2009-06-18

幾何三大問題即三個作圖題: 立方倍問題; 三等分角問題; 化圓為方問題。請說明為什么不能僅用尺規(guī)來作圖。

copy我原先的答案，供參考！

大約公元前6世紀到4世紀之間，古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個作圖問題。

1。三等分角問題：將任一個給定的角三等分。

2。立方倍積問題：求作一個正方體的棱長，使這個正方體的體積是已知正方體體積的二倍。

3。化圓為方問題：求作一個正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。

這就是著名的古代幾何作圖三大難題。

解析幾何誕生之后，人們知道直線和圓，分別是一次方程和二次方程的軌跡。而求直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點問題，從代數(shù)上看來不過是解一次方程或二次方程組的問題，最后的解是可以從方程的系數(shù)(已知量)經(jīng)過有限次的加、減、乘、除和開平方求得。 因此，一個...全部

copy我原先的答案，供參考！

大約公元前6世紀到4世紀之間，古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個作圖問題。

1。三等分角問題：將任一個給定的角三等分。

2。立方倍積問題：求作一個正方體的棱長，使這個正方體的體積是已知正方體體積的二倍。

3。化圓為方問題：求作一個正方形，使它的面積和已知圓的面積相等。

這就是著名的古代幾何作圖三大難題。

解析幾何誕生之后，人們知道直線和圓，分別是一次方程和二次方程的軌跡。而求直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點問題，從代數(shù)上看來不過是解一次方程或二次方程組的問題，最后的解是可以從方程的系數(shù)(已知量)經(jīng)過有限次的加、減、乘、除和開平方求得。

因此，一個幾何量能否用直尺圓規(guī)作出的問題，等價于它能否由已知量經(jīng)過加、減、乘、除、開方運算求得。

從而得出結(jié)論：尺規(guī)作圖法所能作出的線段或者點，只能是經(jīng)過有限次加、減、乘、除及開平方(指正數(shù)開平方，并且取正值)所能作出的線段或者點。

1837年，23歲的萬芝爾以他的睿智和毅力實現(xiàn)了自己的夢想，證明了立方倍積與三等分任意角不可能用尺規(guī)作圖法解決，宣布了2000多年來，人類征服幾何三大難題取得了重大勝利。

他的證明方法是這樣的：

假設(shè)已知立方體的棱長為a，所求立方體的棱長為x，按立方倍積的要求應(yīng)有x3=2a3的關(guān)系。

所以立方倍積實際是求作滿足方程x3－2a3＝0的線

段X，但些方程無有理根，若令a=1,則要作長度為2的立方根的線段，但2的立方根超出了有理數(shù)加、減、乘、除、開方的運算范圍，超出了尺規(guī)作圖準則中所說的數(shù)量范圍，所以它是不可能解的問題。

用類似地想法，他證明了三等分角也是不可能解的問題。實際上萬芝爾還證明了一個被稱為高斯——萬芝爾定理：如果邊數(shù)N可以寫成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素數(shù)，則可用尺規(guī)等分圓周N份，且只有當N可以表成這種形式時，才可用尺規(guī)等分圓周N份。

根據(jù)這一定理，任意角的三等分就不可能了。

1882年，德國數(shù)學家林德曼借助于e^iπ=-1證明了π的超越性，從而解決了化圓為方的問題。假設(shè)圓的半徑為r，正方形的邊長為x，按化圓為方數(shù)代數(shù)方程的根，更不能用加減乘除開平方所表示，因而不可能用尺規(guī)法作圖。

從此，古典幾何的三大難題都有了答案。

回答：2009-05-14 18:44

。收起

總結(jié)

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