Implicit

何為隱式？隱式（Implicit）的是顯式（explicit）的反義詞。

explicit可以簡單理解為用網格等信息描述的幾何形狀，網格信息是離散的，信息量越大描述越精準。Implicit則不需要頂點等顯式信息，用方程，或者說有符號距離場 (Signed Distance Field) 即SDF，表示幾何形狀的數學模型。

SDF

在SDF中，空間中的每一點都有一個值，表示該點到最近表面的距離。這個距離可以是正的（如果點在形狀的外部），也可以是負的（如果點在形狀的內部）。SDF提供了一種簡潔而強大的方式來描述復雜的三維形狀，包括難以用傳統多邊形網格表示的形狀。

SDF的優(yōu)勢：

1. 高效的幾何操作：進行布爾運算以及形狀變形和平滑處理變得簡單高效。
2. 復雜形狀的表示：特別適合描述復雜或有機形狀，如流體、云霧和生物組織。
3. 動態(tài)變化的支持：使實時更新和變形成為可能。

對幾何primitive的sdf描述
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Sphere Tracing

why

傳統的光線追蹤算法，通過發(fā)送光線并檢測這些光線與場景中物體的交點，進行著色。但是當場景使用SDF來表示時，傳統的交點檢測方法不再適用。原因在于SDF和多邊形網格表示場景的方式截然不同：

1. 頂點表示：在傳統的多邊形網格表示中，物體由許多小的平面片（通常是三角形）構成的。這些三角形有明確的邊界和頂點，因此當光線與這些三角形相交時，可以通過數學計算找到精確的交點。
2. SDF表示：相比之下，SDF場景被視為一個連續(xù)的體。體中每個點都有一個值，表示該點到最近表面的距離。這種表示方法不涉及明確的邊界或頂點，而是提供關于形狀表面的連續(xù)信息。

由于SDF沒有離散的多邊形或邊界，傳統的光線與多邊形的交點檢測算法（通常涉及線性代數和平面幾何計算）不再適用。在SDF表示的場景中，沒有明確的多邊形表面可以直接與光線進行交點計算。因此需要Sphere Tracing這樣的算法來處理SDF場景。

How

原版的SphereTracing十分討巧，其基本原理非常簡潔，也非常聰明：

1. 從點 \(p_0\) 開始投射一條 ray，以 SDF 值?\(f(p_0)\) 為步長進行一次 marching。
2. 以上次 marching 的終點為起點，以?\(f(p_1)\) 為步長繼續(xù)下一次 marching。
3. 重復 marching 直到?\(f(p_n)\) < \(\epsilon\) , \(\epsilon\) 為預設的閾值。此時我們認為 \(f(p_n)\) 即為交點。
   

Enhanced Sphere Tracing

上述的傳統 Sphere Tracing 算法冗余的步進次數很多，為了進一步提高效率，誕生了很多種優(yōu)化方案。

binary search 二分查找法，實際效果不理想，并且遇上TPMS這種復雜結構會有更多問題
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Segment Tracing 通過假設場景是?\(C^2\)?連續(xù)去加長初始 marching 的距離，有效減少 marching 次數的同時，大幅提升了每次 marching 的消耗，效果不理想，并且在有棱角的場景表現更差
https://diglib.eg.org/bitstream/handle/10.1111/cgf13951/v39i2pp545-554.pdf
GitHub - aparis69/Segment-Tracing: Source code for the Computer Graphics Forum paper: Segment Tracing Using Local Lipschitz Bounds. Presented at Eurographics 2020.
【光線追蹤】Segment Tracing:一種可能加速距離場求交的實時光線追蹤方案 - 知乎 (zhihu.com)
Enhanced Sphere Tracing 采用激進的 marching 步長，即設定一個步長倍數\(\alpha\) ，marching 步長改為 \(f(p_n) * \alpha\) 而不是 Sphere Tracing 保守的 \(f(p_n)\) 。只要兩個 sphere 相交，就說明本次 marching 可安全，否則退回到點 \(p_n\) 的位置重新進行保守的 marching。

Accelerating Sphere Tracing 在 enhanced 的基礎上更進一步。假設前兩次 marching 所形成的 sphere 都相切于同一平面，那么下一次可以嘗試 marching 同樣與該平面相切并且也與上一次的 marching sphere 相切的距離。同樣，如果嘗試失敗則回退至保守 marching。

上述兩個方法都是在2023年以前最優(yōu)秀的 marching 算法之一，直到 Automatic Step Size Relaxation。

Automatic step size relaxation

Automatic step size relaxation 可以根據歷史 marching 的情況，動態(tài)調整步長：平面多的地方。可以走相切平面的激進步長，而曲面多的地方則調整為走更保守的步長。

每次 marching 不斷更新近似斜率?m，然后用它來指導下一次 marching。

博主拙劣的C++實現

auto trace_auto_relaxation = [&](glm::vec3 p)
{
	float t = 0.0f;
	float r = sdf(p);
	float m = -1.0f;
	float z = r;
	const float beta = 0.3f;

	for (int i = 0; i < max_steps; i++)
	{
		if (r < eps) {
			return true;
		}
		if (t + r > max_dist) {
			break;
		}

		glm::vec3 next_p = p + ray_dir * z * relaxation_factor;
		float R = sdf(next_p);
		bool doBackStep = z > abs(R) + r;

		if (!doBackStep) {
			float M = (R - r) / (z + 1e-5f);
			m = (1.0f - beta) * m + beta * M;
			t += z * relaxation_factor;
			p = next_p;
			r = R;
		}
		else {
			m = -1.0f;
		}

		float omega = glm::max(1.0f, 2.0f / (1.0f - m));
		z = glm::max(eps, r * omega);
	}
	return false;
};

But

講完了嗎？講完我要開始轉了。
上述的所有方法，對 TPMS（Triply Periodic Minimal Surfaces 三周期極小曲面），都起不到多少作用。目前效果最好的辦法只能是力大磚飛——marching 步長乘以系數 \(\alpha ,\alpha < 1\) ，以非常保守的步長去小心翼翼的找TPMS表面。也是博主目前最頭疼的問題，歡迎討論。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Implicit隐式渲染入门 SDF SphereTracing的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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