Implicit

何為隱式？隱式（Implicit）的是顯式（explicit）的反義詞。

explicit可以簡單理解為用網格等信息描述的幾何形狀，網格信息是離散的，信息量越大描述越精準。Implicit則不需要頂點等顯式信息，用方程，或者說有符號距離場 (Signed Distance Field) 即SDF，表示幾何形狀的數學模型。

SDF

在SDF中，空間中的每一點都有一個值，表示該點到最近表面的距離。這個距離可以是正的（如果點在形狀的外部），也可以是負的（如果點在形狀的內部）。SDF提供了一種簡潔而強大的方式來描述復雜的三維形狀，包括難以用傳統多邊形網格表示的形狀。

SDF的優勢：

1. 高效的幾何操作：進行布爾運算以及形狀變形和平滑處理變得簡單高效。
2. 復雜形狀的表示：特別適合描述復雜或有機形狀，如流體、云霧和生物組織。
3. 動態變化的支持：使實時更新和變形成為可能。

對幾何primitive的sdf描述
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Sphere Tracing

why

傳統的光線追蹤算法，通過發送光線并檢測這些光線與場景中物體的交點，進行著色。但是當場景使用SDF來表示時，傳統的交點檢測方法不再適用。原因在于SDF和多邊形網格表示場景的方式截然不同：

1. 頂點表示：在傳統的多邊形網格表示中，物體由許多小的平面片（通常是三角形）構成的。這些三角形有明確的邊界和頂點，因此當光線與這些三角形相交時，可以通過數學計算找到精確的交點。
2. SDF表示：相比之下，SDF場景被視為一個連續的體。體中每個點都有一個值，表示該點到最近表面的距離。這種表示方法不涉及明確的邊界或頂點，而是提供關于形狀表面的連續信息。

由于SDF沒有離散的多邊形或邊界，傳統的光線與多邊形的交點檢測算法（通常涉及線性代數和平面幾何計算）不再適用。在SDF表示的場景中，沒有明確的多邊形表面可以直接與光線進行交點計算。因此需要Sphere Tracing這樣的算法來處理SDF場景。

How

原版的SphereTracing十分討巧，其基本原理非常簡潔，也非常聰明：

1. 從點 \(p_0\) 開始投射一條 ray，以 SDF 值?\(f(p_0)\) 為步長進行一次 marching。
2. 以上次 marching 的終點為起點，以?\(f(p_1)\) 為步長繼續下一次 marching。
3. 重復 marching 直到?\(f(p_n)\) < \(\epsilon\) , \(\epsilon\) 為預設的閾值。此時我們認為 \(f(p_n)\) 即為交點。
   

Enhanced Sphere Tracing

上述的傳統 Sphere Tracing 算法冗余的步進次數很多，為了進一步提高效率，誕生了很多種優化方案。

binary search 二分查找法，實際效果不理想，并且遇上TPMS這種復雜結構會有更多問題
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Segment Tracing 通過假設場景是?\(C^2\)?連續去加長初始 marching 的距離，有效減少 marching 次數的同時，大幅提升了每次 marching 的消耗，效果不理想，并且在有棱角的場景表現更差
https://diglib.eg.org/bitstream/handle/10.1111/cgf13951/v39i2pp545-554.pdf
GitHub - aparis69/Segment-Tracing: Source code for the Computer Graphics Forum paper: Segment Tracing Using Local Lipschitz Bounds. Presented at Eurographics 2020.
【光線追蹤】Segment Tracing:一種可能加速距離場求交的實時光線追蹤方案 - 知乎 (zhihu.com)
Enhanced Sphere Tracing 采用激進的 marching 步長，即設定一個步長倍數\(\alpha\) ，marching 步長改為 \(f(p_n) * \alpha\) 而不是 Sphere Tracing 保守的 \(f(p_n)\) 。只要兩個 sphere 相交，就說明本次 marching 可安全，否則退回到點 \(p_n\) 的位置重新進行保守的 marching。

Accelerating Sphere Tracing 在 enhanced 的基礎上更進一步。假設前兩次 marching 所形成的 sphere 都相切于同一平面，那么下一次可以嘗試 marching 同樣與該平面相切并且也與上一次的 marching sphere 相切的距離。同樣，如果嘗試失敗則回退至保守 marching。

上述兩個方法都是在2023年以前最優秀的 marching 算法之一，直到 Automatic Step Size Relaxation。

Automatic step size relaxation

Automatic step size relaxation 可以根據歷史 marching 的情況，動態調整步長：平面多的地方。可以走相切平面的激進步長，而曲面多的地方則調整為走更保守的步長。

每次 marching 不斷更新近似斜率?m，然后用它來指導下一次 marching。

博主拙劣的C++實現

auto trace_auto_relaxation = [&](glm::vec3 p)
{
	float t = 0.0f;
	float r = sdf(p);
	float m = -1.0f;
	float z = r;
	const float beta = 0.3f;

	for (int i = 0; i < max_steps; i++)
	{
		if (r < eps) {
			return true;
		}
		if (t + r > max_dist) {
			break;
		}

		glm::vec3 next_p = p + ray_dir * z * relaxation_factor;
		float R = sdf(next_p);
		bool doBackStep = z > abs(R) + r;

		if (!doBackStep) {
			float M = (R - r) / (z + 1e-5f);
			m = (1.0f - beta) * m + beta * M;
			t += z * relaxation_factor;
			p = next_p;
			r = R;
		}
		else {
			m = -1.0f;
		}

		float omega = glm::max(1.0f, 2.0f / (1.0f - m));
		z = glm::max(eps, r * omega);
	}
	return false;
};

But

講完了嗎？講完我要開始轉了。
上述的所有方法，對 TPMS（Triply Periodic Minimal Surfaces 三周期極小曲面），都起不到多少作用。目前效果最好的辦法只能是力大磚飛——marching 步長乘以系數 \(\alpha ,\alpha < 1\) ，以非常保守的步長去小心翼翼的找TPMS表面。也是博主目前最頭疼的問題，歡迎討論。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Implicit隐式渲染入门 SDF SphereTracing的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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