循環(huán)群的子群是循環(huán)群.
證明：$m$階循環(huán)群都與$(\mathbb{Z}_m,+)(m\geq 1)$同構(gòu)，無(wú)限階循環(huán)群都與$(\mathbb{Z},+)$同構(gòu)，所以我們只要討論$(\mathbb{Z}_m,+)$和$(\mathbb{Z},+)$就足夠了.


對(duì)于$(\mathbb{Z}_m,+)$來(lái)說(shuō)，當(dāng)$m=1$時(shí)，$(\mathbb{Z}_m,+)=(0,+)$,其子群就是$(\{0\},+)$,當(dāng)然是循環(huán)群.當(dāng)$m>1$時(shí)，設(shè)該循環(huán)群的某一子群$H$有$k$個(gè)元素，分別為$a_{1}^{(1)},\cdots,a_{k}^{(1)}$.從這$k$個(gè)元素里取出兩個(gè)相鄰元素$a_i^{(1)},a_{i+1}^{(1)}$，求它們的最大公因數(shù)$a_i^{(2)}$,得到$k-1$個(gè)最大公因數(shù)$a_1^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(2)}$.我們有$\forall 1\leq i\leq k-1,a_i^{(2)}\in H$.這是因?yàn)楦鶕?jù)貝祖定理，$\exists x,y\in \mathbb{Z}$,使得$xa_i^{(1)}+ya_{i+1}^{(1)}=a_i^{(2)}$.


然后我們把$a_1^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(2)}$進(jìn)行與$a_{1}^{(1)},\cdots,a_{k}^{(1)}$同樣的處理，得到$a_1^{(3)},\cdots,a_{k-2}^{(3)}$.這樣子一直做下去,最終我們會(huì)得到一個(gè)$a_1^{(k)}$.$H$是由$a_1^{(k)}$生成的循環(huán)群(為什么?).


對(duì)于$(\mathbb{Z},+)$來(lái)說(shuō)，論證和$(\mathbb{Z}_m,+)$類似.若$(\mathbb{Z},+)$的子群是$(\{0\},+)$,則顯然這個(gè)子群是循環(huán)群.若這個(gè)子群里的元素多于一個(gè)，則該子群顯然是無(wú)限群.把子群里的元素按從小到大排列$a_{1}^{(1)},\cdots,a_{k}^{(1)},\cdots$取相鄰兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，我們得到另一無(wú)限數(shù)列$a_{1}^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(2)}\cdots$這樣子一直進(jìn)行下去.我們知道，$a_{1}^{(2)}\geq \cdots\geq a_{1}^{(t)}\geq \cdots>0$

則容易得到$a_{1}^{(1)}, a_{1}^{(2)}, \cdots, a_{1}^{(t)} \cdots$這個(gè)無(wú)限數(shù)列中，必定只有有限個(gè)數(shù)不同,除了這有限個(gè)不同的數(shù)外，其余的數(shù)都相同(為什么?).那么，我們?nèi)菀椎玫?#xff0c;所有的數(shù)其實(shí)都是某一個(gè)數(shù)的倍數(shù).這個(gè)數(shù)就是$H$的生成元(為什么?)，所以$H$是循環(huán)群. 注:以上命題證明了elementary methods in number theory 中的如下命題:

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/25/3828090.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的循环群的子群是循环群的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。