Preface

給定一個有向圖和一個起點$st$，我們需要知道起點到某個點的關于必經點的信息。
若起點到點v的所有路徑均經過點u，則我們稱點u支配點v，顯然一個點支配自己本身

顧名思義，支配樹就是由某些支配關系構成的樹。

定義

約定一些記號
$(u,v)$，表示一條從u到v的有向邊
$fa(u)$，表示$u$在DFS樹上的父親。
$dfn(i)$為從$st$開始DFS整個圖，$i$號點的$dfs$時間戳。
$Path(u,v)$，表示DFS樹上$u$到$v$的路徑上的點集
$Path(u,v)/u$表示路徑上點集中除去點$u$剩余的集合

我們定義一個點$u$的最近支配點$idom(u)$，它支配$u$，且它也被除u以外的所有支配u的點支配

性質

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顯然$idom(u)$唯一存在，且若我們重新建一個圖，所有的$idom(u)$與$u$連一條邊，那么這個新圖是一棵以$st$為根的樹，也就是說$idom$不會成環（可以用反證法簡單證明）。
這棵樹就是我們說的支配樹。

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$idom(u)$一定是$u$在$dfs$樹上的祖先。（一樣可以反證法簡單證明）

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問題就是要求出$idom$。

求解

為了求出$idom$，我們引入半必經點的概念。

半必經點

回歸tarjan求強連通分量的算法，我們來觀察DFS過程中會出現哪些邊。

• 樹邊，DFS樹上的父親——兒子邊。
• 后向邊，祖先向后代連的非樹邊的邊。
• 返祖邊，DFS序大的后代向DFS序小的祖先連的邊
• 橫叉邊，DFS序大的點向DFS序小的點連的邊，且沒有祖先后代關系。

容易證明不存在上面四種邊以外的邊。

記$semi(u)$表示從$u$開始，沿著邊反著走，能夠中途不經過u的祖先，最后到達的深度最淺($dfn$最小)的$u$的祖先。

形式化的，$semi(u)$是$u$的祖先，且存在原圖中的一條路徑$p_1...p_k$，$p_1=semi(u),p_k=u，{?}_{i=2}^{k?1}dfn(p_i)>dfn(u)$

可以發現這兩種定義是等價的，因為不可能通過反向邊走到DFS序更小的且不是祖先的點去。

我們考慮它可能怎么走，要么通過樹邊/后向邊的反向邊直接走到一個祖先，要么通過返祖邊/橫叉邊的反向邊走到某些$dfn$更大的點$pr{e}_u$，然后在$Path(st,pr{e}_u)$上找一個$w$，滿足$dfn(w)\ge dfn(u)$，所有的$semi(w)$的最淺的那個就用來更新$semi(u)$。

可以發現最淺的$semi(w)$一定是$u$的祖先，因此我們不必擔心不合法的問題。

那么我們就得到了$semi$的求法，按照DFS序倒序枚舉所有點$u$，按照上面的做法來不斷更新，查詢祖先可以用帶權并查集來做，求出一個點的$semi$之后將它的所有樹邊兒子與它合并即可。

問題在于求$idom$
我們考慮$v\in Path(semi(u),u)/semi(u)$，找到$semi(v)$最淺的一個。

有定理：若$semi(v)=semi(u)$，則$idom(u)=semi(u)$，否則$idom(u)=idom(v)$
這個定理請自行理解…我也不會證

有了這個定理之后我們可以將$u$掛在$semi(u)$上，掃到$semi(u)$的時候就找到$u$相應的$v$，若$semi(u)=semi(v)$就直接$idom(u)=semi(u)$，否則因為此時$idom(v)$還沒有求出來，我們可以先將$idom(u)$指向$v$，最后全部都做完以后按照DFS序正序掃一遍將這部分的$idom(u)$改成$idom(idom(u))$即可。

時間復雜度$O(n\log n)$（因為不能按秩合并）

Code

洛谷P5180，支配樹模板題。

#include <bits/stdc++.h> #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) #define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i) #define N 200005 #define M 300005 using namespace std; vector<int> pre[N]; int fs[N],nt[M],dt[M],pr[M],n,m,m1;int semi[N],idom[N],ft[N],fp[N],dfn[N],dfw[N],fa[N]; vector<int> ids[N]; int gmin(int x,int y) {return (!y||(dfn[x]<dfn[y]&&x))?x:y; } void link(int x,int y) {nt[++m1]=fs[x];dt[fs[x]=m1]=y; } void dfs(int k) {dfw[dfn[k]=++dfn[0]]=k;for(int i=fs[k];i;i=nt[i]){int p=dt[i];if(!dfn[p]) fa[p]=k,dfs(p);if(dfn[k]<dfn[p]) semi[p]=gmin(semi[p],k);else pre[p].push_back(k);} } int getf(int k) {if(!ft[k]||ft[k]==k) return k;int p=getf(ft[k]);fp[k]=(dfn[semi[fp[k]]]<dfn[semi[fp[ft[k]]]])?fp[k]:fp[ft[k]];return ft[k]=p; } int fd(int k) {getf(k);return fp[k]; } void merge(int x,int y) {int fx=getf(x),fy=getf(y);ft[fy]=fx,fp[fy]=(dfn[semi[fp[fy]]]<dfn[semi[fp[fx]]])?fp[fy]:fp[fx]; } void make() {fod(i,n,1){int k=dfw[i];if(i>1){for(int u:pre[k]){ int v=fd(u);semi[k]=gmin(semi[k],semi[v]);}ids[semi[k]].push_back(k); }for(int u:ids[k]){int v=fd(u);idom[u]=(semi[v]==k)?k:v; }fp[k]=k;for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) if(fa[dt[i]]==k) merge(k,dt[i]);}for(int i=2,k=dfw[2];i<=n;++i,k=dfw[i]) if(idom[k]!=semi[k]) idom[k]=idom[idom[k]]; } int sz[N]; int main() {cin>>n>>m;fo(i,1,m){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);link(x,y),pre[y].push_back(x);}dfs(1);make();fod(i,n,1){sz[dfw[i]]++;sz[idom[dfw[i]]]+=sz[dfw[i]]; }fo(i,1,n) printf("%d ",sz[i]); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【学习小记】支配树【图论】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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