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給出支配樹的定義

給出一些性質

介紹快速構造支配樹的Lengauer-Tarjan算法及具體實現

支配樹是啥

一個有源點的有向圖，其支配樹是滿足下面條件的一個有向圖：

對于支配樹上一點，若斷開此點，則源點必定不能到達它的任何兒子，并且能到達其他任意一個點。

不顯然的，它是一棵樹（當然后面會有證明）

支配樹有很多實際用途，我都不知道。

一些性質

對于一個有向圖，假設源點為$r$，先從$r$出發構造一棵dfs樹。

定義：對于一個點$u$，若一支配$u$的點$w$滿足w?=uw\not= uw??=u并且$w$被支配$u$的其他不含$u$的支配點支配，則$w$就是$u$的最近支配點，記作$idom(u)$。

通俗的講，$w$是離$u$最近的那個支配點，并且能恰好支配$u$。

Lemma 1: 支配關系不存在環。

Proof: 若$a$支配$b$，那么$r$到$b$必定經過$a$，若$b$支配$a$則到達$b$需要經過$a$，此時并沒有經過$b$，產生矛盾。

Lemma 2: 除源點外，其他點有且僅有一個最近支配點。

Proof: 若$a$支配$b$，$b$支配$c$，則$a$支配$c$；若$a$支配$c$，$b$支配$c$，那么$a$支配$b$或$b$支配$a$，否則可以找到一條路徑不經過$a$而到達$c$而矛盾。因此支配$u$的所有點的集合構成了一個全序關系，因此總可以找到一個點滿足上述最近支配點的定義。

Theorem 1: 若連接一個點和其最近支配點，那么這張圖構成了一棵樹，并且滿足支配樹的定義。

Proof: 由Lemma 1和Lemma 2可以得到這張圖就是一棵樹。容易證明，若斷開$u$，則源點不可能到達$u$的任意一個兒子。對于其他點，由支配樹的定義和Lemma 2可以推導出這個點不會受到$u$是否斷開的影響。

由Theorem 1，若得到了所有點的$idom$，則容易構造出這張圖的支配樹。

那么怎么求$idom$呢？

首先定義：定義一個點$u$的半支配點$w$為存在路徑$w\to u$，使得除了$w$，這條路徑上任意一個點的dfs序都大于等于$u$的dfs序，并且$w$是所有滿足條件的點中最小的那個，記作$sdom(u)$。

Lemma 3: 對于任意一點u?=ru\not=ru??=r，$idom(u)$為$u$在dfs樹上的祖先。

Proof: 若不是祖先，則可以找到一條只經過樹邊的路徑，必定不經過$idom(u)$。

Lemma 4: 對于任意一點u?=ru\not=ru??=r，$sdom(u)$為$u$在dfs樹上的祖先。

Proof: 若不是祖先，若其dfs序小于$u$的dfs序，則dfs時必定會經過$sdom(u)$而到達$u$，此時$sdom(u)$就是$u$的祖先，產生矛盾；否則，則可以找到一個點$w$為$sdom(u)$在dfs樹上的祖先，路徑$w\to sdom(u)\to u$是一條滿足定義的路徑，并且$w$的dfs序小于$sdom(u)$的dfs序，產生矛盾。

Lemma 5: 對于任意一點u?=ru\not=ru??=r，$idom(u)$為$sdom(u)$在dfs樹上的祖先。

Proof: 若不是祖先，則可以找到一條$r\to sdom(u)\to u$的路徑，其中$r\to sdom(u)$經過dfs樹邊，顯然不經過$idom(u)$；$sdom(u)\to u$這段路徑上任意一個點的dfs序大于$u$，由于Lemma 3，這段路徑也不經過$idom(u)$，因此找到了一條路徑可以繞過$idom(u)$，產生矛盾。

Lemma 6: 對于任意兩點u?=r,v?=ru\not=r,v\not=ru??=r,v??=r，若$u$是$v$的祖先，則$u$是$idom(v)$的祖先或$idom(v)$是$idom(u)$的祖先（上面兩種情況都可以相等）。

Proof: 否則$idom(u)$是$idom(v)$的祖先，$idom(v)$是$u$的祖先，那么存在一條路徑能繞過$idom(v)$而到達$u$進而到達$v$，產生矛盾。

Theorem 2: 對于任意一點u?=ru\not=ru??=r，若$sdom(u)\to u$只經過樹邊的路徑上，不包括$sdom(u)$的任意一點$v$都滿足$sdom(u)$是$sdom(v)$的祖先或二者相等，則$idom(u)=sdom(u)$。

Proof: 由Lemma 5，若$sdom(u)$支配$u$，則$idom(u)=sdom(u)$。對$r\to u$的任意一條路徑，取dfs序最大的點$w$滿足$w$是$sdom(u)$的祖先；取dfs序最小的點$x$，滿足$sdom(u)$是$x$的祖先或二者相等，容易發現這樣的點必定存在。那么$sdom(x)$的就是$w$，但是$w$是$sdom(u)$的祖先，因此$x=sdom(u)$，那么任何$r\to u$的路徑必定經過$sdom(u)$，因此$sdom(u)$支配$u$。

Theorem 3: 對于任意一點u?=ru\not=ru??=r，若$sdom(u)\to u$只經過樹邊的路徑上，不包括$sdom(u)$的點中，對于$sdom(v)$的dfs序最小的$v$，滿足$sdom(v)$是$sdom(u)$的祖先，那么$idom(u)=idom(v)$。

Proof: 由Lemma 5和Lemma 6，$idom(u)$是$idom(v)$的祖先或二者相等。因此只要證明$idom(v)$支配$u$即可。類似Theorem 2的證明，取$w$為$idom(v)$的祖先，$x$為$idom(v)$的后代或二者相等，那么$sdom(x)$為$w$，又由于$sdom(v)$是最大的，因此$x$不可能是$sdom(u)$的后代；若$x$是$sdom(u)$的祖先或相等，但是是$idom(v)$的后代，那么就找到了一條繞過$idom(v)$而到達$v$的路徑。因此$x$就是$idom(v)$。那么所有路徑都經過$idom(v)$，因此$idom(v)$支配$u$。

由Theorem 2和Theorem 3，我們可以輕松的由$sdom$求出$idom$了。

Theorem 4: 對于任意一點u?=ru\not= ru??=r，$sdom(u)$是滿足下列條件兩條件的dfs序最小的$x$：1. 存在一條邊$x\to u$且$x$的dfs序小于$u$的dfs序；2. $x=sdom(v)$，$v$的dfs序大于$u$的dfs序，并且存在一個點$w$滿足存在一條邊$w\to u$且$v$是$w$的祖先或相等。

Proof: 顯然對于每一個$x$，都存在一條滿足$sdom$要求的路徑。由于$sdom(u)$后面的點dfs序一定大于等于$u$，取$sdom(u)$的后面一個點$v$，那么$sdom(v)$的dfs序必定等于$sdom(u)$，并且$v$符合上述條件。

由Theorem 4可以很方便的求出$sdom$。

具體實現

以dfs序的倒序枚舉每個點，假設有一個數據結構，支持：將一個點作為另外一個點的父親；查詢這個點到根的$sdom$最小值。

設當前枚舉的點為$u$，可以枚舉$u$的前驅$x$，那么$sdom(u)$就是$u$的前驅在數據結構上的$sdom$最小值的最小值。

對于$u$的父親$t$，每個$sdom(w)=t$并且$w$是$u$的后代或二者相等的$w$在數據結構上的$sdom$最小值就是Theorem 2和Theorem 3描述的最小值，直接更新$w$的$idom$即可。

注意Theorem 3中$v$的$idom$可能還沒有被更新，那么暫時令$idom(w)=v$，之后若idom(w)?=sdom(w)idom(w)\not=sdom(w)idom(w)??=sdom(w)就更新成$idom(idom(w))$。

數據結構可以采用帶權并查集，時間復雜度$O(n\log n)$

代碼

//dfn[i]為i的dfs序，idfn[i]是dfs序為i的點，het[i]是i的所有前驅，bkt[i]是所有sdom為i的點 //eval(i)為找到并查集中這個點到父親的sdom中dfs序最小的那個 int getidom() {for(int i=cnt; i>1; --i){int u=idfn[i];for(int v:het[u]){if(!dfn[v]){continue;}int w=eval(v);if(dfn[sdom[w]]<dfn[sdom[u]]){sdom[u]=sdom[w];}}bkt[sdom[u]].push_back(u);int t=fa[u];dsu::fa[u]=t;for(int v:bkt[t]){int w=eval(v);idom[v]=(sdom[w]==sdom[v])?t:w;}bkt[t].clear();}for(int i=2; i<=cnt; ++i){int u=idfn[i];idom[u]=(idom[u]==sdom[u])?(idom[u]):(idom[idom[u]]);}return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/Canopus-wym/p/10376054.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的支配树与Lengauer-Tarjan算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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