指數加權平均數

比如這兒有去年倫敦的每日溫度，所以1月1號，溫度是40華氏度，相當于4攝氏度。世界上大部分地區使用攝氏度，但是美國使用華氏度。在1月2號是9攝氏度等等。在年中的時候，一年365天，年中就是說，大概180天的樣子，也就是5月末，溫度是60華氏度，也就是15攝氏度等等。夏季溫度轉暖，然后冬季降溫。

用數據作圖，可以得到以下結果，起始日在1月份，這里是夏季初，這里是年末，相當于12月末。

這里是1月1號，年中接近夏季的時候，隨后就是年末的數據，看起來有些雜亂，如果要計算趨勢的話，也就是溫度的局部平均值，或者說移動平均值。

要做的是，首先使\(v_{0} =0\)，每天，需要使用0.9的加權數之前的數值加上當日溫度的0.1倍，即\(v_{1} =0.9v_{0} + 0.1\theta_{1}\)，所以這里是第一天的溫度值。

第二天，又可以獲得一個加權平均數，0.9乘以之前的值加上當日的溫度0.1倍，即\(v_{2}= 0.9v_{1} + 0.1\theta_{2}\)，以此類推。

第二天值加上第三日數據的0.1，如此往下。大體公式就是某天的\(v\)等于前一天\(v\)值的0.9加上當日溫度的0.1。

如此計算，然后用紅線作圖的話，便得到這樣的結果。

得到了移動平均值，每日溫度的指數加權平均值。

看一下上面的公式，\(v_{t} = 0.9v_{t - 1} +0.1\theta_{t}\)，把0.9這個常數變成\(\beta\)，將之前的0.1變成\((1 - \beta)\)，即\(v_{t} = \beta v_{t - 1} + (1 - \beta)\theta_{t}\)

由于以后要考慮的原因，在計算時可視\(v_{t}\)大概是\(\frac{1}{(1 -\beta)}\)的每日溫度，如果\(\beta\)是0.9，會想，這是十天的平均值，也就是紅線部分。

來試試別的，將\(\beta\)設置為接近1的一個值，比如0.98，計算\(\frac{1}{(1 - 0.98)} =50\)，這就是粗略平均了一下，過去50天的溫度，這時作圖可以得到綠線。

這個高值\(\beta\)要注意幾點，得到的曲線要平坦一些，原因在于多平均了幾天的溫度，所以這個曲線，波動更小，更加平坦，缺點是曲線進一步右移，因為現在平均的溫度值更多，要平均更多的值，指數加權平均公式在溫度變化時，適應地更緩慢一些，所以會出現一定延遲，因為當\(\beta=0.98\)，相當于給前一天的值加了太多權重，只有0.02的權重給了當日的值，所以溫度變化時，溫度上下起伏，當\(\beta\) 較大時，指數加權平均值適應地更緩慢一些。

可以再換一個值試一試，如果\(\beta\)是另一個極端值，比如說0.5，根據右邊的公式（\(\frac{1}{(1-\beta)}\)），這是平均了兩天的溫度。

作圖運行后得到黃線。

由于僅平均了兩天的溫度，平均的數據太少，所以得到的曲線有更多的噪聲，有可能出現異常值，但是這個曲線能夠更快適應溫度變化。

所以指數加權平均數經常被使用，再說一次，它在統計學中被稱為指數加權移動平均值，就簡稱為指數加權平均數。通過調整這個參數（\(\beta\)），或者說后面的算法學習，會發現這是一個很重要的參數，可以取得稍微不同的效果，往往中間有某個值效果最好，\(\beta\)為中間值時得到的紅色曲線，比起綠線和黃線更好地平均了溫度。

總結

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