AC源工作頻率相同，相位不同的系統被稱為多相(polyphase)

三相變壓器優勢如下：

幾乎所有電能都以三相的形式產生和傳輸

三相電機或發電器的功率和轉矩是常數，意味著可以讓機器相比單相系統更加穩定

相同功率下，三相系統比單相的更經濟，相對的，其他條件相同時，三相系統可以擁有更大的功率

文章目錄

• 1. 平衡三相電路
• • 1.1 三相發電機
  • 1.2 連接方式
  • • 1.2.1 Y型電源
    • • 1.2.1.1 Y型電源的電壓
      • 1.2.1.2 Y型電源的電流
    • 1.2.2 Δ型電源
    • • 1.2.2.1 Δ型電源的電壓
      • 1.2.2.2 Δ型電源的電流
    • 1.2.3 平衡負載
    • 1.2.4 平衡Y-Y連接
    • • 1.2.4.1 Y-Y的電壓
      • 1.2.4.2 Y-Y的電流
    • 1.2.5 平衡Y-Δ連接
    • 1.2.6 平衡Δ-Δ連接
    • 1.2.7 平衡Δ-Y連接
• 2. 不平衡三相電路
• 3. 平衡三相變壓器的功率
• • 3.1 有效功率
  • 3.2 無功功率
  • 3.3 表觀功率
  • 3.4 小結
• 4. 非平衡三相變壓器的功率
• 5. 三相系統功率的測量

1. 平衡三相電路

當電源的相位差相同時，我們稱這個三相電路平衡（balanced）

1.1 三相發電機

一個三相發電機可以發出三個間隔為$120°$的電壓，這三個電壓幅度相同，頻率相同，他們在時域和頻域上的表達式為

圖像為

1.2 連接方式

三相系統包含一個三相電壓源和一個三相負載，他們二者都擁有兩種連接方式，Y和$\Delta$，根據組合不同，最多能有四種三相系統

1.2.1 Y型電源

1.2.1.1 Y型電源的電壓

我們將變壓器末端負載上的電壓稱為相電壓（phase voltage）$V_p$
將任意兩條傳輸線之間的電壓稱為線電壓（line voltage）$V_L$

上圖中的$V_a,V_b,V_c$就是線電壓

對于一個平衡的變壓器，存在：
$$V_L=\sqrt{3}{V}_p$$
線電壓與相電壓之間的相位差為$30°$

一般來說，每一段線電壓和相電壓都是相同的

1.2.1.2 Y型電源的電流

線電流與相電流相等，且每一段現電流都是相同的，意味著知道一個電流就能知道其它所有電流

1.2.2 Δ型電源

在Δ型電源中，電源的頭和尾互相連接構成了一個回路

1.2.2.1 Δ型電源的電壓

對于這種電路，線電壓與相電壓相等
$$V_L=V_p$$

1.2.2.2 Δ型電源的電流

標出每條線上的電流，得到

根據KCL，我們可以得到下列等式

最終，得出線電流與相電流之間的關系為

每一段線電流比對應的相電流延遲了$30°$，相應的，線電流之間的相位差也都是$120°$，順序為abc或acb

1.2.3 平衡負載

一個平衡的三相系統包含平衡的電源和平衡的負載，平衡負載也擁有兩種連接方式，示意如下

其中左邊是Y型，右邊是Δ型，無論哪種連接，三個負載都是相等的

但是為了達到同樣的效果，兩種連接方式卻分別需要不同的負載，他們之間的等效關系在中間的紅框中標出

1.2.4 平衡Y-Y連接

將一個平衡Y型電源和一個平衡Y型負載相連，我們就得到了一個平衡Y-Y系統，圖示如下

1.2.4.1 Y-Y的電壓

這種系統繼承了Y型電源的電壓特性和Y型負載的阻抗特性，因此，我們得到相電壓和線電壓之間的關系為

每一段線電壓都比對應的相電壓滯后$30°$

1.2.4.2 Y-Y的電流

根據上面得到的電壓，我們用每個相電壓除以對應線上的阻抗，可以得到電流及電流的相位，計算如下

經過計算，我們知道中間這條線上的電流為0，這也意味著中間的電壓為0

1.2.5 平衡Y-Δ連接

這是將Y型電源與Δ型負載連接，圖示如下

這一電路的電壓特性仍與Y型的一樣，但要注意相電流的計算，在這里，我們需要用線電壓而不是相電壓來計算相電流，過程為

接著，我們可以用KCL來得到線電流

最終得到線電流與相電流的關系為

注意，這里的相電流為負載上的相電流，要將其與電源端的相電流區分開來，此處電源端的相電流仍然遵循Y型的特性，電源端相電流與線電流相等

1.2.6 平衡Δ-Δ連接

Δ-Δ型變壓器示意圖如下

由于電源端的線電壓與相電壓相同，我們可以直接有電源端的相電壓來計算負載端的相電流

1.2.7 平衡Δ-Y連接

電路圖如下

計算這里的電流時，我們既不能用電源端的線電壓，也不能用相電壓，而是需要用他們除以$\sqrt{3}$得到一個新的電壓

接著，用這個電壓去除以輸出端的阻抗，才能得到線電流

2. 不平衡三相電路

對于一個不平衡的三相電路，它的負載端阻抗不同，輸出端電壓也不同，靜電流不為0

舉個例子，之前我們在討論平衡Y-Y型變壓器時，提到終端的電流
$$I_n=I_a+I_b+I_c=0$$
但是對于非平衡Y-Y變壓器來說
$$I_n=?(I_a+I_b+I_c)=?(\frac{V_{an}}{Z_A}+\frac{V_{bn}}{Z_B}+\frac{V_{cn}}{Z_C})=0$$

同樣的，終端負載在Y與Δ之間的轉換也不再是簡單的$Z_Y=\frac{Z_{\Delta }}{3}$，具體的轉化我們僅作了解即可

假設Y型負載的值分別為$Z_1,Z_2,Z_3$，Δ型負載的值分別為$Z_a,Z_b,Z_c$，則從Y到Δ的轉化為

從Δ到Y的轉化為

3. 平衡三相變壓器的功率

首先，我們回顧一下交流電路的功率，在交流電路中有三種功率
表觀功率（apparent power），有效功率（true power）和無功功率（reactive power）

帶有電感的負載會消耗無功功率和有效功率，電容會給系統提供無功功率

假設一個電路的電流I相比電壓V滯后了相位$?$，則該電路功率的表達式為

他們的表達式為

表觀功率 $S=VI$，單位為VA

有效功率$P=VIcos?$，單位為W

無功功率$Q=VIsin?$，單位為var

交流電路的功率因數為有效功率除以表觀功率
$$PF=P/S=cos?$$

三種功率之間的關系可以通過一個三角形表現

現在，我們來看平衡三相變壓器里功率的計算

3.1 有效功率

三相變壓器的總功率是所有相的有效功率之和，我們先來看單獨一個相的有效功率

三個相加起來的功率為

這里的是瞬時功率，與時間t無關，因此三相系統是穩定的

將表達式中的相電壓和相電流換成線電壓和線電流，則為

注意這里對于任意連接形式都能得到這樣的結果，因為線電壓和線電流總有一個相當于相電壓或相電流除以$\sqrt{3}$

3.2 無功功率

3.3 表觀功率

3.4 小結

同樣的，三相變壓器的功率也可以用一個三角形表現

功率的復數形式為

功率因數為
$$PF=\frac{P}{S}=cos?$$

4. 非平衡三相變壓器的功率

對于非平衡三相變壓器，總的功率仍然等于每一相的功率之和，但是每一相的功率因數$cos?$將不會相同

我們所要做的就是用每一相的相電流乘以對應的阻抗來得出這一相的功率

5. 三相系統功率的測量

我們通常用瓦特計（wattmeter）來測量負載的平均功率

一個瓦特計需要同時連接電流和電壓，如圖

其中電流線圈的正極和電壓線圈的正極通常用$+$或$\pm$標識

將瓦特計的電流線圈與負載串聯，電壓線圈聯在負載的兩端，我們就能很輕易地量出負載的功率

然而大多數情況下，負載會處于一個“黑盒子”內，因而我們很可能無法直接將瓦特計與負載相連，此時就需要用到二瓦特計法（two-wattmeter method）

如上圖，通過 $W_1,W_2$ 兩個瓦特計，我們可以測出電流 $i_a,i_b$ 和電壓 $V_{ac},V_{bc}$

根據KCL，可以得到$i_c$為
$$i_c=?i_a?i_b$$

從而可以得出功率的表達式

從結果我們可以看出，功率可以只用我們量出的四個參數表達

然而，對于一個四線系統，我們需要用到三瓦特計法，如圖：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三相变压器的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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