一、樹的概念

樹是一種典型的非線性結構，是表達有層次特性的圖結構的一種方法。

1.1 基本術語

術語描述

空樹	當n=0 時稱為空樹。
根結點	根結點是一個沒有雙親結點的結點。一棵樹最多一個。例如：A
邊	結點之間的連線
葉子結點	沒有孩子結點的結點。例如：N、O、P
兄弟結點	同一雙親的孩子結點； 堂兄結點：同一層上結點
祖先結點	從根到該結點的所經分支上的所有結點
子孫結點	以某結點為根的子樹中任一結點都稱為該結點的子孫
結點層	根結點的層定義為1；根的孩子為第二層結點，依此類推；
樹的深度	樹中最大的結點層
樹的高度	跟樹的深度一個意思。樹中所有結點高度的最大值
結點的度	結點子樹的個數
樹的度	樹中最大的結點度。
分枝結點	度不為0的結點；
有序樹	子樹有序的樹，如：家族樹；
無序樹	不考慮子樹的順序

注意：有寫書定義書高和層是從0開始的。如：根結點在0層

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• 樹的度
  

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• 如果樹除了葉子結點外，其余每一個結點只有一個孩子結點，則這種樹稱為斜樹； 所有的結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹。所有結點都是只有右子樹的二叉樹叫右斜樹。

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1.2 二叉樹

如果一棵樹的每個結點有0 、1 后者 2個結點（最多兩個孩子結點），那么這棵樹稱為二叉樹。空樹也是一棵有效的二叉樹。二叉樹的子樹還是二叉樹。實際上可以遞歸定義二叉樹。(因為這個特性，對二叉樹的操作常常使用遞歸算法)

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• 滿二叉樹/滿樹： 二叉樹中的每個結點恰好有兩個孩子結點且所有葉子結點都在同一層。

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• 完全二叉樹/完全樹：對一顆具有n個結點的二叉樹按層編號，如果編號為i(1<=i<=n) 的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號為i的結點在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹

倒數第二層是滿的，且最后一層的葉子結點從左至右填充

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• 平衡二叉樹： 如果樹中的每個結點的子樹的高度差不大于1，則樹稱為高度平衡的或者平衡的。

• 完全平衡樹： 若二叉樹中的每個結點有兩棵高度相等的子樹，則該樹稱為完全平衡樹。唯一的完全平衡二叉樹是滿樹。

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• 二叉搜索樹

二叉查找樹是一棵二叉樹、其結點含有comparable類型的對象，并遵循以下規則：

結點中的數據大于結點左子樹中的所有數據。

結點中的數據小于結點的右子樹中的所有數據。

左子樹和右子樹也都必須是二叉查找樹

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• 平衡二叉查找樹(AVL 樹)

是平衡樹和二叉搜索樹的結合

在HB(k)中，如果k=1，那么這樣的二叉搜索叫做AVL樹。即一棵AVL樹是帶有平衡條件的二叉搜索樹。 左子樹和右子樹的高度最多不能超過1

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• 紅黑色
  在紅黑樹中，每個結點關聯一個額外的屬性：紅色或者黑色中的一種顏色。
  定義：紅黑樹是一棵滿足以下性質的二叉搜索樹：

根結點是黑色

每個葉子結點是黑色

紅色結點的孩子結點是黑色

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1.3 滿樹(滿二叉樹)或完全樹(完全二叉樹)的高度

其中h是樹的高度，如果滿樹的結點樹為n，則有

即含有n個結點的滿樹的高度是 log₂(n+1)。含n個結點的完全樹的高度是對 log₂(n+1)向上取整。

含有n個結點的完全二叉樹或滿二叉樹的高度是對log₂(n+1)向上取整

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1.4 其他、 二叉樹的應用

• 編譯器中的表達式
• 用于數據壓縮算法中哈弗曼編碼樹
• 二叉搜索樹(查找樹)BST
• 優先隊列(PQ)
  ……

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1.5 二叉樹的結構

為了簡單起見，數據設定為整數

//java語言描述 public class BinaryTreeNode {private int data;private BinaryTreeNode leftTree;private BinaryTreeNode rightTree;…… }

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1.6 二叉樹的操作

• 基本操作
  • 插入
  • 刪除
  • 查找
  • 遍歷
• 輔助操作
  • 樹大小
  • 樹高
  • 樹最大層
  • 給定兩個或多個節點，找最近公共祖先

……

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二 、樹的遍歷

2.1 二叉樹的遍歷

為了對樹結構進行處理，需要一種機制來遍歷樹中的結點。在遍歷過程中，每個結點只能被處理一次，但可以被訪問多次。

• 前序遍歷/先序遍歷：
  在訪問根的子樹之前訪問根。然后訪問根的左子樹中所有的結點，再訪問根的右子樹中的所有結點。
  

遞歸方式

public static void preOrder(BinaryTreeNode root) {if(null != root) {System.out.print(root.getData() + " ");preOrder(root.getLeftTree());preOrder(root.getRightTree());}}

非遞歸方式

為了模擬遞歸：首先處理當前結點，在遍歷左子樹之前，把當前結點保留到棧中，當遍歷完左子樹后，將該元素出棧，然后找打其右子樹進行遍歷。直到棧為空為止。

public static void preOrderNonRecursive(BinaryTreeNode root) {if(null == root) {return;}Stack<BinaryTreeNode> s = new Stack<BinaryTreeNode>(); // FILOwhile (true) {while (null != root) {System.out.print(root.getData() + " ");s.push(root);root = root.getLeftTree();}if(s.isEmpty()) {break;}root = s.pop();root = root.getRightTree();}}

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• 中序遍歷：
  在中序遍歷中，根結點的訪問在兩棵子樹的遍歷中間完成。
  

遞歸方式：

public static void inOrder(BinaryTreeNode root) {if(null != root) {inOrder(root.getLeftTree());System.out.print(root.getData() + " ");inOrder(root.getRightTree());} }

非遞歸方式：

非遞歸中序遍歷類似前序遍歷。唯一區別是，首先要移動到結點的左子樹，完成左子樹的遍歷后，再將結點出棧進行處理。

public static void inOrderNonRecursive(BinaryTreeNode root) {if(null == root) return;Stack<BinaryTreeNode> stack = new Stack<BinaryTreeNode>();while (true) {while (null != root) {stack.push(root);root = root.getLeftTree();}if(stack.isEmpty()) return;BinaryTreeNode node = stack.pop();System.out.print(node.getData() + " ");root = node.getRightTree();}}

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• 后序遍歷：
  訪問二叉樹的根的子樹中的結點之后訪問樹的根
  

遞歸方式：

public static void postorder(BinaryTreeNode root) {if(null != root) {postorder(root.getLeftTree());postorder(root.getRightTree());System.out.print(root.getData() + " ");}}

非遞歸方式：

①：前序、中序遍歷中，當元素出棧后就不需要再次訪問該結點了，但是后序遍歷中，每個結點需要訪問兩次。
②：當從棧中出棧一個元素時，檢查這個元素與棧頂元素的右子樹是否相同。如果相同，則說明已經完成了左、右子樹的遍歷。此時，只需要再將棧頂元素出棧一次病輸出該結點數據即可。

public static void postOrderNonRecursive(BinaryTreeNode root) {if(null == root) return;Stack<BinaryTreeNode> stack = new Stack<>();while (true) {if (null != root) {stack.push(root);root = root.getLeftTree();} else {if(stack.isEmpty()) {return;}else {if(null == stack.peek().getRightTree()) {root = stack.pop();System.out.print(root.getData() + " ");if(!stack.isEmpty() && root == stack.peek().getRightTree()) {//左右子樹遍歷完成System.out.println(stack.peek().getData() + " ");stack.pop();if(stack.isEmpty()) {break;}}root = null;} else {//exists the right subtreeroot = stack.peek().getRightTree();stack.peek().setRightTree(null);}}}}}

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• 層序遍歷：
  從根開始，每次訪問一層中的結點。在同一層中，從左至右訪問。
  

層序遍歷需要借助隊列來完成

public static void levelOrder(BinaryTreeNode root) {if(null == root) return;Queue<BinaryTreeNode> queue = new ArrayDeque<>();queue.add(root);BinaryTreeNode temp = null;while (!queue.isEmpty()) {temp = queue.poll();//處理當前結點System.out.print(temp.getData() + " ");if(null != temp.getLeftTree()) {queue.add(temp.getLeftTree());}if(null != temp.getRightTree()) {queue.add(temp.getRightTree());}}}

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廣度優先遍歷：層序遍歷是廣度優先遍歷的示例
深度優先遍歷：前序遍歷是深度優先遍歷的示例

2.2一般樹的遍歷

一般樹的遍歷有層序、前序和后序、對一般樹而言，中序遍歷不好定義。

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三、樹的示例

一些使用樹來組織數據的示例。

3.1 表達式樹

可以用二叉樹來表示其運算符為二元運算符的代數表達式。孩子的次序要與操作樹的次序想匹配。這樣的二叉樹稱為表達式樹。

事實上，不需要括號，樹也能得到表示中的運算符的次序。代數表達式有不同的寫法。正常書寫的表達式，即每個二元運算符出現在兩個操作數的中間，稱為中綴表達式。前綴表達式將每個運算符都放在其兩個操作的前面，后綴表達式將每個運算符都放在其兩個操作數的后面。

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3.2 二叉查找樹 / 二叉搜索樹

二叉查找樹是一棵二叉樹、其結點含有comparable類型的對象，并遵循以下規則：

• 結點中的數據大于結點左子樹中的所有數據。
• 結點中的數據小于結點的右子樹中的所有數據。
• 左子樹和右子樹也都必須是二叉查找樹
  

例如：字符串二叉查找樹、Jared大于Jared的左子樹中的所有名字，但小于Jared的右子樹中的所有名字。

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下面是也是一棵二叉查找樹

注意： 上面二叉查找樹的定義，隱含表明樹中的所有項都是不同的。但允許樹中有重復的值

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二叉查找樹的形態是不唯一的。即對同樣的一組數據，可以組成幾棵不同的二叉查找樹。例如：

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3.3 堆

堆(heap) 是其結點含有 Comparable對象的一棵完全二叉樹，且滿足以下條件：每個結點的對象不小于(或不大于)其后代的對象。 在最大堆中，結點中的對象大于或等于其后代的對象。 在最小堆中，關系是小于或等于。
最大/小堆的任何結點的子樹仍然是最大/小堆。

可以用堆實現優先隊列

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小結

本篇是對樹的一個入門，講解了樹的一些基本概念、并對二叉樹的三種遍歷做了全面的介紹，給出了java描述。后面講解了一些其他平衡樹的知識，也給出了一些樹的示例。

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參考

• 《數據結構與算法經典問題解析-Java語言描述》
• 《數據結構與抽象Java語言描述第4版》
• 參考 【https://xiaozhuanlan.com/topic/7189032546】

總結

以上是生活随笔為你收集整理的树一：邂逅入门篇的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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