題目：輸入一個(gè)整數(shù) n ，求從 1 到 n 這 n 個(gè)整數(shù)的十進(jìn)制表示中 1 出現(xiàn)的次數(shù)。例如輸入 12 ，從 1 到 12 這些整數(shù)中包含 1 的數(shù)字有 1 ， 10 ， 11 和 12 ，1 一共出現(xiàn)了5 次。

分析：

???????? 我們?cè)龅竭^(guò)求給定數(shù)num的二進(jìn)制表示中1出現(xiàn)的次數(shù)，但此題是求十進(jìn)制數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)。簡(jiǎn)單的來(lái)想，可以用除法、取余來(lái)求的一個(gè)數(shù)中1的個(gè)數(shù)，然后再?gòu)?到n循環(huán)即可解決。但當(dāng)n比較大時(shí)，速度會(huì)比較慢。我們現(xiàn)在來(lái)嘗試從另一種思路來(lái)尋求一種更高效的方法。

??????? 我們可以換一種思路，分別求每位出現(xiàn)1的次數(shù)，然后再將每位出現(xiàn)1的次數(shù)相加即是所求。 不妨假設(shè)要求的數(shù)是abcde(a>0)，一般地，我們求第3位，也就是百位數(shù)字出現(xiàn)1的次數(shù)，可分為如下三種情況：

????????? (1)，當(dāng)c=0 時(shí)，則該位出現(xiàn)1的數(shù)分析如下：

????????? 00100--00199

????????? 01100--01199

????????? 02100--02199

????????? ……

???????? 0b100--0b199

???????? 上面一共是b*100，對(duì)于a，我們進(jìn)行類似的分析，從0b200到0(b+1)099的數(shù)字中，百位數(shù)字是不會(huì)出現(xiàn)1的：

???????? 0(b+1)100--0(b+1)199

???????? 0(b+2)100--0(b+2)199

???????? ……

???????? 0(b+9)100--0(b+9)199

???????? 0(b+10)100--0(b+10)199即1b199

?????? 從0b200到1b199，共有10*(b*100)個(gè)百位數(shù)字為1的數(shù)字。那么類似的可以知道，從1b200到2b199同樣有10*b*100個(gè)百位數(shù)字為1的數(shù)字。依次類推，從2b200到3b199，……，(a-2)b200到(a-1)b199，由于c=0，因此百位出現(xiàn)1的最大的數(shù)字應(yīng)該為a(b-1)199；那么一共有多少個(gè)這樣的數(shù)據(jù)段呢？應(yīng)該比較容易看出來(lái)，一共有a個(gè)。由此可以看出當(dāng)c=0時(shí)，低位數(shù)字是不影響本位數(shù)字為1的數(shù)字的個(gè)數(shù)的。

由以上分析可知，百位數(shù)字為1的數(shù)字共有a*10*100+b*100=ab*100個(gè)；

??????? (2)，當(dāng)c=1時(shí)，則該位出現(xiàn)1的數(shù)分析如下：

???????? 在(1)情況分析的基礎(chǔ)上，因?yàn)閏=1，所以從a(b-1)200到ab1de中，仍有百位數(shù)字為1的數(shù)字存在，且比較容易知道一共有de+1個(gè)：即從ab100一直到ab1de，由此可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)低位數(shù)字影響了本位數(shù)字為1的數(shù)字的個(gè)數(shù)。

??????? 所以，此種情況，百位數(shù)字為1的數(shù)字共有：ab*100+de+1

??????? (3)，當(dāng)c>1時(shí)，則該位出現(xiàn)1的數(shù)分析如下：

???????? 仍然在(1)分析的基礎(chǔ)上，因?yàn)閏>1，所以從a(b-1)200到ab199（因?yàn)閏>1，所以abcde>ab199，而ab200到abcde中百位數(shù)字是不會(huì)出現(xiàn)1的）中，仍有1*100個(gè)百位數(shù)字為1的數(shù)字，在此情況下，我們同樣可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)低位數(shù)字又不影響本位數(shù)字為1的數(shù)字的個(gè)數(shù)了。

??????? 所以，此種情況，百位數(shù)字為1的數(shù)字共有：ab*100+1*100=(ab+1)*100.

分析到這里，我想就應(yīng)該比較容易寫出程序了吧^_^

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總結(jié)

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