卡特兰数~
摘dalao：Ypuyu、長(zhǎng)滿石楠的荒原
卡特蘭數(shù)是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)常在各種計(jì)數(shù)問(wèn)題中出現(xiàn)的數(shù)列。以比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭（1814–1894）命名。歷史上，清代數(shù)學(xué)家明安圖(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔蘭數(shù)”，遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于卡塔蘭。有中國(guó)學(xué)者建議將此數(shù)命名為“明安圖數(shù)”或“明安圖-卡塔蘭數(shù)”。
即卡特蘭數(shù)是符合以下公式的一個(gè)數(shù)列！
公式（常見(jiàn)4個(gè)）：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2, h(0)=h(1)=1)
公式證明（摘自百度百科）
在2n位上填入n個(gè)0的方案數(shù)為
。而從
?中減去不符合要求的方案數(shù)即為所求答案。
在從左往右掃時(shí)，必然會(huì)在某一個(gè)奇數(shù)位2p+1上首先出現(xiàn)p+1個(gè)1，和p個(gè)0
此后的 [2p+2,2n]上的2n?(2p+1)位有n?p個(gè)0, n?p?1個(gè)1。如若把后面這部分2n?(2p+1)位的1與0互換，使之成為n?p個(gè)1，n?p?1個(gè)0，結(jié)果得1個(gè)由n+1個(gè)1和n?1個(gè)0組成的2n位數(shù)，即一個(gè)不合法的方案必定對(duì)應(yīng)著一個(gè)由n+1個(gè)1和n-1個(gè)0組成的一個(gè)排列。
可以倒過(guò)來(lái)反證：
任意一個(gè)由n+1個(gè)1和n-1個(gè)0組成的一個(gè)排列，由于1的個(gè)數(shù)多了2個(gè)，且2n為偶數(shù)，所以必定在某個(gè)奇數(shù)位2p+1上出現(xiàn)1的個(gè)數(shù)超過(guò)0的個(gè)數(shù)。同樣把后面部分1和0互換，成為了由n個(gè)0和n個(gè)1組成的2n位數(shù)。
由此，每一個(gè)不合法的方案總是與唯一一個(gè)由n+1個(gè)1和n?1個(gè)0組成的排列一一對(duì)應(yīng)。
于是，不合法的方案數(shù)就可以寫作：
例如 10100101
是由4個(gè)0和4個(gè)1組成的8位2進(jìn)制數(shù)。但從左而右掃描在第5位（顯示為紅色）出現(xiàn)0的累計(jì)數(shù)3超過(guò)1的累計(jì)數(shù)2，它對(duì)應(yīng)于由3個(gè)1，5個(gè)0組成的10100010。
反過(guò)來(lái) 10100010
對(duì)應(yīng)于 10100101
因而不合要求的2n位數(shù)與n+1個(gè)0，n－1個(gè)1組成的排列一一對(duì)應(yīng)，故有“卡塔蘭數(shù)”Catalan
敲一敲重點(diǎn)！！！
以下內(nèi)容摘自卡特蘭數(shù)
（1）卡特蘭數(shù)滿足以下性質(zhì)：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數(shù)滿足遞推式。h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是說(shuō)，如果能把公式化成上面這種形式的數(shù)，就是卡特蘭數(shù)。
當(dāng)然，上面這樣的遞推公式太繁瑣了，于是數(shù)學(xué)家們又求出了可以快速計(jì)算的通項(xiàng)公式。h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,…)。這個(gè)公式還可以更簡(jiǎn)單得化為h(n)=C(2n,n)/(n+1)。后一個(gè)公式都可以通過(guò)前一個(gè)公式經(jīng)過(guò)幾步簡(jiǎn)單的演算得來(lái)，大家可以拿起筆試試，一兩分鐘就可以搞定。（2）卡特蘭數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)在OI以及ACM中，在生活中也有廣泛的應(yīng)用。下面舉幾個(gè)例子。
進(jìn)出棧問(wèn)題：棧是一種先進(jìn)后出（FILO，First In Last Out）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)．如下圖1，1,2,3,4順序進(jìn)棧，那么一種可能的進(jìn)出棧順序是：1In→2In→2Out→3In→4In→4Out→3Out→1Out, 于是出棧序列為1,3,4,2。
那么一個(gè)足夠大的棧的進(jìn)棧序列為1,2,3,?,n時(shí)有多少個(gè)不同的出棧序列？
我們可以這樣想，假設(shè)k是最后一個(gè)出棧的數(shù)。比k早進(jìn)棧且早出棧的有k-1個(gè)數(shù)，一共有h(k-1)種方案。比k晚進(jìn)棧且早出棧的有n-k個(gè)數(shù)，一共有h(n-k)種方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)種方案。顯而易見(jiàn)，k取不同值時(shí)，產(chǎn)生的出棧序列是相互獨(dú)立的，所以結(jié)果可以累加。k的取值范圍為1至n，所以結(jié)果就為h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + … + h(n-1)h(0)。
出棧入棧問(wèn)題有許多的變種，比如n個(gè)人拿5元、n個(gè)人拿10元買物品，物品5元，老板沒(méi)零錢。問(wèn)有幾種排隊(duì)方式。熟悉棧的同學(xué)很容易就能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為棧。值得注意的是，由于每個(gè)拿5元的人排隊(duì)的次序不是固定的，所以最后求得的答案要n!。拿10元的人同理，所以還要n!。所以這種變種的最后答案為h(n)*n!*n!。
二叉樹(shù)構(gòu)成問(wèn)題。有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，問(wèn)總共能構(gòu)成幾種不同的二叉樹(shù)。
我們可以假設(shè)，如果采用中序遍歷的話，根結(jié)點(diǎn)第k個(gè)被訪問(wèn)到，則根結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)有k-1個(gè)點(diǎn)、根結(jié)點(diǎn)的右指數(shù)有n-k個(gè)點(diǎn)。k的取值范圍為1到n。講到這里就很明顯看得出是卡特蘭數(shù)了。這道題出現(xiàn)在2015年騰訊實(shí)習(xí)生的在線筆試題中。
凸多邊形的三角形劃分。一個(gè)凸的n邊形，用直線連接他的兩個(gè)頂點(diǎn)使之分成多個(gè)三角形，每條直線不能相交，問(wèn)一共有多少種劃分方案。
這也是非常經(jīng)典的一道題。我們可以這樣來(lái)看，選擇一個(gè)基邊，顯然這是多邊形劃分完之后某個(gè)三角形的一條邊。圖中我們假設(shè)基邊是p1pn，我們就可以用p1、pn和另外一個(gè)點(diǎn)假設(shè)為pi做一個(gè)三角形，并將多邊形分成三部分，除了中間的三角形之外，一邊是i邊形，另一邊是n-i+1邊形。i的取值范圍是2到n-1。所以本題的解c(n)=c(2)*c(n-1)+c(3)*c(n-2)+…c(n-1)*c(2)。令t(i)=c(i+2)。則t(i)=t(0)*t(i-1)+t(1)*t(i-2)…+t(i-1)*t(0)。很明顯，這就是一個(gè)卡特蘭數(shù)了。
有n+1個(gè)葉子的滿二叉樹(shù)的個(gè)數(shù)？事實(shí)上，向左記為+1，向右記為?1，按照向左優(yōu)先的原則，從根節(jié)點(diǎn)開(kāi)始遍歷．例如第一個(gè)圖記為+1,+1,+1,?1,?1,?1,于是由卡特蘭數(shù)的含義可得滿二叉樹(shù)的個(gè)數(shù)為Cn。
在n*n的格子中，只在下三角行走，每次橫或豎走一格，有多少中走法？其實(shí)向右走相當(dāng)于進(jìn)棧，向左走相當(dāng)于出棧，本質(zhì)就是n個(gè)數(shù)出棧次序的問(wèn)題，所以答案就是卡特蘭數(shù)。（利用這個(gè)模型，我們解決這個(gè)卡特蘭問(wèn)題的變形問(wèn)題，并順便給進(jìn)出棧問(wèn)題的解法一個(gè)幾何解釋．）
將一個(gè)凸n+2邊形區(qū)域分成三角形區(qū)域的方法數(shù)？（答案卡特蘭數(shù)）
先介紹兩個(gè)關(guān)于卡特蘭數(shù)Cn的小引理，將問(wèn)題一中的+1和?1分別看成左括號(hào)和右括號(hào)，我們得到
引理一 由nn對(duì)括號(hào)形成的合法括號(hào)表達(dá)式的個(gè)數(shù)為C．
比如n=3時(shí)，所有合法的括號(hào)表達(dá)式有 ?(())),(())(),()(()),()()(),(()()),共5個(gè)．
考慮n+1個(gè)數(shù)相乘，不同的相乘順序的數(shù)目．我們可以給出每一個(gè)合法的括號(hào)表達(dá)式和一種可能的相乘順序的對(duì)應(yīng)方式．如n=3時(shí)，先取44個(gè)數(shù)a,b,c,d，然后在第一個(gè)數(shù)下設(shè)一個(gè)指針，將一個(gè)左括號(hào)看成是指針右移一格，而將右括號(hào)看成是將指針當(dāng)前指向的數(shù)與其左側(cè)的一個(gè)數(shù)作乘積，并刪除左側(cè)的那個(gè)數(shù)，那么當(dāng)執(zhí)行完括號(hào)表達(dá)式，就得到了一種可能的相乘順序，如圖．
這樣我們就從引理一出發(fā)得到了
引理二 n+1個(gè)數(shù)連乘，不同的乘法順序數(shù)為Cn．
注 這樣也是RPN模式的計(jì)算機(jī)的工作模式，可以無(wú)需括號(hào)完成計(jì)算，從而節(jié)省按鍵的次數(shù)．這種計(jì)算器在財(cái)務(wù)計(jì)算中大量使用，如圖．
接下來(lái)解決卡特蘭問(wèn)題，用1,2,3,?,n+2標(biāo)記凸n+2邊形的邊，從標(biāo)記為1的邊的起點(diǎn)（按逆時(shí)針?lè)较?#xff09;開(kāi)始按未標(biāo)記的對(duì)角線均為向外標(biāo)記方向，如圖．
(分別標(biāo)記邊和對(duì)角線)
進(jìn)而，逆時(shí)針讀圖，將出的箭頭讀為左括號(hào)，進(jìn)的箭頭讀為右括號(hào)，就得到了剖分方式與連乘順序的對(duì)應(yīng)．上圖中的兩個(gè)圖對(duì)應(yīng)的連乘順序表達(dá)式分別為 ：1((2(34))5)6,(1(23))(45)6,
拋開(kāi)6不計(jì)，每個(gè)連乘順序表達(dá)式實(shí)際上就是規(guī)定了n+1個(gè)數(shù)連乘時(shí)，不同的乘法順序，根據(jù)引理一，得到剖分方式的總數(shù)為Cn。
為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們重新解釋卡特蘭數(shù)的推導(dǎo)方式．先解決下面的輔助問(wèn)題：(+1表示向左，-1表示向右)
圓周上有2n+1個(gè)點(diǎn)，其中n+1個(gè)點(diǎn)上標(biāo)“+1”，n個(gè)點(diǎn)上標(biāo)“?1”，如果可以找到某個(gè)標(biāo)有“+1”的點(diǎn)作為起點(diǎn)，當(dāng)順時(shí)針沿圓周前進(jìn)時(shí)將所遇到的點(diǎn)（包括起點(diǎn)）上標(biāo)的數(shù)相加得到的和始終為正數(shù)，就稱這種標(biāo)記法是好標(biāo)記法．求好標(biāo)記法的總數(shù)（注意考慮圓排列）．
輔助問(wèn)題的解 對(duì)于任何一種標(biāo)記法，我們將順時(shí)針相鄰的“+1”“?1”（指順時(shí)針前進(jìn)時(shí)先遇到“+1”后遇到“?1”）同時(shí)抹去，可以證明抹去的前后對(duì)標(biāo)記法的好壞沒(méi)有影響．不停的重復(fù)這一過(guò)程，則最后只剩一個(gè)標(biāo)有“+1”的點(diǎn)，顯然此時(shí)標(biāo)記法為好的．因此所有的標(biāo)記法都是好標(biāo)記法，顯然其數(shù)目為 (1/2n+1)C(2n+1,n)-(1/n+1)C(2n,n)
問(wèn)題的解 通過(guò)對(duì)輔助問(wèn)題的進(jìn)一步探索可知，每一種將圓周上2n+1個(gè)點(diǎn)標(biāo)記為n+1個(gè)+1點(diǎn)，和n個(gè)?1點(diǎn)的方法唯一確定一個(gè)順時(shí)針前進(jìn)的方案（即起點(diǎn)）．我們將這個(gè)起點(diǎn)刪去，剩下的2n個(gè)點(diǎn)在順時(shí)針?lè)较蛏弦欢椤?#43;1”“?1”“+1”“?1”，…，此時(shí)將順時(shí)針相鄰的這些“+1”“?1”點(diǎn)用弦連接起來(lái)，就得到互不相交的n條弦．這樣我們就建立了從好標(biāo)記法到弦的連法的單射．
反過(guò)來(lái)，如果我們有了一種弦的連法，就可以從某條弦的端點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針前進(jìn)，對(duì)每條弦的兩個(gè)端點(diǎn)都是先遇到的端點(diǎn)標(biāo)上“+1”，后遇到的端點(diǎn)標(biāo)上“?1”，然后在最后回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)添上一個(gè)標(biāo)有“+1”的點(diǎn)．這樣我們就建立了從弦的連法到好標(biāo)記法的單射．
綜上，所求的不同連法數(shù)為(1/n+1)C(2n,n)．
?
總結(jié)
- 上一篇： Xmodem Ymodem Zmodem
- 下一篇： 浅谈数组和指针