第一節(jié) 射影幾何的提出

一、歷史背景

? 1566年，科曼迪諾(F．Commandino，1509—1575)把阿波羅尼奧斯(Apollonius)的《圓錐曲線論》(Conics)前四卷譯成拉丁文，引起了人們對(duì)幾何的興趣，幾何上的創(chuàng)造活動(dòng)開始復(fù)興．在短短幾十年的時(shí)間里，便突破傳統(tǒng)幾何的局限，產(chǎn)生了一門嶄新的學(xué)科——射影幾何．由于新學(xué)科把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)及圖形連續(xù)變動(dòng)的思想引入數(shù)學(xué)，它實(shí)際上已邁入高等數(shù)學(xué)的門檻．

? 射影幾何直接起源于透視法，而透視法是與繪畫藝術(shù)分不開的．在中世紀(jì)，畫家的主要任務(wù)是頌揚(yáng)上帝和為圣經(jīng)插圖．但到了文藝復(fù)興時(shí)期，描繪現(xiàn)實(shí)世界逐漸成為繪畫的目標(biāo)了．為了在畫布上忠實(shí)地再現(xiàn)大自然，就需要解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如何把三維的現(xiàn)實(shí)世界反映到二維的畫布上．意大利的建筑師兼數(shù)學(xué)家阿爾貝蒂(L．B．Alberti，1404—1472)認(rèn)真考慮了這一問題．他在1435年寫成的《論繪畫》(Dellapittura，1511年出版)一書中闡述了這樣的思想：在眼睛和景物之間插進(jìn)一張直立的玻璃板，并設(shè)想光線從眼睛出發(fā)射到景物的每一個(gè)點(diǎn)上，這些線叫投影線．他設(shè)想每根線與玻璃板交于一點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合叫做截景．顯然，截景給眼睛的印象和景物本身一樣，所以作畫逼真的問題就是在玻璃板(實(shí)際是畫布)上作出一個(gè)真正的截景．

? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖1 常見的典型繪畫角度?

? ?二、中心射影的直觀理解?

如上圖所描述的鐵路圖形，顯然，無論雙軌還是路基，還是樹木，最終大家都匯交于，無限遠(yuǎn)的一個(gè)中心點(diǎn)。?這就引出一個(gè)射影交點(diǎn)的抽象。如下圖所描述：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2? 對(duì)鐵路景物的三維射影投射

在圖2中，假定軌道是L1和L2的直線，這兩直線平行且在地平面P1內(nèi)。P2是畫布所在平面，P2垂直于P1平面。S是視點(diǎn)，也就是眼睛所在點(diǎn)，V是無限遠(yuǎn)點(diǎn)在畫布的投影，W是無限遠(yuǎn)點(diǎn)，顯然S-V-W三點(diǎn)共線。且大地上景物的任意一個(gè)點(diǎn)，都可以與視點(diǎn)S連線，這個(gè)連線將交P2平面于某一個(gè)點(diǎn)。P1上點(diǎn)和P2上點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)。下面，就任意移動(dòng)S點(diǎn)，和任意改變P1和P2的夾角，所構(gòu)成的一般原理。

第二節(jié) 中心射影基本概念

一、定義在平面上的中心射影

我們暫時(shí)不談三維空間的射影問題，先談二維平面上，線與線存在的射影問題，然后將其推廣到三維的情形。

定義：設(shè)ξ,η是共面的兩相異直線,O是兩直線外一點(diǎn).對(duì)于直線ξ上任一點(diǎn)A,設(shè)A′是直線OA與η的交點(diǎn),則由AA′定義的直線ξ上點(diǎn)與η上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)叫直線中心射影,簡稱為中心射影,O是射影中心.

因此，這個(gè)映射的要點(diǎn)如下：

當(dāng)?ξ,η平行的時(shí)候，ξ,η上的射影構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)。

射影中心是O，對(duì)應(yīng)圖2中的S點(diǎn)，即視點(diǎn)，這是極其重要的點(diǎn)。

當(dāng)ξ,η相交的時(shí)候，存在不動(dòng)點(diǎn)D，是兩射影點(diǎn)重合。

當(dāng)ξ,η相交的時(shí)候，Q點(diǎn)是η上的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)ξ上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，P點(diǎn)是ξ上的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)η上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

二、平行直線相交于無限遠(yuǎn)的證明

說起平行線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，不是概念灌輸，而是實(shí)實(shí)在在的邏輯需求，而且這個(gè)原理相當(dāng)有用。下面證明這種提法的邏輯性。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖3? 用集合證明平行線交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

證明兩個(gè)集合A和B相等的基本方法，就是從A中找一個(gè)元素，在B中也有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)。反之，從B中任找一個(gè)元素，A中總有對(duì)應(yīng)的元素。舉個(gè)現(xiàn)實(shí)例子，就是一車蘋果和一車?yán)?#xff0c;要回答蘋果多，還是梨多，你不必去數(shù)它們，而是從蘋果車取一個(gè)蘋果拋掉，也從梨車取個(gè)梨拋掉，最后

哪個(gè)車水果先空，就是哪個(gè)車水果少。如果兩車同時(shí)為空，就是兩個(gè)集合（車）相等。好了，解釋圖3：

圖三中，有兩條線【Ln，Lp】和【Mn，Mp】，將線【Ln，Lp】假定為有向直線，Ln是negentive負(fù)向最遠(yuǎn)點(diǎn)，Lp是positive正向最遠(yuǎn)點(diǎn)；將線【Mn，Mp】假定為有向直線，Mn是negentive負(fù)向最遠(yuǎn)點(diǎn)，Mp是positive正向最遠(yuǎn)點(diǎn)；兩線交于D點(diǎn)，O是兩線外的射影點(diǎn)；OC平行于【Ln，Lp】，OB平行于【Mn，Mp】。

因此直線【Ln，Lp】可以表述成三個(gè)集合：【Ln，D】，【D，B】，【B，Lp】

直線【Mn，Mp】可以表述成三個(gè)集合：【Mn，C】，【C，D】，【D，Mp】

U1是【Ln，D】上任意點(diǎn)，在O的映射下，U1的映射點(diǎn)是【Mn，Mp】線上的U2；當(dāng)U1無限靠近Ln時(shí)，U2無限靠近C點(diǎn)；因此，【Ln，D】集合與【C，D】集合形成一一對(duì)應(yīng)。

V1是【D，B】上任意點(diǎn)，在O的映射下，V1的映射點(diǎn)是【Mn，Mp】線上的V2；當(dāng)V1無限靠近B時(shí)，映射點(diǎn)V2無限靠近Mp點(diǎn)；因此，【D，B】集合與【D，Mp】集合形成一一對(duì)應(yīng)。

W1是【B，Lp】上任意點(diǎn)，在O的映射下，W1的映射點(diǎn)是【Mn，Mp】線上的W2；當(dāng)W1無限靠近Lp時(shí)，W2無限靠近C點(diǎn)；因此，【B，Lp】集合與【Mn，C】集合形成一一對(duì)應(yīng)。

綜合以上，得到兩個(gè)結(jié)論

正負(fù)無限遠(yuǎn)點(diǎn)是集合上的一個(gè)元素，Ln和Lp重合,Mn和Mp重合，也就是說，在中心射影的立場上直線實(shí)際上是一個(gè)無限遠(yuǎn)閉合的環(huán)。

B點(diǎn)映射到Mp，因此O-B-Mp三點(diǎn)共線（平行線在無限遠(yuǎn)相交）

Ln點(diǎn)映射到C，因此O-C-Ln三點(diǎn)共線（平行線在無限遠(yuǎn)相交）

兩條直線上的中心射影點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【射影几何01】 射影几何介绍的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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