亚声速 – 超声速等熵喷管流动 数值模拟(文字）
亞聲速 – 超聲速等熵噴管流動
問題描述
流過拉伐爾噴管的定常等熵流動
?
在噴管，流動經過等熵地加速已達到超聲速
噴管出口處流體的壓力、溫度、速度和馬赫數分別記為
在噴管收縮段，流動是亞聲速的；在噴管的喉道，是聲速流動；在噴管的擴張段，流動是超聲速的
喉道處的聲速流動（Ma=1）表示此處流動速度的大小等于當地聲速
盡管真實流動的流場是二維的，可以假設流動參數僅隨x變化，這相當于假設在任意截面上的流動參數是均勻的。這種流動叫做擬一維流動。
?????? 對于以上假設，將使得x、y的三種控制方程對該問題不再適用。
因此直接基于物理學原理推導控制方程（質量守恒、牛頓第二定律、能量守恒）
連續性方程：
動量方程：
能量方程：
完全氣體狀態方程：
完全氣體焓：
建立控制方程
若需要推導偏微分方程的控制方程，則需從積分形式的控制方程組出發，重新推導
連續性方程：
動量方程：
守恒型：
非守恒型：
能量方程：
代入三種守恒方程：
?
無量綱化：
其中，L表示噴管的長度，表示駐室的聲速，?，γ?為比熱比?，A*?為喉道面積。
連續性方程：
'
動量方程：
代入
能量方程：
?
時間步長限制
對雙曲型方程，，，有CFL條件：
對該問題，有穩定性限制條件：
其中V是流動中某一點的流速，a是當地聲速
?
求解
預估步：
?
（上圖中間式，右側第一項缺少負號）
?????? ?
校正步：
邊界處的值如何計算？？？
時間導數平均值
校正值：
?
全亞聲速等熵噴管流動
全亞聲速等熵噴管流動的解，對應于指定的壓力比，噴管出口壓力與駐室壓力之比。
給定如下的面積分布的噴管：
此處表示噴管喉道處的截面積。由于喉道處的流動是亞聲速的，At>A*?。
對亞聲速流動，為了得到唯一的解，需要給定噴管兩端的壓力比。對于固定的p0?，需要給定出口壓力pe?。
控制方程
另有狀態方程
p=ρRT?
寫成無量綱形式
p'=ρ'T'?
由于出口壓力pe'?給定：
因此，當pe'?給定時，出口邊界上的ρe'?與Te'?將耦合在一起。如果通過線性外插值確定其中一個，則另一個需要由上式狀態方程確定。
初始條件
?
邊界條件引起的一些問題
對該問題，更小的出口壓力將會導致計算不穩定，最終發散。
在出口附近出現了振蕩。這是由于有限波從下游邊界處反射，而這種反射完全是由數值上的原因引起的。由于計算過程中要保持出口壓力pe?為常數，非定常噴管流動中向右傳播的有限壓縮波和稀疏波會從常壓邊界反射。如果這些波足夠強大，那么在下游邊界附近將出現較大的振蕩。經過足夠長的時間，這種振蕩最終導致計算發散。
出口邊界規定為“壓力不變，保持恒定”。在物理上，這種規定僅在定常情況下才成立。實際上，在非定常流動中，有限壓縮波和膨脹波在噴管內來回運動。這些波從下游邊界傳播出噴管時，所有流動變量（包括壓力）都隨著時間變化。因此，這種出口邊界的規定在物理上是不正確的。因此，當出口處壓力恒定時，這些波在某種程度上被擋在噴管內，無法傳播出去。
?????? 為了使較強壓力比下求解能夠成功，首先，可以讓初始條件更接近于定常解。其次，可以添加一些人工粘性。
?
亞聲速-超聲速等熵噴管流動 – 守恒型方程
為了捕捉激波，應選擇守恒形式的控制方程。
控制方程
連續性方程：
動量方程：
?
其中
能量方程：
無量綱內能：
建立通用方程組：
這里守恒型控制方程組的因變量并不是原始變量。通用方程組求解得出U1, U2, U3?，U?才被稱為解向量。而原始變量ρ, V, T, p?，必須將U1, U2, U3?分解才能得到
其中
另外需要將F表達成的形式
邊界條件
進口處：
出口處：
初始條件
取
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總結
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