線段樹(shù)基本概念

????線段樹(shù)/區(qū)間樹(shù)是一種非常常用的對(duì)區(qū)間數(shù)據(jù)進(jìn)行操作的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。?
????線段樹(shù)是一棵二叉樹(shù)（但不一定是完全二叉樹(shù)！），它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)均代表一個(gè)區(qū)間，且父節(jié)點(diǎn)代表的區(qū)間為左右子節(jié)點(diǎn)代表的區(qū)間之和。特別的，根節(jié)點(diǎn)代表的區(qū)間為所有節(jié)點(diǎn)代表區(qū)間之和，各個(gè)葉節(jié)點(diǎn)代表區(qū)間為單個(gè)點(diǎn)（即長(zhǎng)度為1的區(qū)間）。

線段樹(shù)結(jié)構(gòu)

????樹(shù)中的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)表示了一個(gè)區(qū)間[a,b]。 a,b通常是整數(shù)。每一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)表示了一個(gè)單位區(qū)間(長(zhǎng)度為1)。對(duì)于每一個(gè)非葉結(jié)點(diǎn)所表示的結(jié)點(diǎn)[a,b]，其左兒子表示的區(qū)間為[a,(a+b)/2]，右兒子表示的區(qū)間為[(a+b)/2+1,b](除法去尾取整）。?
????如下圖為區(qū)間[1, 9]的線段樹(shù)：?

線段樹(shù)和區(qū)間

????要用線段樹(shù)解決區(qū)間問(wèn)題，首先需要將區(qū)間對(duì)應(yīng)到線段樹(shù)的節(jié)點(diǎn)上。這就需要進(jìn)行在線段樹(shù)上進(jìn)行區(qū)間分解。?
（1）如果有某個(gè)節(jié)點(diǎn)代表的區(qū)間完全屬于待分解區(qū)間，則該節(jié)點(diǎn)為“終止”節(jié)點(diǎn)，不再繼續(xù)向下分解；?
（2）所有“終止”節(jié)點(diǎn)所代表的區(qū)間都不重疊，且加在一起就恰好等于整個(gè)待分解區(qū)間；?
（3）區(qū)間分解時(shí)，每層最多2個(gè)“終止”節(jié)點(diǎn)，所以“終止”節(jié)點(diǎn)的總數(shù)也是 log(n)量級(jí)的

線段樹(shù)性質(zhì)

線段樹(shù)為二分構(gòu)造，若根節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)區(qū)間為[a,b]，則其深度為?log2(b?a+1)(向上取整）。這樣在進(jìn)行更新查詢操作的時(shí)候，操作的復(fù)雜度就可以為log(n)量級(jí)

葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)目和根節(jié)點(diǎn)表示的區(qū)間長(zhǎng)度相同

若葉子節(jié)點(diǎn)的數(shù)目為N，則線段樹(shù)的總節(jié)點(diǎn)數(shù)目為2*N-1。因?yàn)榫€段樹(shù)的節(jié)點(diǎn)要么是0度，要么為2度，根據(jù)二叉樹(shù)的性質(zhì)可知。

若葉子節(jié)點(diǎn)為N，要想用連續(xù)的數(shù)組表示一棵線段樹(shù)，則數(shù)組的大小應(yīng)該為4N。?
???因?yàn)?#xff0c;根據(jù)性質(zhì)3，線段樹(shù)總節(jié)點(diǎn)數(shù)目為2*N-1，又由于線段樹(shù)不是完全二叉樹(shù)，因此其最低的葉子一層并不是緊靠最左邊，這樣在其倒數(shù)第二層上的索引號(hào)接近2N的位置，按照2*index+1和2*index+2的方式來(lái)訪問(wèn)其左右子節(jié)點(diǎn)，這就導(dǎo)致整個(gè)數(shù)組的大小要約為 4*N.

線段樹(shù)上，任何一個(gè)區(qū)間被分解后得到的“終止”節(jié)點(diǎn)的數(shù)目都是log(n)量級(jí)。?
?????因?yàn)槊恳粚幼疃嘤袃蓚€(gè)“終止”節(jié)點(diǎn)，共log(n)層，這樣在線段樹(shù)上進(jìn)行更新葉子節(jié)點(diǎn)和進(jìn)行區(qū)間分解的時(shí)間復(fù)雜度都是O(logn).

線段樹(shù)操作的基本類型

（1）單點(diǎn)更新?
????每次對(duì)區(qū)間內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行更新，更新操作需要遞歸到葉節(jié)點(diǎn)進(jìn)行操作。在向下遞歸的過(guò)程中，沿途經(jīng)過(guò)的所有節(jié)點(diǎn)都要進(jìn)行修改。?
（2）成段更新?
????簡(jiǎn)單的說(shuō)明：成段更新需要用到延遲標(biāo)記（或者說(shuō)懶惰標(biāo)記），簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是每次更新的時(shí)候 不要更新到底，用延遲標(biāo)記使得更新延遲到下次需要更新or詢問(wèn)到的時(shí)候。 延遲標(biāo)記的意思是：這個(gè)區(qū)間的左右兒子都需要被更新，但是當(dāng)前區(qū)間已經(jīng)更新了。?
（3）區(qū)間合并?
????區(qū)間合并是在線段樹(shù)查詢的時(shí)候，對(duì)當(dāng)前區(qū)間的左右兒子進(jìn)行合并。?
（4）掃描線

線段樹(shù)解題的一般規(guī)律

首先要確定是一個(gè)區(qū)間的問(wèn)題，如果不是明顯的區(qū)間，看是否能轉(zhuǎn)化為區(qū)間。例如?poj_3321的解答

要想清楚每個(gè)節(jié)點(diǎn)要存放哪些信息（當(dāng)然，區(qū)間的起始和終止節(jié)點(diǎn)，以及左右子節(jié)點(diǎn)指針是必須的）

更新的時(shí)候，看是否能夠lazy更新，即不要一下就更新到葉子節(jié)點(diǎn)，這樣會(huì)導(dǎo)致更新效率降低

先建樹(shù)，然后插入數(shù)據(jù)，再更新/查詢

其他

????有幾篇總結(jié)很好的博客，便于查找，列在下面：?
線段樹(shù)總結(jié)1?
線段樹(shù)總結(jié)2

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/gtarcoder/p/4786734.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线段树小结的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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