【題目】
原題地址
有一個長度為$n$的排列$a$，給定$l_i$，表示$a_{i?l_i+1}\dots a_i$在排序后公差為$1$，且$l_i$為滿足條件的最小數(shù)字，求方案數(shù)。$n\le 5\times 10^4$

【解題思路】
以下思路來自大佬的博客

神仙題。
很容易證明所有的連續(xù)區(qū)間只能相離或者相互包含，不可能相交。因此只要存在區(qū)間相交或者$L[n]?=n$，就無解。
有解的時候，把每一個點對應的極大連續(xù)區(qū)間向包含它的最小的極大連續(xù)區(qū)間連邊，這顯然是一棵樹。

對于一個根，它代表了一段連續(xù)區(qū)間，而它的每一個兒子都分別代表了一個極大的連續(xù)區(qū)間，那么把每一個兒子代表的區(qū)間縮成一個點，按原相對大小重新編號后不存在除整個區(qū)間以外的連續(xù)區(qū)間。
就相當于求解$1,2,3\dots ,m+1$的方案數(shù)（$m+1$表示兒子的個數(shù)，即區(qū)間長度），記這個值為$f_m$。

設第$i$個點的兒子個數(shù)是$cn{t}_i$，那么答案就是${\prod }_{i=1}^n{f}_{cn{t}_i}$

現(xiàn)在求$f_i$，首先給出一個結(jié)論$f_n=(n?1)f_{n?1}+{\sum }_{i=2}^{n?2}(i?1)f_i{f}_{n?i}$
這個遞推式可以這樣證明：
我們對于一個滿足條件的排列$a$，我們令$b_{a_i}=i$
那么$b$中值$i～j$的下標對應$a_i～a_j$，也就是說$b$中一段連續(xù)區(qū)間，就對應了$a$中一段連續(xù)區(qū)間，說明$b$中不存在不經(jīng)過最大值的連續(xù)區(qū)間。
那么$a$和$b$一一對應，現(xiàn)在轉(zhuǎn)化為求滿足$b$性質(zhì)的方案數(shù)。

考慮從$f_n$轉(zhuǎn)移到$f_{n+1}$

• 從一個合法排列轉(zhuǎn)移到另一個合法排列，假設原排列是$2～n+1$的一個排列，那么插入的$1$只要不與$2$相鄰即可，也就是$(n?1)f_{n?1}$
• 從一個非法排列轉(zhuǎn)移到一個合法排列，原排列必須有且僅有一個極大的不包含最大值的連續(xù)區(qū)間，設長度為$l(2\le l\le n?2)$。
  這個不合法的區(qū)間要在插入一個數(shù)后合法，等價于分成兩部分，左右都不存在連續(xù)區(qū)間的方案數(shù)。也就是一個合法排列去掉最大值后的兩邊，方案數(shù)即為fl。再考慮這段區(qū)間的值域（也就是$[x,x+l?1]$）范圍，$x>2$且$x+l?1<n+1$，就有$n?l?1$個合法值域。其它部分為$f_{n?l}$

于是
$$f_n=(n?1)f_{n?1}+\sum _{i=2}^{n?2}(n?i?1)f_i{f}_{n?i}$$
$$=(n?1)f_{n?1}+\sum _{i=1}^{n?2}(i?1)f_i{f}_{n?i}$$

可以用分治$+FFT$得到$f$數(shù)組，用單調(diào)棧處理出$cnt$數(shù)組。

【參考代碼】

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long ll; const int mod=998244353,g=3,N=166666; int T,n,top,ans,cnt,flag; int f[N],l[N],a[N],b[N],q[N];int read() {int ret=0;char c=getchar();while(!isdigit(c)) c=getchar();while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();return ret; }int qpow(int x,int y) {int ret=1;for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;return ret; } void up(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;} int upm(int x){if(x>=mod)x-=mod;return x;}namespace NTT {int L,m;int rev[N],tmp1[N],tmp2[N];void ntt(int *a,int n,int f){for(int i=0;i<n;++i) if(i>rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int i=1;i<n;i<<=1){int wn=qpow(g,(mod-1)/(i<<1));if(f==-1) wn=qpow(wn,mod-2);for(int j=0;j<n;j+=i<<1){int w=1;for(int k=0;k<i;++k,w=(ll)w*wn%mod){int x=a[j+k],y=(ll)w*a[i+j+k]%mod;a[j+k]=upm(x+y);a[i+j+k]=upm(x-y+mod);}}}int inv=qpow(n,mod-2);if(f==-1) for(int i=0;i<n;++i) a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;}void mul(int *a,int *b,int *c,int l1,int l2){for(L=0,m=1;m<=l1+l2;m<<=1) ++L;for(int i=0;i<m;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));for(int i=0;i<l1;++i) tmp1[i]=a[i];for(int i=l1;i<m;++i) tmp1[i]=0;for(int i=0;i<l2;++i) tmp2[i]=b[i];for(int i=l2;i<m;++i) tmp2[i]=0;ntt(tmp1,m,1);ntt(tmp2,m,1);for(int i=0;i<m;++i) c[i]=(ll)tmp1[i]*tmp2[i]%mod;ntt(c,m,-1);} }; using NTT::mul;void cdq(int l,int r) {if(l==r){up(f[l],(ll)f[l-1]*(l-1)%mod);return;}int mid=(l+r)>>1;cdq(l,mid);for(int i=l;i<=mid;++i)a[i-l]=(ll)f[i]*(i-1)%mod,b[i-l]=f[i];mul(a,b,a,mid-l+1,mid-l+1);for(int i=max(l<<1,mid+1);i<=r;++i) up(f[i],a[i-(l<<1)]);if(l^2){for(int i=2;i<=min(l-1,r-l);++i) a[i-2]=f[i];for(int i=l;i<=mid;++i) b[i-l]=f[i];mul(a,b,a,min(l-1,r-l)-1,mid-l+1);for(int i=max(l+2,mid+1);i<=r;++i) up(f[i],(ll)a[i-l-2]*(i-2)%mod);}cdq(mid+1,r); }int main() { #ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("LGP4566.in","r",stdin);freopen("LGP4566.out","w",stdout); #endifT=read();n=read();f[0]=1;f[1]=2;cdq(2,n-1);while(T--){ans=1;top=0;for(int i=1;i<=n;++i) l[i]=read();if(l[n]^n){puts("0");continue;}for(int i=1;i<=n;++i){cnt=flag=0;while(top && i-l[i]+1<=q[top]){if(i-l[i]+1>q[top]-l[q[top]]+1){flag=1;break;}--top;++cnt;}if(flag) break;q[++top]=i;ans=(ll)ans*f[cnt]%mod;}if(flag) puts("0"); else printf("%d\n",ans);}return 0; }

【總結(jié)】
分治$FFT$的過程忘了，還是看了別人的代碼才搞清楚的。
巨菜無比。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【CDQ分治+FFT】LGP4566 [CTSC2018]青蕈领主的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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