標準差

• 標準差(Standard Deviation)是離均值平方的算術平均數的平方根，用符號$\sigma$ 表示，其實標準差就是方差的算術平方根
• 標準差和方差都是測量離散趨勢的最重要、最常見的指標。
• 標準差和方差的不同點自傲與，標準差和變量的計算單位是相同的，比方差清楚，因此在很多分析的時候使用的是標準差
• $\sigma =\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{\sum (X?\mu {)}^2}{N}}$

標準差的計算

• 有這樣兩組數據
  • 一組：
    • $X_1:2,4,6,8,10$
    • $P(X_1):0.2,0.2,0.2,0.2,0.2$
    • $D(X_1)=8,{\sigma }_1=\sqrt{D(X_1)}=\sqrt{8}=2.8284$
  • 二組：
    • $X_1:4,5,6,7,8$
    • $P(X_2):0.2,0.2,0.2,0.2,0.2$
    • $D(X_2)=2,{\sigma }_2=\sqrt{D(X_2)}=\sqrt{2}=1.4142$

例1

• 有甲乙兩個單位愿意聘用你，而你能夠獲得的信息如下，請根據工資待遇的差異情況，您選擇哪家單位？為什么?
• 甲單位
  • 甲單位不同職位與工資$X_1$元: 1200, 1400, 1600, 1800
  • 獲取該職位的概率$P_1$: 0.4, 0.3, 0.2, 0.1
  • $E(X_1)=1400,D(X_1)=40000$
• 乙單位
  • 一單位不同職位月工資$X_2$元: 1000, 1400, 1800, 2200
  • 獲取該職位的概率$P_2$: 0.4, 0.3, 0.2, 0.1
  • $E(X_2)=1400,D(X_2)=160000$

例2

• 已知隨機變量X的分布列如下，分別求的值
• X:-2, 1, 3
• P:0.16, 0.44, 0.40
• 分析
  • $E(X)=?2?0.16+1?0.44+3?0.40=1.32$
  • $E(2X+5)=2E(X)+5=2?1.32+5$
  • $D(X)=E(X^2)?(E(X){)}^2=(?2{)}^2?0.16+1^2?0.44+3^2?0.40?1.32^2=2.9376$
  • $\sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{2.9376}\approx 1.7139$

協方差

• 協方差常用于衡量兩個變量的總體誤差；當兩個變量相同的情況下，協方差其實就是方差
• 如果X和Y是統計獨立的，那么二值之間的協方差為零。但是如果協方差為零，那么X和Y是不相關的
• $Cov(X,Y)=E[(X?E(X))?(Y?E(Y))]=E[XY?XE(Y)?YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)?E(X)E(Y)$
• 假設C為一個常數，X和Y是兩個隨機變量，那么協方差有性質如下所示：
  • $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
  • $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$
  • $Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
• 協方差是兩個隨機變量具有相同方向變化趨勢的度量
  • (1). 若$Cov(X,Y)>0$, 則X和Y的變化趨勢相同
  • (2). 若$Cov(X,Y)<0$, 則X和Y的變化趨勢相反
  • (3). 若$Cov(X,Y)=0$, 則X和Y不相關，也就是變化沒有什么相關性

協方差矩陣

• 對于n個隨機向量$(X_1,X_2,X_3,...,X_n)$, 任意兩個元素$X_i$和$X_j$都可以得到一個協方差，從而形成一個$n?n$的矩陣，該矩陣就叫做協方差矩陣，協方差矩陣為對稱矩陣
• $C_{ij}=E\{[X_i?E(X_i)][X_j?E(X_j)]\}=Cov(X_i,X_j)$
• $C=?\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& ?& c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& ?& c_{2n}\\ ?& ?& ?& ?\\ c_{n1}& c_{n2}& ?& c_{nn}\end{array}?$

Pearson相關系數

• 協方差可以描述X和Y的相關程度，但是協方差的值和X/Y的值采用那個的是不同的量綱，導致協方差在數值上表現出較大的差異，因此可以引入相關系數來標識X和Y的相關性
• $\rho (X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}?\sqrt{D(Y)}}$

絕對值范圍 含義

0.8 - 1.0	極強相關
0.6 - 0.8	強相關
0.4 - 0.6	中等程度相關
0.2 - 0.4	弱相關
0 - 0.2	極強相關或無相關

• 當$\rho (X,Y)=0$的時候，稱X和Y不線性相關
• Pearson相關系數取值范圍是$[?1,1]$

中心距、原點矩

• 假設X和Y是隨機變量，若$E(X^k),k=1,2,...$存在，則稱它為k階原點距，簡稱k階距
• 若$E\{[X?E(X){]}^k\}$, k=1,2,…存在, 則稱它為X的k階中心距
• 若$E\{[X?c{]}^k\}$, k=1,2,…存在, 則稱它為X的關于點c的k階矩
• 若$E\{X^k{Y}^p\}$, k、p = 1,2,…存在，則稱它為X和Y的k+p階混合原點矩
• 若$E\{[X?E(X){]}^k[Y?E(Y){]}^p\}$, k、p = 1,2,…存在, 則稱它為X和Y的k+p階混合中心距
• X的數學期望E(X)是X的一階原點矩
• X的方差D(X)是X的二階中心矩
• X和Y的協方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩

峰度

• 峰度(peakedness, kurtosis)又稱峰態系數。表示了概率密度分布曲線在平均值處峰值高低的特征數，直觀來說，峰值反映的是峰部的尖度。
• 樣本的峰度是和正態分布相比較而言的統計量，如果峰度值大于三，那么峰的形狀比較尖，比正態分布峰要陡峭，反之亦然。
• 峰度計算公式：隨機變量的四階中心矩與方差平方的比值
  • $kurtosis=\frac{{\sum }_{i=1}^N(x_i?\bar{x}{)}^4}{(N?1)?s^4}$

偏度

• 偏度系數(skewness)是描述分布偏離對稱性程度的一個特征數。
• 當分布左右對稱的時候，偏度系數為0
• 當偏度系數大于0的時候，即重尾在右側時，該分布為右偏
• 當偏度系數小于0的時候，即重尾在左側時，該分布為左偏
• 偏度計算公式：隨機變量的三階中心距與標準差立方的比值
  • $kurtosis=\frac{{\sum }_{i=1}^N(x_i?\bar{x}{)}^3}{(N?1)?s^3}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AI笔记: 数学基础之数字特征-标准差、协方差、相关系数、中心矩、原点矩、峰度、偏度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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