題目描述：對于序列$A$，它的逆序?qū)?shù)定義為滿足$i<j$，且$A_i>A_j$的數(shù)對$(i,j)$的個數(shù)。給1到n的一個排列，按照某種順序依次刪除m個元素，你的任務是在每次刪除一個元素之前統(tǒng)計整個序列的逆序?qū)?shù)。

　　輸入格式：輸入第一行包含兩個整數(shù)$nm$和$mn$，即初始元素的個數(shù)和刪除的元素個數(shù)。以下$n$行每行包含一個$1$到$n$之間的正整數(shù)，即初始排列。以下$m$行每行一個正整數(shù)，依次為每次刪除的元素。$N\le100000 ，M\le50000。$

　　輸出格式：輸出包含$m$行，依次為刪除每個元素之前，逆序?qū)Φ膫€數(shù)。

　　思路：首先我們對于這個問題可以轉(zhuǎn)化為二維數(shù)點問題，我們將每一個數(shù)字的編號作為橫坐標，數(shù)字本身作為縱坐標標記在平面直角坐標系里，這樣我們就可以將每一個點所包含的逆序?qū)?shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)點問題。例如：3 4 2 1 5，這個序列被轉(zhuǎn)化為圖形之后就是下圖的樣子：

　　我們發(fā)現(xiàn)上面的有一個規(guī)律，對于第三個位置上的二，共參與了三個逆序?qū)Α７謩e為第一個數(shù)字，第二個數(shù)字和第四個數(shù)字。這三個數(shù)字對于第三個數(shù)字來說都有一個共同的性質(zhì)，他們都在三號點的左上方和右下方，由于本題是$n$的全排列，且所有數(shù)字的編號都不能超過$n$，所以對于當前狀態(tài)下的數(shù)列中的$i$號點來說他參與的逆序?qū)倲?shù)，就是由$(0，A_i)$和$(i，n)$圍成的矩形中的點數(shù)加上由$(i，0)$和$(n，A_i)$圍成的矩形中的點數(shù)。這樣我們就能統(tǒng)計出來每一個點當前參與的逆序?qū)?shù)，對于當前刪點后的答案，就是上一個狀態(tài)減去當前點所參與的逆序?qū)?shù)。

　　對于刪除操作來說，我們只需要進行賦值就可以了。開始的時候我們將所有的點都賦值成為1，刪除的時候就是將當前的賦值成為0。這樣矩形內(nèi)數(shù)點就是矩形內(nèi)統(tǒng)計權值和，這樣我們就完成了問題的轉(zhuǎn)化。顯然轉(zhuǎn)化成為的問題可以運用$KDtree$來完成，下面講解一下$cdq$做法。

　　對于對點賦值，我們可以轉(zhuǎn)化為對點加值，及加上$\Delta$。我們定義兩種操作，$oper=1$的操作中有三個值$x，y，z$，表示將位置為$(x，y)$的點的權值加上$z$。$oper=2$的操作中有四個值$x，y，z，id$，表示統(tǒng)計由$(0，0)$和$(x，y)$圍成的矩形中的權值和，并將這個權值和乘上系數(shù)$z$加到編號為$id$的答案數(shù)組上。對于每一個操作我們都加上一個參數(shù)$ord$，表示這個操作的添加順序。（注：對于每一個矩形的詢問操作，我們都能轉(zhuǎn)化為$oper=2$的加減，運用容斥，即可。）

　　我們將這些操作進行排序，第一關鍵字是$x$，第二關鍵字是$y$。然后就是$solve$。因為更改操作會影響到查詢操作，所以$ord$小的點會影響到$ord$大的點，這樣的話我們的分治區(qū)間就是操作的$ord$編號。我們將$ord$小的點放在左面，$ord$大的放在右面，并且我們不要更改在$solve$之前排序后的相對位置，這樣我們的左右區(qū)間內(nèi)依舊保證最開始的相對順序。

　　我們在分劃之后就可以遞歸了，我們先遞歸左區(qū)間，在遞歸完成之后我們就要處理左區(qū)間對于右區(qū)間的影響，影響主要在于左區(qū)間的修改和右區(qū)間的查詢。因為我們的左右區(qū)間在劃分之前是按照最開始的關鍵字進行的排序，并且最開始的排序方式我們可以用樹狀數(shù)組進行統(tǒng)計答案，但是后來劃分的順序不能，所以本題的步驟順序有所改變，即先統(tǒng)計左區(qū)間對于右區(qū)間的影響，后進行左右兩個區(qū)間的遞歸處理。

　　下面是代碼：可以結(jié)合代碼和上面的描述進行理解。

　　2) 陌上花開

　　題目描述：有n朵花,每朵花有三個屬性：花形$(s)$、顏色$(c)$、氣味$(m)$，用三個整數(shù)表示。現(xiàn)在要對每朵花評級，一朵花的級別是它擁有的美麗能超過的花的數(shù)量。定義一朵花A比另一朵花B要美麗，當且僅當$S_a\ge S_b$,$C_a\ge C_b$,$M_a\ge M_b$。顯然,兩朵花可能有同樣的屬性。現(xiàn)在需要統(tǒng)計出評出每個等級的花的數(shù)量。

　　輸入格式：第一行為$N,K (1 \le N \le 100,000, 1 \le K \le 200,000 )$， 分別表示花的數(shù)量和最大屬性值。以下$N$行，每行三個整數(shù)$s_i, c_i, m_i (1 \le s_i, c_i, m_i \le K)$，表示第$i$朵花的屬性。

　　輸出格式：包含$N$行，分別表示評級為$ 0 … N-1 $的每級花的數(shù)量。

　　思路：首先這道題就是三維偏序的題，我們考慮將每一朵花的三個屬性作為三維坐標的第一位，第二維，第三維。例如：1朵花屬性分別為：$(3,3,3)$就可以變成下面的樣子。

　　顯然滿足花$A$比花$B$美麗的條件是在轉(zhuǎn)化完圖形之后點$B$要在點$A$和原點圍成的三維圖形里面。這個問題顯然能用$KDtree$來解決。下面來講解cdq的做法。

　　因為這些花之間只有這三個性質(zhì)來要求，所以我們就沒有必要來按照讀入順序來處理。我們將第一個屬性作為第一關鍵字，第二個屬性作為第二個關鍵字，第三個屬性作為第三個關鍵字進行排序。排序之后相同的花就在一起了，這時我們進行去重，由于我們按照第一關鍵字已經(jīng)排序了，所以是不是就轉(zhuǎn)化成為上面那道題的思路了？只是查詢沒有那么毒瘤而已。

　　上面兩到例題都是數(shù)點問題，同樣的類型題還有：bzoj1935[Shoi2007]Tree園丁的煩惱、bzoj2683簡單題、bzoj1176[Balkan2007]Mokia。

　　3)?[NOI2007]貨幣兌換Cash

　　思路：首先，我們能想到這道題是一道$dp$題目，我們設$f[i]$表示第$i$天能得到的最大收益，這個最大收益也包括第$i$天不進行操作的情況下的收益，設$X[i]$表示第$i$天將所有的現(xiàn)金都兌換成為金券后能拿到的$A$券數(shù)，$Y[i]$同理。這是我們發(fā)現(xiàn)一個轉(zhuǎn)移式子：$f[i]=Max\{f[i-1],A[i]\times X[j]+B[i]\times Y[j]\}\ (1\le j \le i-1)$。我們發(fā)現(xiàn)這個式子能寫成斜率優(yōu)化的樣子：$Y[j]=-\frac{A[i]}{B[i]}\times X[j]+\frac{f[i]}{B[i]}$。我們考慮一下能否運用斜率優(yōu)化，好像可以，對于每一個點的斜率$k$為$-\frac{A[i]}{B[i]}$，橫坐標為$X[i]$，縱坐標為$Y[i]$。但是就是有兩個不太好的情況，就是每一點的$x$坐標與斜率$k$都不單調(diào)，這個怎么辦？顯然用平衡樹維護凸包就好了。我們考慮一下不用平衡樹能否實現(xiàn)，我們考慮$cdq$。

　　因為正常的要求最大值的斜率優(yōu)化都是橫坐標單調(diào)遞增，斜率單調(diào)遞減，所以我們考慮排序。因為每一個點的斜率都是不變的，即輸入之后就是定下來的，所以我們可以將這些所有的點都按照斜率遞減排序，但是這樣就不是按照天數(shù)遞增的順序了，所以我們就不能直接運用排序后的順序來處理這些點。我們將天數(shù)進行分治，這樣的話我們每一個點就需要再存一個參數(shù)，即天數(shù)的編號。

　　因為這是$dp$，所以我們在遞歸左區(qū)間之后顯然要先處理影響，再遞歸右區(qū)間。現(xiàn)在考慮怎么處理影響。

　　因為我們每一次處理影響之前都已經(jīng)處理好左區(qū)間了，所以我們現(xiàn)在可以不用理會左區(qū)間的具體順序了，這樣的話我們就能對其進行任意順序的處理，我們可以將左區(qū)間的這些點按照橫坐標排序，這樣我們就能夠達到上面所提出的目的，也就是把點按照順序插入到凸包里面。因為我們是用左區(qū)間來更新右區(qū)間，所以我們不用去管右區(qū)間，并且因為右區(qū)間的斜率是單調(diào)遞減的，所以我們可以按照右區(qū)間原本的順序來進行更新。

　　我們在遞歸出口的地方不能就是直接$return$，我們需要做一些小小的處理，因為我們在$return $之前這個點一定已經(jīng)做完前面的點的所有更新了，但是沒有進行不作處理的更新，所以$f[i]=Max\{f[i],f[i-1]\}$。至此搜有的更新都完成了，這是就可以了處理當前點的橫縱坐標。因為必然存在一種最優(yōu)的買賣方案滿足：每次買進操作使用完所有的人民幣；每次賣出操作賣出所有的金券，所以當前點的橫縱坐標就是$X[i]=\frac{f[i]}{A[i]*Rate[i]+B[i]}\times A[i]$，$Y[i]=\frac{f[i]}{A[i]*Rate[i]+B[i]}$。

　　對于橫坐標排序，我們顯然沒有必要每一次都用$sort$，我們運用歸并排序的思想，直接排序即可，時間復雜度會降下$O(log_n)$。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/yangsongyi/p/10252352.html

總結(jié)

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