)，做技術(shù)支持，寫報(bào)告，等等。
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(二) 方程和矩陣的物理含義
[一. 矩陣和空間的思想]
???????我在這里，把線性代數(shù)歸于高等數(shù)學(xué)的范疇，因?yàn)樗睦碚撨m用于很多高等數(shù)學(xué)求解的領(lǐng)域，例如多項(xiàng)微分方程組的求解，離不開(kāi)它。
???????方程組，有什么物理/幾何的意義嗎? 有，就是一種映射關(guān)系。下圖中，左圖代表了2維到2維的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表對(duì)于滿秩矩陣A，[0]只能被映射為[0]。右圖代表A不滿 秩，就是2維映射到1維的情況，一個(gè)線段映射到一個(gè)點(diǎn)，也就是存在一個(gè)"解系"。
???????換個(gè)角度，由于線性映射常常就是線性變換，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某種交點(diǎn)的性質(zhì)。根據(jù)向量之間相交的情況區(qū)分，定解(直 線或面交于一點(diǎn)，1和2中的交點(diǎn))，無(wú)窮解(直線平行或面多面共線，這個(gè)線就構(gòu)成解系。1種的紅黃色重合線和3中的共線)，或者無(wú)解(平行或面沒(méi)有公共交 點(diǎn)，1中的平行線和4中的平行交線)。如下圖所示。
???????符號(hào)系統(tǒng)還有什么作用？在線性代數(shù)和微分方程里面的算子理論就是符號(hào)系統(tǒng)的一種形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我們 可以推出對(duì)于矩陣方程組Ax=B有確定解，,那么這個(gè)解集是x=(A^-1)*b。這里-1表示逆矩陣，*表示矩陣相乘，其中|A|!=0。這樣的表示是正確的科學(xué)的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是絕對(duì)值而是行列式。A此時(shí)稱為可逆矩陣----這個(gè)相當(dāng)于實(shí)數(shù)運(yùn)算里面要保證分 母!=0。是不是很相似？
???????可逆有什么性質(zhì)：如果對(duì)一個(gè)矩陣做線性變換，使用一個(gè)滿秩的矩陣，那么做變換的結(jié)果，秩不變。要注意，把矩陣當(dāng)成算子的時(shí)候，乘法的交換律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<=r(A)+r(B)。秩的性質(zhì)類似于開(kāi)根號(hào)。兩個(gè)性質(zhì)， (1)A*B=I，那么A和B都可逆。(2)B可逆，A^2+AB+B^2=0，那么求證A和A+B可逆。證明：A(A+B)=-B^2。|-B^2|= (-1)^n*|B|^2!=0，所以A和A+B都可逆。什么又是N階可逆矩陣呢？A*T(A)=I的矩陣就是了。推廣的說(shuō)，把分塊矩陣的元素可以看作普通的矩陣元素，那么線性變換的結(jié)果相似，只是4則運(yùn)算的單位從"1"變成了單位矩陣"I"。我們從一元方程得到類似的一元矩陣符號(hào)運(yùn)算的性質(zhì)。說(shuō)白了，代 數(shù)意義上就是雙射。
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[二. 矩陣運(yùn)算的物理含義，舉例]
???????如果把矩陣看成一個(gè)2維坐標(biāo)系離散值的幾何，那么
1. 矩陣加法A+B就是A的各個(gè)點(diǎn)作平移，平移的度量是B當(dāng)中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。
2. 矩陣乘法A*B就是一種線性映射：如果A是x/y坐標(biāo)系，B是y/z坐標(biāo)系，那么結(jié)果就是x->z的映射。舉個(gè)例子，有3個(gè)國(guó)家，A國(guó)有三個(gè)城市，B國(guó)有三個(gè)城市，C國(guó)有兩個(gè)城市。他們之間的道路狀況如下用矩陣表示
->B1,B2,B3
A1 1, 1, 0
A2 1, 0, 1
A3 1, 1, 0
->C1,C2
B1 1, 0
B2 1, 1
B3 0, 1
???????那么從A國(guó)的每個(gè)城市出發(fā)經(jīng)過(guò)B到達(dá)C的每個(gè)城市，各自有多少條線路? 答案就是A*B=[(2,1),(1,1),(2,1)]
3. 我們深入的討論一下"映射"的概念。舉實(shí)數(shù)為例，y=ax是一個(gè)乘法映射，每一個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)y。那么如果知道y求x呢? x=a^(-1)*y。這里影射函數(shù)f(x)=ax和反函數(shù)g(x)=a^(-1)x互逆。那么我們推廣到N維坐標(biāo)系空間里面就看到，矩陣就是一個(gè)N*N 的坐標(biāo)系映射。AX=B，把B看成Y，那么X=A^(-1)*Y。前提是A的范數(shù)!=0。我們構(gòu)造的得到的A的1范數(shù)就是它的行列式。那么到底什么是映 射? 萊布尼茨說(shuō)映射就是一組2元關(guān)系。在1維的時(shí)候表現(xiàn)為函數(shù)的形式f(z)=z，在多維的時(shí)候表現(xiàn)為矩陣的形式。1維的多次映射表現(xiàn)為函數(shù)的嵌套(g o f)，多維的情形可以寫成矩陣的乘法。當(dāng)然，限制條件是，矩陣能表示的是一個(gè)離散值的集合。當(dāng)然，方陣才有逆----方陣是維數(shù)不變的N->N的一 一映射，所以可能有且只有一個(gè)反映射，或者沒(méi)有反映射。N->M的不同維數(shù)映射無(wú)法得到反映射。
4. 形式化的定義。我們?nèi)绻丫仃嚳闯梢粋€(gè)"算子"的話，矩陣的乘法就能看成一個(gè)狀態(tài)機(jī)的推演，推算的過(guò)程就是一次算子入棧，反推的過(guò)程就是算子出棧。那么顯然就能夠理解(AB)T=B(T)*A(T)以及(AB)^-1=B^(-1)*A^(-1)，(AB)* = (B*)*(A*)。我們從伴隨矩陣的性質(zhì)AA*=|A|E得到A^(-1)=A*/|A|。矩陣左乘是行變換，右乘是列變換。把矩陣看成算子，同時(shí)可以 把子矩陣看成算子，分塊矩陣的相成和行列式求解也就很簡(jiǎn)單了。可以把小的矩陣當(dāng)成一個(gè)數(shù)來(lái)看待。三角陣通過(guò)初等變換可以變成分塊陣。
5. 初等矩陣有3種，對(duì)應(yīng)3種最基本的矩陣變換，也就是行列互換，行列數(shù)乘，一行/列數(shù)乘以后加到另一個(gè)行/列上面。初等矩陣都可逆。線性變換的結(jié)果是"相 抵"的。一個(gè)矩陣總是能等于一個(gè)初等變換矩陣，并且逆矩陣的屬性不變。對(duì)于可逆矩陣A，總有P1P2P3...PnAQ1Q2...Qn=E。或者說(shuō)存在 可逆矩陣P/Q使得PAQ=E。例如，如果A,B和A+B都可逆，那么A(-1)+B(-1)=B(-1)(B+A)A(-1)也是可逆的。
6. 于是有了線性空間的概念：線性空間V就是一個(gè)集合，它同時(shí)滿足V上的元素加法和對(duì)于數(shù)域K上面的乘法滿足8條線性運(yùn)算的規(guī)則。
7. 為什么要討論相似? 這里面包含了一種不變性，是研究變換的數(shù)學(xué)工具。實(shí)數(shù)變換可以拆分成復(fù)數(shù)變換，例如酉矩陣，在晶體學(xué)里，酉變換叫做幺正變換，也就是將空間（可以是任意維的）中一組基矢做一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作，不改變矢量的大小和內(nèi)積。而在量子力學(xué)里面，這個(gè)用處就更大了，本質(zhì)上就是量子力學(xué)所說(shuō)的表象變換。是連接兩個(gè)表象的橋 梁。
???????矩陣代表了一種二元關(guān)系。函數(shù)映射是一種1維的二元關(guān)系，那么矩陣就是一種N維的二元關(guān)系。矩陣的方法就是一種映射的運(yùn)算，之所以成為線形運(yùn)算，是因?yàn)槊?一個(gè)投影都是具有拉伸和整體旋轉(zhuǎn)的幾何意義，相當(dāng)于向量通過(guò)平面鏡映射到一個(gè)投影平面上面的結(jié)果。這里只有平面鏡和投影平面，沒(méi)有哈哈鏡和投影曲面。如果我們把2元的對(duì)應(yīng)關(guān)系寫成復(fù)數(shù)形式z=x+yi，那么f(z)就是一種投影的關(guān)系，只不過(guò)f(z)是直線方程的時(shí)候?qū)?yīng)于一個(gè)等效的矩陣，f(z)如果不 是直線方程，那么就是一種非線性變換。線形變換有許多很好的性質(zhì)，能夠保持信息的數(shù)量和結(jié)構(gòu)保持某種程度的不變性，同時(shí)使得結(jié)果方便理解和處理。
???????映射還有一個(gè)性質(zhì)，就是保角性。假設(shè)我們要研究x/y平面上面的x^2-y^2=c和xy=d這兩個(gè)雙曲線之間的夾角，怎么辦? 我們可以用微元的辦法(微分幾何)來(lái)求出。但是這樣當(dāng)然很麻煩，而且是一題一解(牛頓喜歡這樣做，但是萊布尼茨反對(duì)這種解決方案)，不太符合公理系統(tǒng)和形 式化推理的思想。考慮z1=x+yi,z2=y-xi,f(z)=z^2
費(fèi)波納契數(shù)列的求解
遇到過(guò)這樣的問(wèn)題:
???????一個(gè)數(shù)列a(-1)=1,a(0)=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)求an的通項(xiàng)公式。用中學(xué)時(shí)代的眼光我們可以觀察到，如果an當(dāng)n-& amp; gt;無(wú)窮的時(shí)候，是個(gè)等比數(shù)列，顯然符合遞推公式。那么我們就可以假設(shè)an=入a(n-1)，那么由遞推公式我們就可以得到:入^2*a(n-1)= 入*a(n-1)+a(n-1)，求得入=(1+根號(hào)5)/2(應(yīng)為這個(gè)比值要>1)，那么an=入^n*a0。當(dāng)然這個(gè)只是一個(gè)近似公式，結(jié)果不 準(zhǔn)確而且推導(dǎo)的過(guò)程不嚴(yán)格。那么我們用大學(xué)的線形代數(shù)來(lái)求解。我們考慮修正方案構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，an+Aa(n-1)=B(a(n-1)+A(a(n- 2)，化簡(jiǎn)得到an=(B-A)a(n-1)+Aa(n-2)，于是B-A=1,AB=1，解得A/B=(根號(hào)5+-1)/2，剩下的可以參看一組 Wiki(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97)。
???????線形代數(shù)有什么好處? 就是求解的過(guò)程本身可以一直保持變量的形式，可以最后一步才代入實(shí)際參數(shù)。我們寫出一個(gè)矩陣形式的遞推公式：
[a(n+1)]=[1,1][a(_n_)]=[1,1][1,1][a(n-1)]=...=[1,1]^n[a(0)]
[a(_n_)]=[1,0][a(n-1)]=[1,0][1,0][a(n-2)]=...=[1,0]乘[a(-1)]->
???????也就是我們假設(shè)A={[1,1],[1,0]}那么就有[a(n+1),a(n)]=A^n*[a0,a(-1)]。于是我們可以通過(guò)求解A^n來(lái)得到通項(xiàng)公式。求出A的特征值|A-入E|=0->
|1-入,1|
|1,0-入|
=
入^2-入-1=0，兩個(gè)特征值分別是:入1=(1+根號(hào)5)/2，入2=(1-根號(hào)5)/2。入1對(duì)應(yīng)的特征向量: |A-入E|x=0->
|1-入1,1|
|1,0-入1|
=
|入2,_1|
|0,-入1|所以對(duì)應(yīng)的特征向量是(1,-入2)。而入2對(duì)應(yīng)的特征向量同樣的求法得到(1,-入1)。所以可逆矩陣P=
[___1,___1]
[-入2,-入1]，|P|=(-入1+入2)|=-根號(hào)5。它的逆矩陣P(-1)=
[入1,1]
[-入2,-1]，除以根號(hào)5。所以A=P(-1)*B*P,B是A的特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣。所以
[a(n+1),a(n)]=A^n*[a0,a(-1)]=P(-1)*B^n*P*[a0,a1]->當(dāng)a0=a-1=1時(shí)an=(入1^(n+1)-入2^(n+1))/根號(hào)5
[三. 具體的性質(zhì)和計(jì)算]
1. 對(duì)于克萊姆法則求解的過(guò)程，我們看到Ax=0的情況，對(duì)應(yīng)于每個(gè)解分量的克萊姆除法式，Xn=Dn/DA，Dn矩陣中有一個(gè)全為0的列向量，那么求行列式 的過(guò)程(全乘)結(jié)果肯定為0，所以方程組至少有個(gè)解向量就是[0,0,0,....]。這驗(yàn)證了我們前面說(shuō)的，空間直線/面相交于原點(diǎn)的情況。
2. 對(duì)于行列式除法，如果有分母等于0的情況，Ax=b就“可能“對(duì)應(yīng)于無(wú)窮個(gè)解。當(dāng)然，解之間符合一定的數(shù)學(xué)約束關(guān)系(例如3維空間中的某個(gè)直線方程)。舉個(gè)例子，x=1,y=1,x-y=0這3個(gè)平面交匯于直線(x=1,y=1)，那么分母行列式些出來(lái)就是
|1,0,0 |
|0,1,0 |
|1,-1,0|
第三個(gè)行向量是冗余的，它的行列式＝0。為什么說(shuō)可能無(wú)窮個(gè)解(去窮個(gè)z)，因?yàn)閎不同，可能還會(huì)導(dǎo)致無(wú)解。那么，我怎么知道有解還是無(wú)解呢? 那就要求出所有克萊姆除法式的分子，如果有分子分母同為0的情況，就是無(wú)解，例如x=1,y=1,x-y=1這3個(gè)平面兩兩相交，但是就是沒(méi)有公共的部 分，克萊姆解法求z分量的過(guò)程，克萊姆分子就是下面這個(gè)矩陣的行列式
|1,0,0 |
|0,1,0 |
|1,-1,1|
顯然行列式=0。
??? 克萊姆法則提供一個(gè)同用的解方程的方法：我們不再需要通過(guò)觀察數(shù)字拼湊的方式來(lái)消元了。當(dāng)然，直接用克萊姆法則還是太復(fù)雜了。首先，隨著維數(shù)的升高，計(jì)算復(fù)雜度指數(shù)增加O(N!)，然后只有求出了所有的克萊姆分子行列式才能判斷是否有解，冗余度很高。所以我們需要進(jìn)一步廣義地研究矩陣的特性，矩陣的秩，特征矩陣/向量/值，等等。我們需要從Ax=0推理到Ax=b。
3. 例子: 如果有電路如下，一共5個(gè)電阻，方括號(hào)中的是電阻值:
|-[1]-----[2]----|
|????|????????? |
|???[1]???????? |
|????|????????? |
|-[2]-----[1]----|
那么如果電路左端是1V電壓，電路右端接地，那么流經(jīng)每個(gè)電阻的電流是多少?
??? 我們可以假設(shè)流經(jīng)每個(gè)電阻的電流是x1,x2,x3,x4,x5(從上到下從左到右分別是x1,x2,x5,x3,x4),電壓有4個(gè)方程，電流分配有2個(gè)方程，顯然有一個(gè)方程是冗余的，沒(méi)關(guān)系，聯(lián)立求解就可以了。x1,x2,x3,x4作為變量:
x1+2x2=1
2x3+x4=1
x1+x4+x5=1
2x2+2x3-x5=1
x1-x2-x5=0
x3-x4+x5=0
1? 2 0 00??? 1
0? 0 2 10??? 1
1? 0 0 11??? 1
0? 2 2 0 -1?? 1
1 -1 0 0 -1?? 0
0? 0 1-1?1?? 0
->
1? 2 0 00??? 1
0? 0 2 10??? 1
0 -2 0 1 1??? 0 :
0? 2 2 0 -1?? 1->
0 -3 0 0 -1?? 0 :
0? 0 1-1?1?? 0
->
1? 2 0 00??? 1
0? 0 2 10??? 1
0? 0 2 1 0???1 :
0? 2 2 0 -1?? 1
0 -3 0 0 -1?? 0 :
0? 0 1-1?1?? 0
->
少一行
1? 2 0 00??? 1
0? 0 2 10??? 1 :
0? 2 2 0 -1?? 1
0 -3 0 0 -1?? 0 ->
0? 0 1-1 -1?? 0
->
1? 2 0 00??? 1
0? 0 2 10??? 1 :
0? 2 2 0 -1?? 1
0? 0 3 0 0.5? 1.5
0? 0 1-1 -1?? 0
->
1? 2 0 00??? 1
0? 0 2 10??? 1 :
0? 2 2 0 -1?? 1
0? 0 1-1 -1?? 0
0? 0 6 0 1???3
->
1? 2 0 00??? 1
0? 2 2 0 -1?? 1
0? 0 2 10??? 1 :
0? 0 1-1 -1?? 0?? ->
0? 0 0 67??? 3 :
->
1? 2 0 00??? 1
0? 2 2 0 -1?? 1
0? 0 2 10??? 1 :
0? 0 2-2 -2?? 0?? ->
0? 0 0 67??? 3 :
->
1? 2 0 00??? 1
0? 2 2 0 -1?? 1
0? 0 2 10??? 1 :
0? 0 0-3 -2? -1?? ->
0? 0 0 67??? 3 :
->
1? 2 0 00??? 1
0? 2 2 0 -1?? 1
0? 0 2 10??? 1 :
0? 0 0-3 -2? -1?? ->
0? 0 0 03??? 1 :
x5=1/3
->x4=1/9
->x3=4/9
->x2=2/9
->x1=5/9
??? 驗(yàn)證一下，電壓，電流的結(jié)果都是正確的。
?
(三) 線性相關(guān)和秩的物理意義
什么是線性相關(guān)? 這兩個(gè)矢量(計(jì)算機(jī)里面用數(shù)組表示)v1和v2，如果v2可以從v1的某種乘除運(yùn)算(幅度拉伸，方向轉(zhuǎn)換)，得到v2+K*v1=0，那么我們認(rèn)為v2和 v1線性相關(guān)。例如，兩個(gè)直線方程，x+2y=0和2x+4y=0，他們的系數(shù)向量是(1,2)和(2,4)，顯然，他們是同一條直線。也就是說(shuō) (1,2)和(2,4)是線性相關(guān)的。同理，對(duì)于3維的情況，x=0,y=0,x=y這3個(gè)平面相交于Z軸，我們稱這3個(gè)平面關(guān)于Z軸線性相關(guān)，3個(gè)平面方程的系數(shù)向量之間可以從其中的任意兩個(gè)得到另外一個(gè)(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)。
???????說(shuō)的抽象一點(diǎn)，線性相關(guān)就是，對(duì)于N個(gè)m維向量v1-vN，存在不全為0的一個(gè)系數(shù)向量K使得 v1*k1+v2*k2+v3*k3+...+vN*kN=0。換句話說(shuō)，其中的某些向量，可以通過(guò)其他向量，對(duì)于其系數(shù)的四則運(yùn)算和組合得到。如果3個(gè) 向量v1,v2,v3是線性無(wú)關(guān)的(顯然，v1,v2,v3都不是全0向量)，那么v1+v2,v2+v3,v1+v3這三個(gè)向量之間是什么關(guān)系? 其中的任何一個(gè)不能通過(guò)其他的兩個(gè)進(jìn)行4則運(yùn)算得到，所以仍然是一組線性無(wú)關(guān)的向量。
???????用圖形來(lái)表示線性相關(guān)的概念，上圖的3維空間中，中a,b,c是3個(gè)不共線的向量，n是垂直于a/b所在平面的向量:
(1)線性無(wú)關(guān)組構(gòu)成線性空間，x/y/z構(gòu)成空間，a/b/c如果不共面的話也能構(gòu)成空間。空間是有不重疊的向量"張"成的。
(2)a/b/c雖然不兩兩垂直，但是保證不共面的情況下，仍然可以對(duì)其他向量做唯一的線性分解(投影)
(3)如果a/b/c不保證不共面，例如向量c在a/b張成的平面上，那么這個(gè)向量組的秩R=2，也就是這3個(gè)向量能表出某個(gè)2維空間的所有點(diǎn)集，但是3位空間中就有了很多點(diǎn)無(wú)法用a/b/c來(lái)線性表出，反映在方程組上就是無(wú)解。
(4)axb得到向量n，n和a/b所在面垂直------這個(gè)可以理解為n是a/b的正交補(bǔ)空間(高等代數(shù))的一個(gè)"代表"(近世代數(shù))。于是如果a/b/c要能張成3維的線性空間，就必須有c在n上面的投影不為0。此時(shí)c所在的子空間就是a/b構(gòu)成的子空間的補(bǔ)。
(5)上面所謂的線性運(yùn)算，也就是對(duì)+,*封閉，并且0元素的映射唯一。
(6)所謂矩陣A和B相抵，也就是A/B之間能用初等變換來(lái)互相轉(zhuǎn)化，相當(dāng)于把一個(gè)點(diǎn)集用平面鏡經(jīng)過(guò)若干次的反射映射到另外一個(gè)位置。這個(gè)點(diǎn)集的拓?fù)湫再|(zhì)保持完全不變。線性映射是保形映射，保角映射，同坯映射，具有很好的"運(yùn)算不變"特性。
??? Ax=b的解總是不多于Ax=0的解。這個(gè)很好理解: 例如，Ax=0如果是對(duì)應(yīng)3維方程組的話，就是3個(gè)平面在3維空間的交點(diǎn)。如果不是交與一條線，也不重合，那么就交與原點(diǎn)(0,0,0)。好了，對(duì)于 Ax=b的情況怎么理解呢? 也就是這3個(gè)平面都做了一定的平移。那么如果平移的當(dāng)，交點(diǎn)和原來(lái)一樣，只是平移到了(a,b,c)，但是也有可能這3個(gè)面平移的不正好相交，變成無(wú)解 了。這個(gè)分析的過(guò)程對(duì)應(yīng)于矩陣的增廣矩陣分析。如果矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，那么相當(dāng)于高斯消元法的過(guò)程出現(xiàn)了0=x(x非0)這樣的謬，也就是方程 組無(wú)解(沒(méi)有交點(diǎn))。如果兩個(gè)秩相等，就相當(dāng)于解的數(shù)量和原來(lái)一樣。
??? 那么，怎么理解秩，通解和特解呢? 還是拿3維平面舉例子(3維方程組)，如果系數(shù)矩陣的行列式為0，說(shuō)明可以通過(guò)消元法去掉至少一個(gè)方程，就像上面說(shuō)的x=0,y=0,x-y=0三個(gè)平面 的情況一樣，x=y可以通過(guò)前面兩個(gè)方程相減得到。系數(shù)矩陣的非相關(guān)向量個(gè)數(shù)=2，我們稱秩(rank)=2。好了，這個(gè)方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè)(整個(gè)Z 軸)，寫成通解形式就是(x,y,z)=k(0,0,1)，k是任意實(shí)數(shù)。如果方程組是Ax=b呢，那么交點(diǎn)相當(dāng)于平移到了(a,b,c)，通解形式就是 k(0,0,1)+(a,b,c)，這里(a,b,c)是特解，表示平移的基點(diǎn)。怎么求這個(gè)特解? 隨便代入一個(gè)x的值x0，求出y和z的對(duì)應(yīng)值，但是結(jié)果(x0,y0,z0)不等于(a,b,c)，不要緊，k(0,0,1)填補(bǔ)了(x0,y0,z0) 和(a,b,c)之間的差。
??? 繼續(xù)推廣，前面說(shuō)的Ax=b都是齊次線性方程組，如果A是非齊次的(m*n)呢，例如，有4個(gè)變量? 那么如果r(A)=2，說(shuō)明只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的矩陣向量，通解基的個(gè)數(shù)=max(m,n)-r(A)。這里，通解基個(gè)數(shù)=4-2=2。所以得到兩個(gè)方程的 時(shí)候，代入(x1,x2)=(1,0),(0,1)兩個(gè)向量，求出通解k1(x0,y0,1,0)+k2(x1,y1,0,1)。當(dāng)然，代如 (x3,x4)=某個(gè)向量組合，效果一樣，因?yàn)榫€性相關(guān)性是對(duì)稱的。最后，求特解，代入一個(gè)任意的(x1,x2)組合求出特解(x,y,z,L)。再次推 廣，Ax=B，B也是一個(gè)矩陣，有解嗎? 只要保證r(系數(shù)矩陣)=r(增廣矩陣)就可以了，也就是保證高斯消元的過(guò)程，方程兩邊不出現(xiàn)0=非0的悖論。
??? 好了，為了說(shuō)明線性相關(guān)，秩，通解之間的關(guān)系，我舉個(gè)例子。這個(gè)例子是線性代數(shù)的常見(jiàn)證明題：
??? 題目：已知A是m*n的矩陣，秩r(A)=m，存在矩陣使得AB=0有解，通解矢量個(gè)數(shù)為n-m。求證，對(duì)于任何矢量a使得Aa=0，那么必然有一個(gè)矢量b使得a=Bb。
??? 怎么證明呢? 要求證的東西其實(shí)就是，a可以表示為B的列向量的某種線性組合->也就是求證a總是可以由B的列向量線性表示。那么既然a是Ax=0的一個(gè)解，那么 就要求B的列向量必然是Ax=0的通解向量組成的矩陣，那么必然有AB=0的解的個(gè)數(shù)=n-r(A)=n-m，符合題設(shè)。倒過(guò)來(lái)寫就是證明的過(guò)程。
??? 求線性方程組通解的缺點(diǎn): 求秩的過(guò)程依然用到了高斯消元法，沒(méi)有對(duì)應(yīng)的計(jì)算機(jī)方法，全靠人為觀察。而且很多實(shí)際應(yīng)用的情況下，方程組是沒(méi)有精確解的，根本求不出秩，為了求得近似解，要引入奇異值分解的方法，而這個(gè)方法又引出了：特征矩陣，特征值，特征向量。?
?(四) 特征向量物理意義
?[1. 特征的數(shù)學(xué)意義]
??????? 我們先考察一種線性變化，例如x,y坐標(biāo)系的橢圓方程可以寫為x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐標(biāo)系關(guān)于原點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)以后，橢圓方程就要發(fā)生變換。我們可以把原坐標(biāo)系的(x,y)乘以一個(gè)矩陣，得到一個(gè)新的(x',y')的表示形式，寫為算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。這里的矩 陣M代表一種線性變換：拉伸，平移，旋轉(zhuǎn)。那么，有沒(méi)有什么樣的線性變換b(b是一個(gè)向量)，使得變換后的結(jié)果，看起來(lái)和讓(x,y)*b像是一個(gè)數(shù)b乘 以了一個(gè)數(shù)字m*b? 換句話說(shuō)，有沒(méi)有這樣的矢量b，使得矩陣A*b這樣的線性變換相當(dāng)于A在矢量b上面的投影m*b? 如果有，那么b就是A的一個(gè)特征向量，m就是對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征值。一個(gè)矩陣的特征向量可以有很多個(gè)。特征值可以用特征方程求出，特征向量可以有特征值對(duì)應(yīng)的 方程組通解求出，反過(guò)來(lái)也一樣。例如，設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,則常數(shù)a=? 因?yàn)閍1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,說(shuō)明a1=(a,-a,1)T是A的屬于0的特征向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解， 說(shuō)明a2=(a,1,-a)T是A的屬于-1的特征向量。實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量式正交的，所以a^2-a-a=0,a≠2,所以a=0。
??????? 還是太抽象了，具體的說(shuō)，求特征向量的關(guān)系，就是把矩陣A所代表的空間，進(jìn)行正交分解，使得A的向量集合可以表示為每個(gè)向量a在各個(gè)特征向量上面的投影長(zhǎng) 度。例如A是m*n的矩陣,n>m，那么特征向量就是m個(gè)(因?yàn)橹茸畲笫莔)，n個(gè)行向量在每個(gè)特征向量E上面有投影，其特征值v就是權(quán)重。那么每 個(gè)行向量現(xiàn)在就可以寫為Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩陣變成了方陣。如果矩陣的秩更小，矩陣的存儲(chǔ)還可以壓縮。再: 由于這些投影的大小代表了A在特征空間各個(gè)分量的投影，那么我們可以使用最小2乘法，求出投影能量最大的那些分量，而把剩下的分量去掉，這樣最大限度地保 存了矩陣代表的信息，同時(shí)可以大大降低矩陣需要存儲(chǔ)的維度，簡(jiǎn)稱PCA方法。
??????? 舉個(gè)例子，對(duì)于x,y平面上的一個(gè)點(diǎn)(x,y)，我對(duì)它作線性變換，(x,y)*[1,0;0,-1]，分號(hào)代表矩陣的換行，那么得到的結(jié)果就是 (x,-y)，這個(gè)線性變換相當(dāng)于關(guān)于橫軸x做鏡像。我們可以求出矩陣[1,0;0,-1]的特征向量有兩個(gè)，[1,0]和[0,1]，也就是x軸和y 軸。什么意思呢? 在x軸上的投影，經(jīng)過(guò)這個(gè)線性變換，沒(méi)有改變。在y軸上的投影，乘以了幅度系數(shù)-1，并沒(méi)有發(fā)生旋轉(zhuǎn)。兩個(gè)特征向量說(shuō)明了這個(gè)線性變換矩陣對(duì)于x軸和y軸 這兩個(gè)正交基是線性不變的。對(duì)于其他的線性變換矩陣，我們也可以找到類似的，N個(gè)對(duì)稱軸，變換后的結(jié)果，關(guān)于這N個(gè)對(duì)稱軸線性不變。這N個(gè)對(duì)稱軸就是線性 變換A的N個(gè)特征向量。這就是特征向量的物理含義所在。所以，矩陣A等價(jià)于線性變換A。
??????? 對(duì)于實(shí)際應(yīng)用的矩陣算法中，經(jīng)常需要求矩陣的逆：當(dāng)矩陣不是方陣的時(shí)候，無(wú)解，這是需要用到奇異值分解的辦法，也就是A=PSQ，P和Q是互逆的矩陣，而 S是一個(gè)方陣，然后就可以求出偽逆的值。同時(shí)，A=PSQ可以用來(lái)降低A的存儲(chǔ)維度，只要P是一個(gè)是瘦長(zhǎng)形矩陣，Q是寬扁型矩陣。對(duì)于A非常大的情況可以 降低存儲(chǔ)量好幾個(gè)數(shù)量級(jí)。
[2. 物理意義]
??????? 特征向量有什么具體的物理意義? 例如一個(gè)駐波通過(guò)一條繩子，繩子上面的每個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)無(wú)窮維的向量，這個(gè)向量的特征向量就是特征函數(shù)sin(t)，因?yàn)槭菚r(shí)變的，就成了特征函數(shù)。每個(gè)點(diǎn) 特征值就是每個(gè)點(diǎn)在特定時(shí)刻的sin(x+t)取值。再如，從太空中某個(gè)角度看地球自轉(zhuǎn)，雖然每個(gè)景物的坐標(biāo)在不斷的變換，但是這種變換關(guān)于地球的自傳軸有對(duì)稱性，也就是關(guān)于此軸的平移和拉伸的坐標(biāo)變換不敏感。所以地球自轉(zhuǎn)軸，是地球自轉(zhuǎn)這種空間變換的一個(gè)特征向量。Google的PageRank，就是 對(duì)www鏈接關(guān)系的修正鄰接矩陣的，主要特征向量的投影分量，給出了頁(yè)面平分。有什么特性呢? AB和BA有相同的特征向量----設(shè)AB的特征向量為x，對(duì)應(yīng)的特征值為b，則有(AB)x = bx，將上式兩邊左乘矩陣B，得B(AB)x = (BA)(Bx) = b(Bx)，故b為BA的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為Bx。反之亦然。
??????? 什么是特征矩陣和特征值？我們用整體論來(lái)考慮，假設(shè)P(A)=(1,2,3)是A的3個(gè)特征向量。那么P(A^2)就是(1^2,2^2,3^2)，P可 以看作是一種算子。當(dāng)然，算子的特性是需要用部分/細(xì)節(jié)詳細(xì)證明的。一旦證明，就可以作為整體的特征。特征值有什么特性？說(shuō)明矩陣可以分解成N維特征向量 的投影上面，這N個(gè)特征值就是各個(gè)投影方向上的長(zhǎng)度。由于n*n矩陣A可以投影在一個(gè)正交向量空間里面，那么任何N維特征向量組成的矩陣都可以是線性投影 變換矩陣，那么I就是一個(gè)同用的線性變換投影矩陣。所以對(duì)于特征值m，一定有是夠成了一個(gè)沒(méi)有線性無(wú)關(guān)向量的矩陣Aa=ma兩邊同乘以I得到 Aa=maI，所以(A-mI)a=0有非0解，那么|A-mI|=0(可以用反正法，如果這個(gè)行列式不是0，那么N個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，在N維空間中只能相交于原點(diǎn)，不可能有非0解)。所以可以推出一些很有用的性質(zhì)，例如A=[1/2,1,1;0,1/3,1;0,0,1/5]，那么只要滿足|A- mI|=0的值就是特征值，顯然特征值數(shù)組立即可以得到(1/2,1/3,1/5)。一個(gè)n*n的矩陣A，秩=1，那么最大線性無(wú)關(guān)組=1組，特征向量=1個(gè)，任意n維非零向量都是A的特征向量。特征向量本身不是定死的，這就好比坐標(biāo)系可以旋轉(zhuǎn)一樣。一旦特征向量的各個(gè)方向確定了，那么特征值向量也就 確定了。求特征值的過(guò)程就是用特征方程：|A-mE|=0,P(1/A)=1/P(A)，可以證明。有什么物理含義呢？一個(gè)N維線性無(wú)關(guān)的向量，去掉其中的一維，那么就有至少兩個(gè)向量是線性相關(guān)的了，所以行列式=0。特征矩陣有什么作用？把矩陣變化為正定矩陣，也就是A=P^-1BP，這樣的變換，A是對(duì) 角陣。
??????? 線性代數(shù)的研究，是把向量和矩陣作為一個(gè)整體，從部分的性質(zhì)出發(fā)，推到出整體的性質(zhì)，再由整體的性質(zhì)得到各種應(yīng)用和物理上的概念。當(dāng)矩陣A是一個(gè)符號(hào)的時(shí) 候，它的性質(zhì)會(huì)和實(shí)數(shù)a有很多相似的地方。科學(xué)的定理看起來(lái)總是遞歸著的。再舉一個(gè)例子，高數(shù)的基本概念有微分，積分，倒數(shù)，那么我立刻可以想到中值定理就應(yīng)該有3個(gè)，形式上分別是微分，積分和倒數(shù)。
????
[3. 應(yīng)用的場(chǎng)景]
??????? 線性變換的缺點(diǎn)：線性變換PCA可以用來(lái)處理圖像。如2維的人像識(shí)別：
1. 我們把圖像A看成矩陣，進(jìn)一步看成線性變換矩陣，把這個(gè)訓(xùn)練圖像的特征矩陣求出來(lái)(假設(shè)取了n個(gè)能量最大的特征向量)。用A乘以這個(gè)n個(gè)特征向量，得到一個(gè)n維矢量a，也就是A在特征空間的投影。
2. 今后在識(shí)別的時(shí)候同一類的圖像(例如，來(lái)自同一個(gè)人的面部照片)，認(rèn)為是A的線性相關(guān)圖像，它乘以這個(gè)特征向量，得到n個(gè)數(shù)字組成的一個(gè)矢量b，也就是B在特征空間的投影。那么a和b之間的距離就是我們判斷B是不是A的準(zhǔn)則。
??????? 不過(guò)，PCA有天生的缺點(diǎn)，就是線性矢量的相關(guān)性考察有"平移無(wú)關(guān)性"優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，也完全忽略了，2維圖形中，矢量分量之間的順序是有意義的，順序不同可 以代表完全不同的信息。還有，就是圖像B必須是A的某種伸縮(由特征向量空間決定的)，才能被很好的投影到A的特征向量空間里面，如果B包含了A中的某種 旋轉(zhuǎn)因素，那么PCA可以徹底失效。所以實(shí)際應(yīng)用中PCA的方法做圖像識(shí)別，識(shí)別率并不高，它要求圖像有某種嚴(yán)格的方向?qū)R和歸一化。所以PCA一般不用來(lái)做直接的特征提取而是用來(lái)做特征矩陣的降維。當(dāng)然，降維的結(jié)果用于分類并不理想，我們可以進(jìn)一步做最小二承法拉開(kāi)類間距離的Fisher變換。但是 Fisher變換會(huì)引入新的弱點(diǎn)，那就是對(duì)于訓(xùn)練類別的數(shù)據(jù)變得更敏感了，分類效果上升的代價(jià)是通用性下降，當(dāng)類型數(shù)量急劇膨脹的時(shí)候，分類效果的函數(shù)仍然是直線下降的----但是還是比直接PCA的分類效果好得多。PCA"主觀"的認(rèn)為，一個(gè)類型的第N+1個(gè)矩陣可以由之前已知的[1,N]個(gè)矩陣通過(guò)拉 成向量來(lái)線性表出。顯然這只是一個(gè)美好的主觀愿望，因?yàn)榧词剐碌妮斎刖仃囀窃芯仃囎髁艘恍┬辛械某醯茸儞Q如交換等，這種拉直以后的線性表出也可能根本就不存在(2維的PCA同樣無(wú)法克服這個(gè)客觀不存在的設(shè)定)，于是，當(dāng)應(yīng)用到實(shí)際的時(shí)候，只能試圖做優(yōu)化沒(méi)，用最小二乘距離來(lái)判定，"認(rèn)為"那個(gè)矩陣就是屬 于某個(gè)分類。由于PCA訓(xùn)練的特征矩陣是一個(gè)類別一個(gè)矩陣，這些矩陣構(gòu)成的子空間之間又無(wú)法保證正交，于是投影的結(jié)果也不具有根本意義上的分類特性。這個(gè)算法是個(gè)實(shí)用的算法，但是理論上根本就是無(wú)解。
??????? K-L變換是PCA的一個(gè)應(yīng)用形式。假設(shè)圖像類型C有N個(gè)圖像，那么把每個(gè)圖像拉直成一個(gè)向量，N個(gè)圖像的向量組成一個(gè)矩陣，求矩陣的特征向量(列向 量)。那么用原來(lái)的N個(gè)圖像乘以這些列向量求出平均值，就是我們的特征圖像。可以看到特征圖像和原圖像有相似的地方，但是去掉了和拉伸，平移相關(guān)的一些形變信息。在得到了魯棒性的同時(shí)，犧牲了很多精確性。所以它比較適合特定范圍圖像的Verification工作，也就是判斷圖像P是不是屬于類型C。對(duì)比 一下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：說(shuō)白了把函數(shù)y=f(x)的映射，變成了[y]=[f(x)]的向量映射。輸入輸出的點(diǎn)(entry)是固定的。而真實(shí)的神經(jīng)系統(tǒng)，并沒(méi)有 明顯的內(nèi)部處理和外部接口的區(qū)分。所以所有的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，名字上是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)質(zhì)上，差得很遠(yuǎn)。
[4. 關(guān)于譜]
??????? 什么是"譜"(Spectrum)? 我們知道音樂(lè)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，但是樂(lè)譜卻是在紙上的，靜態(tài)的存在。對(duì)于數(shù)學(xué)分析工具，研究時(shí)變函數(shù)的工具，可以研究傅立葉變換對(duì)應(yīng)的頻率譜；對(duì)于概率問(wèn)題，雖然每次投色子的結(jié)果不一樣，但是可以求出概率分布的功率譜密度。數(shù)學(xué)作為一種形而上學(xué)工具，研究的重點(diǎn)，就是這個(gè)變化世界當(dāng)中那些不變的規(guī)律。
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[5. 能用于分類嗎]
??????? 所謂的特征矩陣，就是原矩陣如何與一個(gè)x維的數(shù)量矩陣相似。Lamda(i)說(shuō)明了相似投影與一個(gè)x維線性空間的第i維坐標(biāo)軸，Lamda(i)是放縮比例。Lamda(i)之間的順序是不重要的，因?yàn)樽鴺?biāo)軸之間的交換是初等線性變換，不影響代數(shù)拓?fù)涞男再|(zhì)。特征向量xi表明A如何把線性組合投影到一個(gè)坐 標(biāo)軸上。所謂的特征向量，就是一組正交基集合。
??????? 在圖像處理的問(wèn)題域中，把圖像看成矩陣本身，那么圖像的分類問(wèn)題就是同類矩陣被認(rèn)為有相同或者代數(shù)近似的"不變量"。顯然，"同類"是一個(gè)主觀假設(shè)劃定的 類，而不是通過(guò)計(jì)算來(lái)"確定"的類。這導(dǎo)致了一個(gè)問(wèn)題，所謂的不同類型，其意義是對(duì)于人的主觀理解能力而言，是先驗(yàn)的，不是通過(guò)計(jì)算得到的后驗(yàn)，它本身不代表任何數(shù)理邏輯上的可判定信息。如果以矩陣的特征向量或者特征值矩陣作為分類的信息，沒(méi)有任何證據(jù)能夠避免不同的"類"的矩陣能夠有更加近似的特征值。 所謂的矩陣分解方法，類內(nèi)最小距離方法(Fisher)，都有一個(gè)令人不愉快地前提，那就是本身就要保證類內(nèi)的矩陣，其歐式距離足夠小----這個(gè)歐式距 離的大小往往又和人的幾何拓?fù)渲庇^不符)。由于矩陣本身不具有預(yù)定義的拓?fù)鋵W(xué)信息，那么同類圖像間歐式距離增加的時(shí)候，無(wú)法做到良好的分類。同時(shí)，圖像的類要分的越多，那么這種子空間之間的交疊現(xiàn)象就越嚴(yán)重，及時(shí)再去從每個(gè)類別的子空間中去尋找線性不變的子空間或者因子，也無(wú)法消除這種交疊性 ----Fisher算法試圖繞過(guò)去，但是卻付出了嚴(yán)重依賴初始數(shù)據(jù)的代價(jià)和失去通用性的代價(jià)。PCA算法試圖在統(tǒng)計(jì)的意義上得到最好的分類，但是當(dāng)類型 數(shù)目增加的時(shí)候，以前的參數(shù)就作廢了，根本無(wú)法得到有用的計(jì)算流程。由于子空間之間的重疊無(wú)法解決，于是分類性便持續(xù)下降。原因是什么? 就是因?yàn)榉诸惐旧聿皇歉鶕?jù)線性變換本身的代數(shù)特性去得到的，而是先驗(yàn)的非線性"智慧"的人的判斷。于是，由于二元運(yùn)算為離散集合作分類，必須在線性空間的 正交劃分中進(jìn)行，導(dǎo)致了邏輯上的不可調(diào)和的悖論。非線性的判定是連續(xù)的，幾何拓?fù)涞?#xff0c;無(wú)窮維德，不可分離變量的，根本就不可建模，于是也就是一個(gè)不可判定的問(wèn)題。
??????? 那么不用高等代數(shù)的思想，實(shí)用信號(hào)處理的辦法提取局部的特征做比較可以達(dá)到分類么? 這個(gè)仍然沒(méi)有回答"先驗(yàn)"分類的問(wèn)題，仍然是在一個(gè)糟糕的前提下試圖尋找勉強(qiáng)能用的途徑。如何知道一個(gè)矩陣的局部其實(shí)對(duì)應(yīng)于另一個(gè)矩陣上不同位置的局部呢? 這仍然只是一個(gè)主觀的，直覺(jué)主義的判定! 計(jì)算機(jī)不過(guò)是紙和筆的變形，它不能理解意義---即使1+1=2這樣的運(yùn)算結(jié)果，它本身也不能判定對(duì)錯(cuò)。如果它咨詢別的計(jì)算機(jī)來(lái)判斷對(duì)錯(cuò)呢----別的計(jì) 算機(jī)又如何能自我證明對(duì)錯(cuò)? 根本不能，必須等到一個(gè)主體的"人"來(lái)觀察這個(gè)結(jié)果，這個(gè)結(jié)果才會(huì)變得有意義。于是就像薛定諤的那只貓一樣，她正懶洋洋的曬著太陽(yáng)沖我微笑呢。形而上學(xué)的理論在精妙，也沒(méi)有超出經(jīng)驗(yàn)主義的牢籠。
??????? 于是，我便不再需要算法，不再需要哲學(xué)。
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(五) 曲線積分的物理意義
定積分的求解---牛頓.拉布尼茨公式有什么幾何意義??簡(jiǎn)單的說(shuō)，因?yàn)镕(b)-F(a) 在幾何上是f(x)的原函數(shù)F(x)在y軸上的線段長(zhǎng)度，那么這個(gè)長(zhǎng)度如何表示呢? F(b)-F(a)可以寫成在區(qū)間[a,b]上面的累加Sigma(F'(x)*delta(x))，那么這個(gè)Sigma就是f(x)的定積分了。反向構(gòu) 造的方法聯(lián)系了不定積分和定積分(圖1)。
???????太抽象了，舉個(gè)有物理含義的例子(圖2)。
1. 假設(shè)x/y平面是一個(gè)力場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在立場(chǎng)中受力，它受的力在x軸方向方向的投影值，恰好等于它的y坐標(biāo)(力的正負(fù)代表方向)。
2.那么這個(gè)例子沿著曲線y^2=x，從(1,-1)移動(dòng)到(1,1)，立場(chǎng)對(duì)它作了多少功?
???????我們可以畫出一個(gè)圖形，粒子在y的負(fù)半平面受的力總是向左的(負(fù)號(hào))，在y的正半平面受的力總是向右的，所以立場(chǎng)一直在x軸方向?qū)幼稣墓ΑＷ龉Φ姆e 分式子分為兩個(gè)部分，(1,-1)到(0,0)的過(guò)程是S[x,1,0]，dx是負(fù)數(shù)，力y=x^0.5也是負(fù)數(shù)，負(fù)負(fù)得正。所以做的總 功=2*S[x,0,1](x^0.5)，這個(gè)解求很簡(jiǎn)單了。那么如果立場(chǎng)還有一個(gè)y方向呢? 疊加的結(jié)果就是2*S[x,0,1]+S[y,-1,1]，寫成積分式子，就是對(duì)于坐標(biāo)的曲線積分。
??????
????????格林公式(圖3)的意義在于:?
??????一維的定積分通過(guò)牛頓---萊布尼茨公式得到了完滿的解決，等于不定積分原函數(shù)的兩個(gè)取值之差。那么格林公式的意義呢? 曲線積分，分成dx和dy的兩部分分別證明。考慮凸面曲線的情況，因?yàn)槠渌闆r可以分解為若干個(gè)凸面曲線的情況。例如要證明格林公式中關(guān)于dy的部分，就 可以看作很多條平行于x軸的線穿過(guò)被積分的曲線，其中每一條直線和曲線交與兩點(diǎn)，靠近y軸左半平面的點(diǎn)記做Q1，靠近y軸右半平面的點(diǎn)記做Q2，那么根據(jù) 曲線積分的正向定義，逆時(shí)針?lè)较?#xff0c;Q1點(diǎn)的微元dy是正的，Q2點(diǎn)的微元dy是負(fù)的。然后微元的和就是Q1*dy+Q2*(-dy)=(Q1- Q2)dy。好了，Q1-Q2又是多少呢? 由牛頓萊布尼茨公式得到它是Q2-Q1這條線段上Q'(x)的積分和。那么積分和的和就是一個(gè)2重積分。
????????用一個(gè)黎曼球面我們把|z|從0到無(wú)窮大的所有的矢量影射到了一個(gè)南北極的 球面上面(彩圖右上)，無(wú)窮的數(shù)域變成了有窮的數(shù)域。微分方程變成指數(shù)方程，純?yōu)榉鄯匠填愃凭€形代數(shù)的方程組由通解和特解組成解系；指數(shù)變成拉伸和旋轉(zhuǎn)，平面幾何的問(wèn)題變成解析幾何的問(wèn)題。舉個(gè)例子，如何判斷兩條直線是否垂直，那么z1(角度Theta1)和z2(角度Theta2)互相垂直相當(dāng)于z1和 z2之間的夾角=正負(fù) 90度。由于復(fù)數(shù)的乘法包含了角度的相加，那么z2的共軛矢量角度就是-Theta2。它們兩個(gè)相乘的結(jié)果矢量角就是Theta1-Theta2，如果這個(gè)角度是90度，那么z1*z2'就應(yīng)該是一個(gè)純虛數(shù)，反之，z1*z2'是個(gè)純虛數(shù)，就說(shuō)明z1和z2垂直。所謂的"虛數(shù)"并不是不存在，而是它的值在 實(shí)數(shù)軸x上面的投影總是0。那么寫出來(lái)就是a+bi與c+di正交的充要條件就是ac+bd=0----看起來(lái)像是線形代數(shù)里面的[a,b]與[c,d] 互相正交的充要條件是矢量點(diǎn)乘=0。復(fù)數(shù)，確實(shí)是用線形代數(shù)的方式在研究高等數(shù)學(xué)，把函數(shù)的研究統(tǒng)一到了解析幾何。這里，代數(shù)和幾何沒(méi)有區(qū)別。
???????再舉一個(gè)例子，平面幾何的命題(圖4)：一個(gè)三角形AB=AC，AB上有線段mn,AC上有線段jk，長(zhǎng)度mn=長(zhǎng)度jk，證明mj的中點(diǎn)x和nk的中點(diǎn) y，連線垂直于BC。這道題如果用初等數(shù)學(xué)平面幾何的性質(zhì)，腦袋破了都很難證明，因?yàn)槠矫鎺缀蔚亩ɡ硎怯谜Z(yǔ)言表述的某種性質(zhì)，證明的過(guò)程也是和人對(duì)圖形的感性認(rèn)識(shí)密切相關(guān)，例如垂直平分線，等腰三角形，這些自然語(yǔ)言的概念用起來(lái)太費(fèi)勁，而且必須結(jié)合圖形本身來(lái)使用。OK，用復(fù)數(shù)來(lái)證明，使用一個(gè)形式語(yǔ)言的演算系統(tǒng)：
1. 假設(shè)AB是實(shí)數(shù)軸，AC是和AB夾角為a的向量，那么假設(shè)等腰邊長(zhǎng)為l，那么AB=l,AC=l(cosa+isina)，BC=AC-BC=l(cosa-1 +isina)。
2. 假設(shè)mn和jk的長(zhǎng)度為r，m=M+0i，j=M(cosa+isina)，那么n=M+r,k=(M+r)(cosa+isina)。
3. mj的中點(diǎn)就是d1=(m+j)/2，nk的中點(diǎn)就是d2=(n+k)/2，兩點(diǎn)之間的連線的方向矢量f1=d2-d1=(n+k-m-j)/2
4. BC的共軛矢量f2=l(cosa-1-isina)
5. f1*f2，去掉實(shí)系數(shù)=(cosa+1+isina)(cosa-1-isina)，實(shí)部=cosa^2-1+sina^2=0，所以是個(gè)純虛書，根據(jù)上例的結(jié)果，f1和f2垂直，證畢。
???????再舉一個(gè)證明題：平行四邊形對(duì)角線的平方和=相鄰對(duì)角線平方和的兩倍。那么設(shè)四邊形的兩條邊是矢量z1和z2，那么|z1+z2|^2+|z1-z2|^2=(z1+z2)(z1'+z2')+(z1-z2)(z1'-z2')=2z1z1'+2z2z2'=2(|z1|^2+|z2|^2)得 證。復(fù)數(shù)的函數(shù)(復(fù)變函數(shù))往往具有對(duì)稱性的性質(zhì)。如果f(z)=a0+a1z^1+...+anz^n=X+Yi，那么可以證明，f(z')=X- Yi。有什么作用嗎? 如果函數(shù)f(z)=0有解a+bi，那么a-bi也是解(顯然因?yàn)閄=Y=0)。復(fù)數(shù)更重要的特征是矢量的方向性。一個(gè)直線過(guò)z1,z2的端點(diǎn)，那么方向 就是M(z2-z1)，直線方程就可以寫成點(diǎn)法式: z1+M(z2-z1)=Mz2+(1-M)z1。
???????朱力斯·華納有一幅很著名的畫叫做"神秘的島嶼"(彩圖左上)，這個(gè)畫的內(nèi)容看起來(lái)是個(gè)探險(xiǎn)的小島，但是把一個(gè)圓柱形的鏡面放到畫的中央，人們驚奇的發(fā)現(xiàn)其實(shí)這是作者的自畫像。如果這幅洋洋灑灑的油畫是代表了實(shí)數(shù)的問(wèn)題，那些無(wú)窮無(wú)盡的無(wú)比復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，那么這個(gè)圓柱形的鏡子就是"復(fù)數(shù)"這樣一個(gè)發(fā)明， 它把無(wú)窮復(fù)雜的問(wèn)題變成了有窮范圍內(nèi)能表達(dá)的問(wèn)題。由于一一映射的存在，實(shí)數(shù)域難以解決的問(wèn)題通過(guò)映射和等效，在復(fù)數(shù)域通常能得到簡(jiǎn)單的解答，再映射回實(shí)數(shù)域，便是問(wèn)題的解。例如著名的莫比烏斯變換(彩圖右下)。
???????需要很好的考慮幾個(gè)問(wèn)題:
1. 我們?cè)诎芽煞e函數(shù)變成傅立葉級(jí)數(shù)的時(shí)候，曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)，每個(gè)分量之間由于是三角函數(shù)族的成員，所以構(gòu)成正交關(guān)系，所以顯然，分量之間沒(méi)有重疊，展開(kāi)式顯然唯一。那么對(duì)于泰勒級(jí)數(shù)和復(fù)分析當(dāng)中的洛朗級(jí)數(shù)而言，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是否是唯一的? 我們主要到?jīng)]有任何條件限制規(guī)定展開(kāi)分量之間必須構(gòu)成正交關(guān)系。正交性并不必要，基不需要正交性。z和z^2線性無(wú)關(guān)（注意是“線性”）因?yàn)椴淮嬖赾1和 c2\in R，使得c1*z + c2*z^2=0, 對(duì)于所有的z屬于R都成立(z是變量，可以任意取)。嚴(yán)格的說(shuō)，“冪分量”不需正交，僅要線性無(wú)關(guān)即可。反證法，我們假設(shè)冪級(jí)數(shù)的分量之間是線形相關(guān)的，也就是存在常數(shù)k1-kn使得(k1(1是角標(biāo)))k1x+k2x^2+k3x^3+...+knx^n =0。我們又知道前面這個(gè)方程，在復(fù)數(shù)域中僅有n個(gè)解，即0點(diǎn)僅有n個(gè)。故只有k1=k2=....=kn左端才恒為0(對(duì)于任意的z)，這就是線性無(wú)關(guān) 的條件，n任意個(gè)，即無(wú)窮個(gè)x^i都線性無(wú)關(guān)。當(dāng)然這里線性空間是一個(gè)函數(shù)空間，其實(shí)x,x^2,...構(gòu)成其一個(gè)基----所以k1-kn都是0， {z^n}構(gòu)成的分量，是個(gè)線性無(wú)關(guān)的集合(兩兩之間)。
2. 為什么洛朗級(jí)數(shù)(彩圖紅色圓環(huán))里面會(huì)有復(fù)數(shù)次冪? 我們?nèi)サ舨唤馕龅狞c(diǎn)，就得到了一些列圓環(huán)，這個(gè)圓環(huán)上作閉合路徑包圍一定的面積，就是里外兩條曲線，外圍曲線就是洛朗技術(shù)的n>=-1的冪次項(xiàng)，內(nèi) 圍曲線是反方向的環(huán)繞無(wú)窮原點(diǎn)(很奇怪嗎? 只要把z平面映射到黎曼球面上，就會(huì)得到這個(gè)結(jié)論!)，是一個(gè)負(fù)數(shù)的積分結(jié)果，它的收斂半徑相反，我們把z用z的倒數(shù)來(lái)代替，就得到了和前半部分幾乎一樣 的表達(dá)式。所以洛朗級(jí)數(shù)的形式是Sigma從n=負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的形式(完備)。特別的，如果圓環(huán)是圓餅，那么內(nèi)環(huán)等于是不存在或者收縮到了一個(gè)點(diǎn)，也就是n<-1的那些負(fù)數(shù)次冪不存在了，函數(shù)解析，得到洛朗級(jí)數(shù)等于泰勒級(jí)數(shù)的結(jié)論。實(shí)變函數(shù)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)----本質(zhì)的意義不在于泰勒級(jí)數(shù)的導(dǎo) 數(shù)項(xiàng)，而是在于，函數(shù)可以展開(kāi)成自變量所表達(dá)的一個(gè)冪級(jí)數(shù)求和表達(dá)式，這個(gè)有點(diǎn)像離散結(jié)構(gòu)里面的P問(wèn)題。那么對(duì)于復(fù)數(shù)，因?yàn)榻忉尯瘮?shù)的方向?qū)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)， 所以無(wú)法直接表示成泰勒級(jí)數(shù)，但是仍然可以寫成冪級(jí)數(shù)求和的形式----洛朗級(jí)數(shù)，同時(shí)，可以把泰勒級(jí)數(shù)看成洛朗級(jí)數(shù)在實(shí)軸方向上投影的特例。當(dāng)然，這個(gè) 時(shí)候的冪級(jí)數(shù)系數(shù)不能再用導(dǎo)數(shù)來(lái)求了(切線逼近法)，而是使用一個(gè)積分。Taylor級(jí)數(shù)可以看作Lorent級(jí)數(shù)的特例。泰勒級(jí)數(shù)有個(gè)收斂域(x- x0,x+x0)和收斂條件x附近連續(xù)且可導(dǎo)。我們放到復(fù)數(shù)平面上來(lái)，收斂域就是一個(gè)圓，在x點(diǎn)處解析。但是如果不滿足解析條件呢? 對(duì)于一個(gè)復(fù)變量函數(shù)f(z)來(lái)說(shuō)，如果它在某點(diǎn)是全純的（解析的），則它一定有Taylor級(jí)數(shù)，
????????
???????復(fù)平面的點(diǎn)和黎曼圓的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以所有的直線在無(wú)窮遠(yuǎn)處必定相交，哪怕是平行線----這就是黎曼幾何不同于歐式幾何的一個(gè)地方。無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)集被映射成為N點(diǎn)--->于是留數(shù)基本定理，所有奇異點(diǎn)的留數(shù)和=0就很好理解了: 流體從各個(gè)有限奇異點(diǎn)流出，匯聚到無(wú)窮遠(yuǎn)的奇異點(diǎn)，流入流出的總和=0。同理，如果黑洞是一個(gè)奇異點(diǎn)，那么當(dāng)黑洞需要噴發(fā)的時(shí)候，噴發(fā)的方向顯然是阻力最 小的方向，和黑洞周圍的圓盤垂直的法向量。為什么復(fù)變函數(shù)里面會(huì)有那么怪異的柯西積分公式? 實(shí)際上還是從格林公式推導(dǎo)出來(lái)的，解析函數(shù)對(duì)于某點(diǎn)的圍線積分等于圍繞z0點(diǎn)本身的無(wú)窮小圓的積分，這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明了解析函數(shù)的2維積分中值定理: f(z)可以從圍線的積分中值來(lái)求，反過(guò)來(lái)，一個(gè)積分可以看成是f(z)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的-1次項(xiàng)，于是1元積分學(xué)當(dāng)中的許多問(wèn)題就借助2元復(fù)變函數(shù)得以 解決了。
???????格林公式是把1維的圍線積分和2重積分聯(lián)系起來(lái)了，而復(fù)數(shù)則推廣了，一維的圍線積分(被積函數(shù)有不可導(dǎo)點(diǎn))還可以等價(jià)于被積函數(shù)本身的取值。這真是一個(gè)簡(jiǎn) 單而且美的結(jié)論----f(z)*2Pi*i的取值等于圍繞著z，f(w)/(z-w)做一圈封閉的曲線積分----當(dāng)然和曲線的形狀無(wú)關(guān)。f(z)和非 z點(diǎn)的f(w)被這個(gè)方程式統(tǒng)一了起來(lái)，多么奇妙的一件事情。如果把z看成圓點(diǎn)(黑洞)，那么就是圓點(diǎn)這個(gè)黑洞的能量可以通過(guò)圍繞這個(gè)黑洞的一個(gè)曲線上的矢量積分來(lái)判定，黑洞變得可以測(cè)量了。另一方面，這個(gè)方程給出了解析的函數(shù)，各個(gè)點(diǎn)之間的某種相關(guān)性。一個(gè)點(diǎn)可以用其他的點(diǎn)集的某種積分來(lái)表示。
(六) 芝諾悖論并未解決
芝諾說(shuō)，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜，因?yàn)樽飞弦话氲臅r(shí)候，還有一半，再追上一半的時(shí)候，還有剩 下的一半，繼續(xù)這樣遞歸的說(shuō)下去，那么阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。那么，微積分產(chǎn)生了以后，這個(gè)問(wèn)題能否解決呢？阿基里斯追趕烏龜?shù)木嚯x=1/2+1 /4+1/8+... ... 是個(gè)收斂的級(jí)數(shù)f，lim(f)=1，所以阿基里斯只用了一步(也就是1s)的花費(fèi)就追上了烏龜。解決了嗎？
???????看起來(lái)很完美，慢一點(diǎn)，有一個(gè)漏洞，那就是對(duì)于無(wú)限求和序列，我們這里認(rèn)為f=lim(f)。為什么相等？因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂->f=lim(f)。那么 為什么級(jí)數(shù)收斂就能推出f=lim(f)？因?yàn)閒無(wú)限接近lim(f)。為什么f無(wú)限接近lim(f)？因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂。看出來(lái)了吧，上面這個(gè)證明里面包含 了一個(gè)死循環(huán)。要證明f=lim(f)，這個(gè)等號(hào)的嚴(yán)格性，就相當(dāng)于要證明f(x)=2^(-x)在x>0的范圍內(nèi)，和x有個(gè)交點(diǎn)！而這是不可能證 明的。
???????f和lim(f)之之間始終存在差別，無(wú)論N多大，f和lim(f)都不相等，N無(wú)窮大的時(shí)候，他們之間相差一個(gè)無(wú)窮小的黑洞。只是這個(gè)黑洞的直徑為0， 意識(shí)沒(méi)有被黑洞俘獲而是進(jìn)行了一個(gè)時(shí)間為0的量子跳變達(dá)到了黑洞的另一端----我看到了阿基里斯嗖的一下就超過(guò)了烏龜。
???????我可不可以證明在無(wú)窮遠(yuǎn)處f(x)=2^(-x)和x軸有交點(diǎn)呢？想象一下這個(gè)圖吧，在頭腦哦里面畫一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)的x軸，它和x軸相交。那么交點(diǎn)右邊的曲線 呢？是不是根據(jù)中值定理這個(gè)曲線可以讓y取到負(fù)數(shù)？或者說(shuō)無(wú)窮遠(yuǎn)之所以是無(wú)窮遠(yuǎn)，是因?yàn)樗潜M頭，沒(méi)有更右邊了。那么如果有盡頭的話還是無(wú)窮遠(yuǎn)嗎？N無(wú)窮 大，但是N＋1是不是仍然大于N？無(wú)窮遠(yuǎn)存在嗎？我們看樣子解決了芝諾悖論，代價(jià)卻是引入了新的悖論----就像我們?cè)噲D達(dá)到莫比烏斯帶的終點(diǎn)一樣！！！！！！！以至于這個(gè)證明過(guò)程永遠(yuǎn)在循環(huán)，證明的過(guò)程沒(méi)有盡頭----好像我們?cè)谂酪粋€(gè)沒(méi)有盡頭的梯子，似乎真理就在眼前伸手可及，卻發(fā)現(xiàn)自己無(wú)論沿著梯子攀登多少層，這個(gè)距離都沒(méi)有減少。這個(gè)證明的過(guò)程如果存在的話，也必將是無(wú)窮的! 就像無(wú)理數(shù)和超越數(shù)的存在一樣，根本無(wú)法用有限的代數(shù)表達(dá)式計(jì)算。
???????畢達(dá)哥拉斯說(shuō)，如果宇宙停止讓他測(cè)量每個(gè)原子的狀態(tài)，他就能語(yǔ)言今后的一切。他犯了三個(gè)錯(cuò)誤，一個(gè)錯(cuò)誤是測(cè)量的過(guò)程中，測(cè)量者和測(cè)量工具本身的影響無(wú)法測(cè)量，就像沒(méi)有什么測(cè)量工具可可以測(cè)量自己一樣，這個(gè)測(cè)量不完整；第二個(gè)錯(cuò)誤是，如果時(shí)間停止了，運(yùn)動(dòng)也就停止了，現(xiàn)象和特性也就停止了----光線停止了 傳播什么都看不見(jiàn)了，測(cè)量本身無(wú)法進(jìn)行。第三個(gè)錯(cuò)誤是，哪怕是再短的時(shí)間里面，都包含了無(wú)窮的信息，想想全宇宙有多少原子，所以要用有限的規(guī)律來(lái)表達(dá)的話，這個(gè)測(cè)量時(shí)間必須很短----以至于無(wú)窮小的時(shí)間可能都嫌長(zhǎng)了。所以時(shí)空，物質(zhì)，信息這三個(gè)制約因素決定了完整的測(cè)量是不可能的，完整的規(guī)律性認(rèn)識(shí)也不會(huì)有任何可能。一切規(guī)律都是短視的偏執(zhí)的猜測(cè)而已。
???????芝諾不是唯心主義者，是不可知論的祖先，反證一下畢氏的理論，我們看到，沒(méi)有絕對(duì)真理，未來(lái)不可預(yù)測(cè)，一切規(guī)律都是未知，量子理學(xué)的不可測(cè)理論，露出了它的微笑。
[奇異點(diǎn)的故事1]
???????阿基里斯在練習(xí)舉重，遇到烏龜。
???????烏龜問(wèn)：50公斤重的沙袋你能舉起來(lái)嗎？
???????阿：像我這么強(qiáng)壯的人當(dāng)然沒(méi)問(wèn)題啦。
???????烏：500公斤的你能舉起來(lái)嗎？
???????阿：我不是擎天柱啊，500公斤的不行。
???????烏：100公斤的呢？
???????阿：十有八九能舉起來(lái)
???????烏：200公斤的呢？
???????阿：這得看我的狀態(tài)了，也許心情好的時(shí)候能舉起來(lái)，50%的概率吧。
???????烏：210公斤的呢？
???????阿：嗯，可能40%概率
???????烏：250公斤的呢?
???????阿：1%的概率
???????烏：260公斤的呢?
???????阿：0.01%的概率，呵呵，你給我增加重量，我能舉起來(lái)的的概率就逐漸減少，趨近于0了。
???????烏：那究竟什么時(shí)候這個(gè)趨近于0的概率會(huì)變成0，就像500公斤的概率是絕對(duì)值0那樣?
???????阿：(無(wú)語(yǔ))... ...
???????阿基里斯遇到了一個(gè)奇異點(diǎn)問(wèn)題：他知道存在一個(gè)奇異點(diǎn)，連接=0和>0但是非常接近于0這兩個(gè)概念。但是這個(gè)點(diǎn)究竟在哪里，根本無(wú)法證明：因?yàn)槿魏?證明都是荒謬的。但是阿基里斯明明的感覺(jué)這個(gè)點(diǎn)是存在的，但就是說(shuō)不出來(lái)，只能安慰自己。"存在一個(gè)這樣的點(diǎn)，收斂到它的極限等于被研究的對(duì)象本身"。這句話是不可證明的，但是又明顯的成立。所以，標(biāo)量和矢量的方法實(shí)效了，阿基里斯只能求助于集合論和形式語(yǔ)言：存在量詞可以表述，一定有這樣的一個(gè)點(diǎn)。但是 究竟這個(gè)點(diǎn)在哪里，我不用關(guān)心。
???????看看數(shù)學(xué)分析，關(guān)于極限的問(wèn)題，各種存在性定理，中值定理，收斂的問(wèn)題，不都是阿基里斯舉的那個(gè)沙袋0點(diǎn)么。如果一個(gè)關(guān)于數(shù)的概念，例如x*x=2，x是 多少，答案本身不能用數(shù)來(lái)表示，但是又是唯一確切的答案，我們就發(fā)明一個(gè)形式的符號(hào)(根號(hào))，來(lái)彌補(bǔ)數(shù)字本身表達(dá)能力的缺陷。數(shù)是不完整的，不完備的，所 謂的"概念"在很多情況下連自身都無(wú)法表述。
[奇異點(diǎn)的故事2]
????????同樣是喜歡研究問(wèn)題，愛(ài)叫直。一次和一個(gè)西安籍的朋友出去下館子，他點(diǎn)菜，羊肉泡饃+羊蝎子。要知道對(duì)于一個(gè)南方人來(lái)說(shuō)，第一次吃這個(gè)不亞于受刑----我看著他吃的津津有味，他看著我吃的滿臉愁容，于是一場(chǎng)對(duì)話開(kāi)始了:
???????"這個(gè)東西你覺(jué)得味道怎么樣?"
???????"味道還可以"，處于禮貌，不能打擊自己的朋友，"就是還不太習(xí)慣"
???????"你就直接說(shuō)難吃不就行了嗎"
???????"哈哈，你為什么覺(jué)得好吃呢"，我反問(wèn)。
???????"我從小就覺(jué)得好吃啊"
???????"那我怎么沒(méi)覺(jué)得那么好吃呢?"，我繼續(xù)質(zhì)疑。
???????"可能你心里有畏懼感"
???????"如果你也是第一次吃，你能保證它好吃么?"
???????"嗯，這個(gè)也難說(shuō)，也許你多吃幾次就覺(jué)得好吃了?"
???????"那么，你說(shuō)這個(gè)羊肉泡饃好吃，并不是因?yàn)樗旧砗贸粤?#xff0c;而是僅僅是你習(xí)慣了它的味道"
???????"也許是吧，也許習(xí)慣就是一種美"
???????"那么也就是說(shuō)，如果我們習(xí)慣一種東西，我們就能接受它，然后就覺(jué)得這個(gè)東西很好----就像如果從小我們覺(jué)得胖就是美，那么胖妞就會(huì)有很多人追"
???????"似乎也有道理。不過(guò)我更覺(jué)得一個(gè)好的東西，美的東西，應(yīng)該是一種我們所期盼的東西。比如說(shuō)你想要甜味，你吃到了甜味，你就說(shuō)好吃"
???????"一個(gè)男人想象抱著一個(gè)美女，既然要抱的穩(wěn)，那么美女的腰就不能粗，所以現(xiàn)實(shí)中美女標(biāo)準(zhǔn)有個(gè)細(xì)腰"
???????"嗯，似乎是這樣，也就是說(shuō)不是因?yàn)槊琅屑?xì)腰我們就覺(jué)得細(xì)腰就是美，而是我們打心里盼望細(xì)腰這種東西，然后去套，去打分，然后判斷誰(shuí)是不是美女"
???????"這么說(shuō)來(lái)，判斷的標(biāo)準(zhǔn)不是來(lái)自外界，而是只是來(lái)自我們的內(nèi)心"
???????"就像數(shù)學(xué)里面的點(diǎn)線面一樣，到現(xiàn)實(shí)里面去抓一個(gè)過(guò)來(lái)看看? 其實(shí)只是我們心里的概念而已"
???????"美女還有什么標(biāo)準(zhǔn)嗎?"
???????"想象你喜歡的東西: 光滑的感覺(jué)，清馨的口氣，柔軟的材質(zhì)，那么美女的標(biāo)準(zhǔn)必定就是皓齒紅唇，冰肌膚玉骨，這個(gè)和你買一塊玉時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)是一樣的，美就是內(nèi)心的盼望，不是客觀的標(biāo)準(zhǔn)"
???????"好了，還是回到吃飯問(wèn)題上面來(lái)。你為什么覺(jué)得這個(gè)好吃或者不好吃"
???????"好吃是因?yàn)檫@個(gè)味道是我在吃之前就盼望到了的，我知道我將得到什么味道，吃的過(guò)程也是如我所愿；而對(duì)于沒(méi)有吃過(guò)的東西，它的味道遠(yuǎn)離我們的期盼，自然會(huì)引起我們的反感"
???????"也就是說(shuō)，所謂的美感，就是我們自己的愿望被認(rèn)同和被實(shí)現(xiàn)而已"
???????"不錯(cuò)，就像聽(tīng)音樂(lè)一樣，為什么卡農(nóng)那么好聽(tīng)? 因?yàn)槲衣?tīng)到前面幾個(gè)音符的時(shí)候，我心里已經(jīng)大概知道后面幾個(gè)音符是什么了。如果我不能預(yù)測(cè)后面的音符，那么幾乎沒(méi)有疑問(wèn)我聽(tīng)到的是高斯白噪聲"
???????"嗯，美就是自我的實(shí)現(xiàn)，概念也是自我的實(shí)現(xiàn)，甚至科學(xué)，也是自我的實(shí)現(xiàn)"
???????"就像柏拉圖說(shuō)的，知識(shí)也是來(lái)自于冥想"
???????"至少我覺(jué)得無(wú)法駁倒"
???????"虛數(shù)單位i存在嗎，怎么證明?"
???????"只存在于我們的心理，甚至實(shí)數(shù)1也是只存在于我們的心理，無(wú)法證明"
???????真理似乎是一種思想的和諧，就像卡農(nóng)一樣，不是層次的高低，而是自我的一種纏繞。那些數(shù)學(xué)的概念，復(fù)數(shù)，分析，極限，無(wú)窮，展開(kāi)，逼近，正交，對(duì)偶，集 合，空間，群，推演，與其說(shuō)是反映了自然之美和宇宙之美，與其說(shuō)是數(shù)學(xué)本身的美感，不如說(shuō)是來(lái)自我們內(nèi)心的一種美的意識(shí)和愿望，已經(jīng)對(duì)"簡(jiǎn)單和美"的主管 盼望。美不來(lái)自客體世界，美只來(lái)自我們的內(nèi)心，我們按照這種愿望來(lái)構(gòu)建真理和揭示宇宙。而那個(gè)客體的世界，似乎只是一對(duì)概率變化的和隨機(jī)過(guò)程鏈接著的無(wú)意義，只是因?yàn)槲覀儽犻_(kāi)了眼睛，意義便產(chǎn)生了。
(七) 正交和相關(guān)的物理意義
先說(shuō)到底什么是正交？這是一個(gè)令人頭疼的事情。x,y平面上恒縱坐標(biāo)夾角90度，我們稱這兩個(gè)軸正交----其實(shí)這個(gè)回答和"身上沒(méi)有毛的，兩個(gè)腿走路的，我們稱這是人"是同一類解釋，根本就沒(méi)有正面回答，如何對(duì)正交下定義。
??????? 事情是這樣的，對(duì)于2維平面上面的一個(gè)點(diǎn)，我們用坐標(biāo)表示一個(gè)點(diǎn)，也就是一個(gè)向量，向量的數(shù)組形式是(x,y)，復(fù)數(shù)形式是(x+yi)(這個(gè)表示是唯一 的。3維空間的情況類似，(x,y,z)和x+iy+jz)。x+yi在x軸的投影是x，和y無(wú)關(guān)；在y軸的投影是x，與x無(wú)關(guān)。所以x/y軸構(gòu)成互相無(wú) 關(guān)的一組投影矢量，我們就說(shuō)x軸和y軸正交。正交投影向量組成一個(gè)正交矩陣[x軸;y軸]，分號(hào)代表?yè)Q行。但是如果我們?cè)趚/y平面再畫一跟軸出來(lái)，例如 x,y軸之間夾角45度的一條線z，那么點(diǎn)(x,y)如果寫成(x,y,z)的形式就不止一種了。(1,1)可以表示為(0.5,0.5,0.5*根號(hào)2 分之一)，或者(0.3,0.3,0.7*根號(hào)2分之一)，這樣的投影結(jié)果不止一種，所以[x軸,y軸,z軸]這個(gè)投影矩陣對(duì)于2維平面是有冗余的，應(yīng)該 去掉其中之一使得這個(gè)投影的形式唯一確定。
??????? 好了，綜上所述，正交的定義是：一組基礎(chǔ)向量a1,a2,...an，它們之間的關(guān)系是，某個(gè)向量v在各個(gè)ax上面的投影分解，表達(dá)式唯一。或者表述 為，a1-an當(dāng)中的任意向量，在其他向量上面的投影都是0。我們稱a1-an之間的關(guān)系為互相正交。然后，這n個(gè)互相正交的向量，共同構(gòu)成了一個(gè)n維的 空間。在這個(gè)空間里面，任何其他的向量都可以分解成n個(gè)正交投影的矢量和。特別的，N維空間可以用n個(gè)正交向量表示，這種n個(gè)正交向量本身，可以有無(wú)數(shù)種 形式，只要他們之間保持正交就可以了。x/y平面的正交向量集合可以是[x軸,y軸]，也可以是x/y軸繞著原點(diǎn)，分別旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度以后的兩個(gè)軸(當(dāng)然保 持90夾角不變)。
??????? 消元有什么物理意義嗎，做個(gè)具體的分析。一個(gè)2x2的矩陣A，是一個(gè)方程組Ax=b的系數(shù)矩陣。那么這2個(gè)方程表示了2維平面上的兩條直線。那么我應(yīng)用消 元法：方程組(x+y=2,x+2y=3)第2個(gè)行向量減去第一個(gè)行向量，得到新的方程組(x+y=2,y=1)，這個(gè)方程組和原方程組通解，不同的是 x+2y=3繞著交點(diǎn)(方程的解)旋轉(zhuǎn)到了y=1。所以，求解方程組的過(guò)程，就是尋找同解方程的過(guò)程。消元法是"合法合理"的求解方程組的過(guò)程。那么求行 列式的過(guò)程呢，消元是否影響最后結(jié)果？只需證明一個(gè)通用變量的情況就可以了，其他的遞推就行。
??????? 說(shuō)了物理意義以及思想來(lái)源。沒(méi)有憑空創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)學(xué)概念，高數(shù)所以高等，是因?yàn)槟芙鉀Q一些經(jīng)典數(shù)學(xué)很難解決的問(wèn)題，并且用一種一致和優(yōu)雅的辦法對(duì)多種不同的問(wèn)題都有效果。
??????? 再說(shuō)說(shuō)線性代數(shù)里面的一些純粹數(shù)學(xué)上的特性。
->??? 行列式是若干個(gè)乘積的加和，那么每個(gè)分式都有一個(gè)符號(hào)，由(x坐標(biāo)的逆序+y坐標(biāo)的逆序)決定。如果這個(gè)加和是偶數(shù)，那么分式取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。例如 2345....n1的逆序是多少呢? 無(wú)論那種方法重排達(dá)到正序的過(guò)程，中間次數(shù)都是相差2x，所以不影響符號(hào)。這里我們考慮把最后的'1'用冒泡的方式上升到第一位，所以逆序=n-1。
->??? 一個(gè)數(shù)m乘以一個(gè)方陣，相當(dāng)于方陣的每個(gè)元素e都成了m*e。那么行列式分式的每一項(xiàng)都乘以了m^n，所以|m*A|=m^n|A|。例題：設(shè)A是 m*m，B是n*n，C是個(gè)分塊矩陣，C=[0,A;B,0]，那么C的行列式是多少? 考慮逆序的情況，A的m個(gè)列，每個(gè)列經(jīng)過(guò)n次移位以后，C'=[A,0;0,B]，移位次數(shù)=m*n，所以|C|=(-1)^(m*n)|C|= (-1)^(m*n)*|A|*|B|。
->??? 如果矩陣的某一行乘以m，那么|A'|=m*|A|。例題：3階矩陣A和B，A=[a,2x,3y]，B=[b,x,y],|A|=18,|B|=2，求|A-B|=? 解：|A-B|=|[a-b,x,2y]|=2*|[a-b,x,y]|=2*|[a,x,y]|-2*|[|b,x,y]|=(1/3)*|a,2x,3y|-2|B|=2
->??? 上面用到了一個(gè)很重要的行列式對(duì)于向量分解的特性，|[a-b,xxxx]|=|a,xxxx|-|b,xxxx|。|A|-|B|=|[a1-b1,a2-b2...an-bn]|這個(gè)可以通過(guò)代數(shù)余子式的特性證明。再舉個(gè)例子，A是一個(gè)方陣
|x1+1,x1+2,...x1+n|
|x1+1,x1+2,...x1+n|
|....,....,.......|
|x1+1,x1+2,...x1+n|,那么A的行列式是多少?當(dāng)n大于2時(shí)，第一列+第三列=第2列*2，線性相關(guān)了，所以行列式=0。n=2時(shí),容易算出|A|=x1-x2。
??????? 實(shí)際當(dāng)中沒(méi)有所謂"連續(xù)"的東西，量子也是一份一份的傳播的。那么y=f(x)是什么呢？無(wú)數(shù)個(gè)x點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y點(diǎn)的集合。不考慮不同x之間間距，或者認(rèn)為間隔無(wú)窮小，那么y=f(x)就可以寫成一個(gè)向量的形式(y1,y2,y3,y4...yn)，其中的下標(biāo)是x的離散取值。在離散的情況下，x只是下標(biāo)序 列，本身失去了物理意義。所以，真實(shí)的世界沒(méi)有嚴(yán)格的傅立葉變換，只有DFT,FFT,Z變換序列等等存在(計(jì)算機(jī)當(dāng)中也是如此)。那么，高等數(shù)學(xué)中函數(shù) 的計(jì)算(連續(xù))實(shí)際上，就是線性代數(shù)里面的線性(離散)變換。這里數(shù)學(xué)的兩個(gè)分支被量子理學(xué)統(tǒng)一起來(lái)了。
?????? 考慮y=f(x)(周期為T)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)形式----它相當(dāng)于，在一個(gè)T內(nèi)f(x)是無(wú)窮維向量(y1,y2,y3,...,yn...)，f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式就是f(x)在無(wú)窮維正交基(e^jnw)上面有投影，這個(gè)正交基是從低頻到高頻 的一些列三角函數(shù)組合。每一個(gè)投影的系數(shù)是一個(gè)長(zhǎng)度。那么e^jnw組成的正交基就是的任何f(x)的特征向量，不同的是，不同f(x)對(duì)應(yīng)不同的特征值 向量。一個(gè)N維的向量空間，N個(gè)正交矢量不是定死的，而可以是任意的向量值組合，只要保持互相兩兩正交就可以了。例如我想構(gòu)造3維的正交基，我隨手寫下 (1,0,1)，那么(0,1,2)，(0,0,1)就可以是剩下的兩個(gè)向量。為什么？一般的說(shuō)，向量e1,e2,e3是正交基，那么 e1+e2,e2+e3,e1+e3這三個(gè)向量也可以構(gòu)成正交基。
??????? 那么如果一條繩子上有個(gè)駐波sin(t)在傳播，那么繩子向量(s1,...sn)(n為無(wú)窮大)，可以投影到一個(gè)特征向量函數(shù)sin(t)上面。如果 f(x)=sin(t)+sin(2t)呢？顯然，兩個(gè)特征函數(shù)，依次類推，我們竟然得到傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)----也就是因?yàn)槿羌?jí)數(shù)本身可以作為投影的基 準(zhǔn)，可以分解任何函數(shù)。所以三角函數(shù)就是特征向量函數(shù)，頻率分析的值就是特征值。說(shuō)得遠(yuǎn)一點(diǎn)，任何數(shù)學(xué)分析最后都可以用頻譜分析來(lái)代替。這也就是"信號(hào)與 系統(tǒng)"，"數(shù)字信號(hào)處理"，"通信原理"，"概率和隨機(jī)過(guò)程"這些課程，怎么看起來(lái)都是在玩頻率游戲和功率譜游戲的原因----學(xué)完以后經(jīng)常會(huì)感覺(jué)自己什 么都沒(méi)有學(xué)會(huì)。因?yàn)樵谖锢韺?#xff0c;信息的"意義"并不存在，只有傳輸和設(shè)計(jì)的電子/數(shù)學(xué)特性有意義。通信協(xié)議都是高層次的東西，和"通信原理"無(wú)關(guān)。在底層只 有物理意義，沒(méi)有邏輯意義。
(八) 二次型和解析幾何
----------二次型到底干了什么------------
已知: 在圓球x^2+y^2+z^2=1上面有點(diǎn)(x,y,z)
求f(x,y,z)=xy-yz-xz的極值。
?
??? 解:
f(x,y,z)=t(T)*A*t,t=(x,y,z)(T),A=
|0, 1/2, 1/2|
|1/2, 0 -1/2|
|1/2,-1/2, 0|,約束條件x^2+y^2+z^2=1,也就是t(T)*t=1,t(T)表示t的轉(zhuǎn)置矩陣
把f變成標(biāo)準(zhǔn)型，P(T)*A*P=D,D=diag(1/2,1/2,-1),P=(就是求解特征向量和特征矩陣的過(guò)程)
|1/sqr2, 1/sqr6, 1/sqr3|
|1/sqr2,-1/sqr6,-1/sqr3|
|0,?????2/sqr6,-1/sqr3|,sqr代表根號(hào)運(yùn)算，P是個(gè)正交矩陣，滿足P(T)*P=E
所以f=t(T)*A*t=t(T)*PDP(T)*t,令P(T)*t=t',則f=t'(T)*D*t'... (1)
約束條件變成了t(T)*t=(Pt')(T)*P*t'=t'(T)*P(T)*P*t'=t'(T)t'=E...(2)
所以根據(jù)上面兩個(gè)式子有了變換
f=0.5x'^2+0.5y'^2-z'^2，約束條件x'^2+y'^2+z'^2=1,
f=0.5-1.5z'^2,而由約束條件得，z'的取值范圍(-1,1)
所以f的范圍是(-1,1/2)
-----------------------------------------------------------------
??? 看出來(lái)了什么嗎? 2次型的標(biāo)準(zhǔn)型就是一種坐標(biāo)變換的對(duì)角化, 通過(guò)一個(gè)正交變換，正交變換是保持向量的長(zhǎng)度（范數(shù)）不變的，也保持兩個(gè)向量的夾角不變，有點(diǎn)像剛體。這實(shí)質(zhì)上是再做一個(gè)旋轉(zhuǎn)，將二次型化到主軸上。有一個(gè)定理（schur定理）也與這個(gè)問(wèn)題相關(guān)。這個(gè)內(nèi)容很復(fù)雜的，因?yàn)槎涡褪种匾Ｔ谏厦娴哪莻€(gè)例子里面，單位球旋轉(zhuǎn)以后還是單位球，所以約束條件沒(méi)有改變。坐標(biāo)變換把約束條件投影到了3個(gè)軸上面。初等的坐標(biāo)系變換技巧，在2次型的強(qiáng)大威力面前顯得多么的蒼白。如果我用拉格朗日數(shù)乘法求解了，則過(guò)程很繁雜
?? 例：已知向量x=(x1,x2,x3),模的平方|x|^2=2，求f()=(x1+x2)^2+(x2-x3)^2+(x1+x3)^2的最大值。那么:
xT*x=x1^2+x2^2+x3^2=2, x1,x2,x3在半徑=根號(hào)2的圓上面
所以f=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2-x2x3+x1x3)
=4+2(x1x2-x2x3+x1x3)
所以只需要求出x1x2-x2x3+x1x3的最大值
假設(shè)f1=x1x2-x2x3+x1x3
???f2=x1^2+x2^2+x3^2-2
拉格朗日乘數(shù)法:
G(x1,x2,x3)=f1+Mf2，M是個(gè)實(shí)數(shù)，那么有偏導(dǎo)數(shù)=0
G'(x1)=x2+x3-2Mx1...(1)
G'(x2)=x1-x3+2Mx2...(2)
G'(x3)=x1-x2+2Mx3...(3)
f2(x1,x2,x3)=0...(4)
解上面的4元方程組，由(2)和(3)得到x2=x3，再結(jié)合(1)得到x1=-x2,再代入(4)
M=1,x1=(根號(hào)6)/3,x2=x3=-(根號(hào)6)/3,x1x2-x2x3+x1x3=-1
或者
M=1,x1==-(根號(hào)6)/3,x2=x3=(根號(hào)6)/3,x1x2-x2x3+x1x3=-1
或者
M=-1/2,x1=x2+x3,代入x1x2-x2x3+x1x3=x1(x2+x3)-x2x3=x2^2+x3^2+x2x3=0.5((x2+x3)^2+x2^2+x3^2)=0.5(x1^2+x2^2+x3^2)=1這個(gè)就是最大值
所以f(max)=4+2*1=6
---------------------------------------------------------------
??? 例子: 3維空間中，一個(gè)平面通過(guò)直線(x-7)/3=(y-8)/4=(z-9)/5，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1,1).求這個(gè)平面的方程。說(shuō)明平面過(guò)點(diǎn)（7，8，9） 和點(diǎn)（1，1，1），兩點(diǎn)方向向量為（6，7，8），且它平行于矢量 ｛3，4，5｝，所以要求的平面方程為：
| x-1???y-1?? z-1? |
|3?????? 4???? 5??|????? =? 0
| 6??????7?????8?? |
得x-2y+z=0。怎么理解上面這個(gè)行列式呢? 因?yàn)橹懒似矫嫔蟽蓷l直線的方向矢量，那么平面的法矢量就是兩個(gè)方向矢量的叉乘
|?i????j???k??|
|3????4?? 5??|????? 求出來(lái)就是法向量。
| 6???7?? 8?? |
??? 如果題設(shè)換一下，一個(gè)面過(guò)直線(x-3)/5=(y-4)/6=(z-5)/7，且和單位球面x^2+y^2+z^2=1相切，求這個(gè)面的方程。設(shè)球上得切點(diǎn)為（x0,y0,z0)，這點(diǎn)處的法向量為(2x0,2y0,2z0)，又因?yàn)橹本€的向量為(5.6.7) 在這個(gè)面中還有（x0-3,y0-4,z0-5)向量，所以法向量和兩個(gè)直線向量垂直。????????
10x0+12y0+14zo=0...(1)
2xo(xo-3)+2yo(y0-4)+2z0(zo-5)=0...(2)
又因?yàn)辄c(diǎn)在球上? 所以x0^2+y0^2+z0^2=1...(3)
3個(gè)方程，3個(gè)未知數(shù)，得切點(diǎn)即可，就得到法向量（2xo.2y0.2z0） 應(yīng)該有兩個(gè)
再寫出方程即可2x0（x-3）+2y0（y-4）+2z0（z-5）=0
(九) 線性代數(shù)的本質(zhì)
線性代數(shù)(Linear Algebra)，能否用一句話概括那些"線性方程組"，"線性相關(guān)"，"特征值和特征向量"，"對(duì)角化和相似"，"二次型和喬丹化"，都是干了什么樣的一件事情?
???????可以！這句話就是"線性變換"！----線性代數(shù)一切知識(shí)的本質(zhì)，或者叫做"坐標(biāo)系的變換和投影"。
?
???????考慮這樣一個(gè)例子，在(x,y)坐標(biāo)系當(dāng)中有一個(gè)點(diǎn)(a,b)，問(wèn)在什么坐標(biāo)系里面這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)(b,a)? 顯然，把x軸和y軸對(duì)調(diào)一下，寫成矩陣-向量乘法的形式就是:
[0,1][a]
[1,0][b]=[b,a]
???????看清楚了嗎，(x,y)到(x',y')的映射就是x'=(0x+1y),y'=(1x+0y)這樣的一個(gè)線性變換，矩陣的乘法實(shí)現(xiàn)了坐標(biāo)系的對(duì)調(diào)。同理，看下面幾個(gè)矩陣:
[1,0]___[2,0]___[0,2]___[1,-1]___[1,0]
[0,1]___[0,3]___[3,0]___[1,1]___[1,-1]
???????我們可以通過(guò)計(jì)算來(lái)看出，上面5個(gè)矩陣：第一個(gè)矩陣是單位矩陣E，也就是把(x,y)映射到(x',y')保持不變；第二個(gè)矩陣映射以后變量的長(zhǎng)度(或者 叫模，1范數(shù))有變換，向量的角度不變；第3個(gè)矩陣對(duì)調(diào)x/y軸，并且有伸縮；第4個(gè)矩陣把x/y逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，模變成原來(lái)的根號(hào)2倍；第5個(gè)矩陣是 對(duì)x軸做對(duì)稱，把y變成-y。2維空間上的線性變換可以用復(fù)數(shù)乘法來(lái)替代，但是更高維的變換就只能借助于矩陣乘法。
???????OK，既然矩陣相當(dāng)于一種坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)和投影(x/y到x'/y')，那么我們從這個(gè)角度來(lái)看線性代數(shù)的知識(shí)體系。
(1) 線性方程組AX=B，也就是說(shuō)，B是x'/y'坐標(biāo)系一個(gè)向量(b1,b2,b3...bn)，矩陣A是(x/y)到(x'/y')的映射，能否找到X= (x1,...xn)使得X被映射到B。如果找到了一個(gè)，那么這個(gè)映射就是唯一的，當(dāng)然映射也可能沒(méi)有，也可能有無(wú)數(shù)種可能的情況。
(2) 那么，什么情況AX=B的解是唯一的呢? 滿足行列式|A|!=0。為了滿足|A|!=0，必須有a的行向量線性無(wú)關(guān)，也就是a的每一行都是一個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)軸，沒(méi)有冗余的坐標(biāo)軸。所以坐標(biāo)系映射的自變量和因變量也就因此一一對(duì)應(yīng)，所以總是有且只有一個(gè)解。
(3) 什么情況下無(wú)解呢? A的行向量有冗余，最大線性無(wú)關(guān)(無(wú)冗余的坐標(biāo)系個(gè)數(shù))，或者秩R(A)=r，但是發(fā)現(xiàn)需要通過(guò)r個(gè)坐標(biāo)軸的映射，得到s維德映射結(jié)果(s>r)。 顯然無(wú)解(找不到低維到高維的一一映射)。同理，如果s<r，那么有無(wú)數(shù)個(gè)解(通解，一對(duì)多的映射)，s=r正好也是一個(gè)解。
???????矩陣的對(duì)角化，揭示了矩陣作為一種線性變換的手段的本質(zhì)。矩陣的意義就是線性變換，線性變換符合加法律，所以矩陣有加法的結(jié)合率和交換律。
???????那么特征值和特征向量的意義，也就很明顯了。假設(shè)N維坐標(biāo)系(i1,i2...in)映射到新的坐標(biāo)系(j1,j2,j3...jn)，既然矩陣A代表一 種映射關(guān)系，那么這種映射關(guān)系可以分解為模的伸縮和角度旋轉(zhuǎn)。A=P^(-1)*B*P，B是特征值構(gòu)成的矩陣，那么每一個(gè)特征值，相當(dāng)于坐標(biāo)ix映射到 jx的那一維的坐標(biāo)，其模的伸縮比例是多少。可逆矩陣P的每一個(gè)列向量代表的就是新的坐標(biāo)系相當(dāng)于原有的坐標(biāo)系如何投影過(guò)來(lái)----Pi的每一個(gè)分量就是 (i1...in)在ji上面投影的大小。矩陣對(duì)角陣的分解式A=P^(-1)*B*P代表了這樣一種信息: 把原坐標(biāo)系(i1,i2...in)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)(P矩陣)，并且幅度進(jìn)行伸縮(B矩陣)，再做一次鏡像的反轉(zhuǎn)(P^(-1)，因?yàn)樾D(zhuǎn)本身不具有反轉(zhuǎn)的功能，那么就是原矩陣A的線性變換功能的全部了。
???????矩陣，就是旋轉(zhuǎn)+鏡像翻轉(zhuǎn)+尺度伸縮。這就是一切線性代數(shù)和矩陣?yán)碚撘芯康膯?wèn)題，無(wú)出其外。一個(gè)應(yīng)用的例子就是控制論，系統(tǒng)從狀態(tài)A變換到狀態(tài)B(A和 B都是矢量)其實(shí)就是看是否存在轉(zhuǎn)移矩陣X使得XA=B，或者一些列轉(zhuǎn)移矩陣{X}已知，看看是否存在初始A使得系統(tǒng)狀態(tài)能夠變成要求的狀態(tài)B，或者已知 A和{X}看是否能經(jīng)過(guò)一系列變換得到B。下面幾幅圖來(lái)自<<Visual ComplexAnalysis>>，畫的是復(fù)數(shù)域(2x2線性變換空間的)的尺度拉伸，平移，旋轉(zhuǎn)，直角平面和極坐標(biāo)圓平面之間的線性變換。
(十) 國(guó)際象棋的車和象---從數(shù)論到代數(shù)
?能否用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)和解釋這個(gè)問(wèn)題，對(duì)于國(guó)際象棋而言：
1. 車的走動(dòng)，兩個(gè)方向，夾角90度。可以走遍所有的格子。
2. 象的走動(dòng)，兩個(gè)方向，夾角90度，但是永遠(yuǎn)只能走同色的格子。
???????為什么? 我們用幾種不同的方法來(lái)證明。
1. 用數(shù)論的方法,小學(xué)程度就能理解。考慮不變量。設(shè)象的走棋變化量(offset)的橫縱坐標(biāo)為(x, y)，考慮x+y。象的走法，x+y的奇偶性是不變的。要么走不了偶數(shù)位置，要么走不了奇數(shù)位置。而棋盤上面相鄰點(diǎn)，奇偶性是有不變的也有變化的，所以象走不全。
???????這個(gè)證法不嚴(yán)格。什么是"相鄰"就沒(méi)有嚴(yán)格的定義和形式化的表述，而是采用了歐式幾何的直觀想象和描述，充滿了含糊不清的"必然""顯然"這樣的概念。本 身也沒(méi)有先驗(yàn)的證明"白格的坐標(biāo)和都是奇數(shù)""黑格的坐標(biāo)和都是偶數(shù)"這樣的引理(不采用集合論的觀點(diǎn)用自然語(yǔ)言是無(wú)法證明的，因?yàn)樯婕暗揭粋€(gè)無(wú)窮的列舉 問(wèn)題)，而是認(rèn)為這個(gè)不需要證明顯然成立(繞過(guò)去了)。過(guò)程本身缺少形式化的嚴(yán)密性。
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2. 用矩陣和線性變換的思想(中學(xué)水平完全可以學(xué)習(xí)和理解矩陣?yán)碚?。假設(shè)我起始坐標(biāo)是(x1,y1)，終點(diǎn)是(x2,y2)，車的走動(dòng)就是一個(gè)線性變換 ([x,0],[0,y])，象的走動(dòng)是線性變換([x,x],[y,-y])，其中x/y都是整數(shù)。我們把x1/y1映射成x2/y2，就是看方程組有沒(méi)有解。顯然，車的轉(zhuǎn)移矩陣|A|!=0所以有解，因?yàn)閤/y的任意性，車可以走遍所有的格子。而象的映射矩陣|A|=0，那么根據(jù)擴(kuò)展矩陣的秩，它可能 有解，也可能沒(méi)有解。所以存在一些格子是象走不到的。證明完了，但是有一個(gè)遺憾，不能證明象能走到的格子一定是車的一半，而且不能證明顏色格的不可跨越性。
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3. 群論----這個(gè)是大學(xué)水平了。2維平面上，Z*Z 是一個(gè)加群(取值離散，整數(shù))，子集{(1, 0),(0, 1)}是能生成整個(gè)群，但是{(1, 1),(-1, 1)}只能生成兩個(gè)分量奇偶相同的元素。問(wèn)題的表述和證明得到的嚴(yán)格的形式化，結(jié)論客觀，完整，簡(jiǎn)潔，遠(yuǎn)超上面兩種方法。
????????人以群分----前提是人就是一個(gè)群，所以可以找到分類! 這就像伊斯蘭地毯的2維圖形，其模式一定是17種模式之一(已由數(shù)學(xué)證明)。集合是可分類的(ZFC集合論的理論基礎(chǔ))!
???????什么是空間? 扔開(kāi)具體的物理3維空間考察數(shù)學(xué)的概念，空間就是一個(gè)集合，同時(shí)滿足限制條件：集合每個(gè)元素都恰好有n個(gè)屬性，而且這n個(gè)屬性順序不能顛倒，n個(gè)屬性相同的元素必然相等(只有一個(gè))。于是，一個(gè)集合，每個(gè)元素都有3個(gè)屬性，就叫做一個(gè)數(shù)學(xué)上的3維空間(注意，比物理的定義更廣義)。
???????集合論是數(shù)學(xué)的基本理論。數(shù)學(xué)分析的時(shí)候討論收斂，"在xxxx的鄰域內(nèi)"，這個(gè)鄰域的結(jié)構(gòu)是拿來(lái)就用的，并沒(méi)有給出過(guò)嚴(yán)格定義，我們只是通過(guò)歐式幾何式的直觀想象認(rèn)為顯然應(yīng)該存在這么一個(gè)東西----直到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)才給出了鄰域的嚴(yán)格定義。
???????幾何的根本問(wèn)題是度量，這個(gè)詞語(yǔ)本身中文和外文的詞根都是來(lái)自丈量土地。丈量的根本前提是距離的度量。如果被度量是表面是一個(gè)平面，那么就是經(jīng)典的歐式幾何；如果是一個(gè)大范圍的度量，例如地球的航海度量；或者宇宙空間中受到引力的空間，其平面都從一個(gè)無(wú)限的平直表面坍縮成了一個(gè)橢球面(物理規(guī)律受引力作用不再是直線的作用)，于是有了黎曼幾何。在微觀世界，量子的不可測(cè)性把平面分裂成了對(duì)稱的兩個(gè)雙曲面，于是有了羅氏幾何。他們都是數(shù)學(xué)模型，都是為了精確的度量物理存在。幾何和物理是密不可分的。
???????那么又怎么度量呢? 這是個(gè)人為的標(biāo)準(zhǔn)，距離不是客觀存在的，距離是對(duì)客體觀測(cè)后得到的概念。我們把度量的過(guò)程看成一個(gè)函數(shù)映射(泛函的方法尋找函數(shù))，那么考慮使用一個(gè)叫 做"范數(shù)"的概念來(lái)表達(dá)這種度量。曼哈頓距離是1范數(shù)，歐式直線距離時(shí)二范數(shù)，還有N范數(shù)各自代表不同的意義。這個(gè)范數(shù)是為了滿足某些我們想要的性質(zhì)而人為構(gòu)造出來(lái)的，是向量空間向標(biāo)量空間的一個(gè)映射(數(shù)和量的統(tǒng)一，幾何到代數(shù)的映射)。當(dāng)我們找到了這樣的一個(gè)函數(shù)的時(shí)候，我們就叫N范數(shù)，用雙直 線||x||表示。如果一個(gè)向量空間上面的元素/關(guān)系都能被這個(gè)范數(shù)映射到標(biāo)量空間中，我們就把這個(gè)向量空間叫做賦范空間----也就是這個(gè)空間的元素，存在某種可以度量的屬性，具有廣義的幾何意義。一個(gè)N維的矢量空間加上一個(gè)內(nèi)積的定義就是一個(gè)N維賦范空間。
???????群又是什么? 空間中的某個(gè)元素可以通過(guò)其他元素的組合和變換來(lái)得到，是線性相關(guān)的集合的集合，表達(dá)的是一種屬性之間的關(guān)系。國(guó)際象棋8x8棋盤上，每個(gè)格子的坐標(biāo)就構(gòu) 成了一個(gè)群，這個(gè)群的最小化子集合是{(1,0),(0,1)}，通過(guò)最小化的子集合的運(yùn)算(分型)我們可以得到整個(gè)群，而矩陣則是這種分型的幾何過(guò)程的 描述。
???????集合是一個(gè)基本概念(http://www.douban.com/group/topic/5308346)，在這個(gè)概念的基礎(chǔ)上加條件，做演繹，就得到了N多的引申概念和知識(shí)。公理體系的建立總是在一些非常基本的概念的屬性的基礎(chǔ)上得來(lái)的，這個(gè)從歐式幾何就開(kāi)始了。雖然東方的數(shù)學(xué)很多具體的知識(shí)和結(jié)論的獲得，都早于西歐，但是公理化體系的形成，形式化的描述，定理的推理和演繹，從來(lái)都沒(méi)有真正的形成過(guò)，直到明代的李光啟翻譯幾何原本的時(shí)候才感嘆西人的 高明不在于結(jié)論和知識(shí)的高超，而是思維和邏輯體系的縝密，問(wèn)題邊界的劃分，公論的提出，演繹的嚴(yán)格。
???????眼光放的尺度大一點(diǎn)，歐式的神學(xué)，哲學(xué)，數(shù)學(xué)，其他的科學(xué)和學(xué)問(wèn)，無(wú)不是建立在公理系統(tǒng)和演繹之上的。一切的法律須從憲法，所有的定理須從公理，必須從一個(gè)樹(shù)根去分型得到整個(gè)大樹(shù)----這樣整體和部分才能和諧和沒(méi)有矛盾；x86的架構(gòu)的學(xué)習(xí)不是學(xué)Pentium，酷銳，而是從樹(shù)根8086學(xué)起；新的功能 的添加保持后向兼容，也就是保持樹(shù)根不變的情況下繼續(xù)分型，而不是推倒了重新種一棵大樹(shù)。公理系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在于公設(shè)的強(qiáng)壯性。如果公設(shè)可能被輕易推倒，那么整個(gè)大廈將傾。儒學(xué)如果也是一個(gè)公理系統(tǒng)的話，那么它的公設(shè)基本就是三字經(jīng)的第一句話"人之初，性本善"。很可惜，到底什么是"人"都沒(méi)有定義清楚 (柏拉圖認(rèn)識(shí)到了這是社會(huì)學(xué)研究的根本問(wèn)題和出發(fā)點(diǎn))，什么是"善惡"都沒(méi)有定義清楚(到底是一種客觀標(biāo)準(zhǔn)還是主觀標(biāo)準(zhǔn))，便開(kāi)始了四書五經(jīng)洋洋灑灑的演 繹和推論，這套理論是不是像在沙灘上面建房子。房子很漂亮，但是風(fēng)一吹就倒，于是每隔若干年就不得出重建----而且只是責(zé)怪建筑材料自己的質(zhì)量不好而毫 不考慮這房子原來(lái)是沒(méi)有任何堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)的。
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總結(jié)
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