簡(jiǎn)介

威佐夫博弈($WythoffGame$)：有兩堆物品個(gè)數(shù)是$n$和$m$，甲乙兩個(gè)人輪流從一堆選取$k$個(gè)物品或兩堆中選取各選取$k$個(gè)物品，最后取完物品的人獲勝。

思路

兩堆物品數(shù)用$(n,m)$表示，滿足$n\le m$，如果$n>m$則交換$n$與$m$。

現(xiàn)考慮各種狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)先手必輸態(tài)如下：

當(dāng)$n=0$時(shí)，

$(0,0)$沒(méi)有物品甲必?cái)?

$(0,m=0)$有物品甲必勝。

當(dāng)$n=1$時(shí)，

$(1,2)$會(huì)變成乙選$(0,1)$,$(0,2)$或$(1,1)$，甲必?cái)?

$(1,m=2)$有物品甲必勝利。

當(dāng)$n=2$時(shí)，

$(2,m)$變成乙選$(0,2)$或$(1,2)$，甲必勝。

當(dāng)$n=3$時(shí)，

$(3,5)$甲必?cái)?#xff0c;

$(3,m=5)$甲必勝。

進(jìn)一步推算可以發(fā)現(xiàn)所有的先手必?cái)【譃?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$(0,0)$,$(1,2)$,$(3,5)$,$(4,7)$,$(6,10)\dots$

這種先手必?cái)【纸凶銎娈惥謩?shì)，可以發(fā)現(xiàn)第$k$項(xiàng)的$n$是前$k?1$項(xiàng)中未出現(xiàn)的最小正整數(shù)$i$，而$m=i+k$。

每個(gè)人要想獲勝就是盡量使對(duì)方變成奇異局勢(shì)。

根據(jù)相關(guān)資料可以得知第$k$項(xiàng)奇異局勢(shì)的$n_k=\frac{k(\sqrt{(}5)+1)}{2},m_k=n_k+k$。

bool Wythoff(int n,int m){//判斷先手且為n,m時(shí)是否取勝 if(n>m) return Wythoff(m,n);//保證n<=m int k=m-n;//計(jì)算出項(xiàng)數(shù)k int _n=k*(sqrt(5)+1)/2.0;//計(jì)算出必?cái)r(shí)的n return n!=_n;//判斷是否必?cái)? }

例題

hdu1527

題目描述

有兩堆石子，數(shù)量任意，可以不同。游戲開(kāi)始由兩個(gè)人輪流取石子。游戲規(guī)定，每次有兩種不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在兩堆中同時(shí)取走相同數(shù)量的石子。最后把石子全部取完者為勝者。現(xiàn)在給出初始的兩堆石子的數(shù)目，如果輪到你先取，假設(shè)雙方都采取最好的策略，問(wèn)最后你是勝者還是敗者。

輸入

輸入包含若干行，表示若干種石子的初始情況，其中每一行包含兩個(gè)非負(fù)整數(shù)a和b，表示兩堆石子的數(shù)目，a和b都不大于1,000,000,000。

輸出

輸出對(duì)應(yīng)也有若干行，每行包含一個(gè)數(shù)字1或0，如果最后你是勝者，則為1，反之，則為0。

樣例輸入

2 1 8 4 4 7

樣例輸出

0 1 0

參考代碼

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; bool Wythoff(int n,int m){//判斷先手且為n,m時(shí)是否取勝 if(n>m) return Wythoff(m,n);//保證n<=m int k=m-n;//計(jì)算出項(xiàng)數(shù)k int _n=k*(sqrt(5)+1)/2.0;//計(jì)算出必?cái)r(shí)的n return n!=_n;//判斷是否必?cái)? } int main(){int n,m;while(cin>>n>>m){cout<<Wythoff(n,m)<<endl;}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【博弈论】威佐夫博弈的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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