循環群的子群是循環群.
證明：$m$階循環群都與$(\mathbb{Z}_m,+)(m\geq 1)$同構，無限階循環群都與$(\mathbb{Z},+)$同構，所以我們只要討論$(\mathbb{Z}_m,+)$和$(\mathbb{Z},+)$就足夠了.


對于$(\mathbb{Z}_m,+)$來說，當$m=1$時，$(\mathbb{Z}_m,+)=(0,+)$,其子群就是$(\{0\},+)$,當然是循環群.當$m>1$時，設該循環群的某一子群$H$有$k$個元素，分別為$a_{1}^{(1)},\cdots,a_{k}^{(1)}$.從這$k$個元素里取出兩個相鄰元素$a_i^{(1)},a_{i+1}^{(1)}$，求它們的最大公因數$a_i^{(2)}$,得到$k-1$個最大公因數$a_1^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(2)}$.我們有$\forall 1\leq i\leq k-1,a_i^{(2)}\in H$.這是因為根據貝祖定理，$\exists x,y\in \mathbb{Z}$,使得$xa_i^{(1)}+ya_{i+1}^{(1)}=a_i^{(2)}$.


然后我們把$a_1^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(2)}$進行與$a_{1}^{(1)},\cdots,a_{k}^{(1)}$同樣的處理，得到$a_1^{(3)},\cdots,a_{k-2}^{(3)}$.這樣子一直做下去,最終我們會得到一個$a_1^{(k)}$.$H$是由$a_1^{(k)}$生成的循環群(為什么?).


對于$(\mathbb{Z},+)$來說，論證和$(\mathbb{Z}_m,+)$類似.若$(\mathbb{Z},+)$的子群是$(\{0\},+)$,則顯然這個子群是循環群.若這個子群里的元素多于一個，則該子群顯然是無限群.把子群里的元素按從小到大排列$a_{1}^{(1)},\cdots,a_{k}^{(1)},\cdots$取相鄰兩個數的最大公約數，我們得到另一無限數列$a_{1}^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(2)}\cdots$這樣子一直進行下去.我們知道，$a_{1}^{(2)}\geq \cdots\geq a_{1}^{(t)}\geq \cdots>0$

則容易得到$a_{1}^{(1)}, a_{1}^{(2)}, \cdots, a_{1}^{(t)} \cdots$這個無限數列中，必定只有有限個數不同,除了這有限個不同的數外，其余的數都相同(為什么?).那么，我們容易得到，所有的數其實都是某一個數的倍數.這個數就是$H$的生成元(為什么?)，所以$H$是循環群. 注:以上命題證明了elementary methods in number theory 中的如下命題:

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/25/3828090.html

總結

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