多米諾與托米諾平鋪

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• 我的解法與講解（動態規劃）
• • 二維數組解
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  • • 空間優化
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題目

題目來源

leetcode第790題.

題目描述

有兩種形狀的瓷磚：一種是 2 x 1 的多米諾形，另一種是形如 “L” 的托米諾形。兩種形狀都可以旋轉。

給定整數 n ，返回可以平鋪 2 x n 的面板的方法的數量。返回對 10^9 + 7 取模 的值。平鋪指的是每個正方形都必須有瓷磚覆蓋。兩個平鋪不同，當且僅當面板上有四個方向上的相鄰單元中的兩個，使得恰好有一個平鋪有一個瓷磚占據兩個正方形。

我的解法與講解（動態規劃）

二維數組解

dp[i][4] 代表的是第i列的狀態，dp[i][0]代表這一列上下都沒有被鋪，1代表上面一塊沒有沒鋪，2代表下面一塊沒有被鋪，3代表上下全被鋪滿。
dp[i]的狀態只與dp[i-1]的狀態有關

0->0與3->3會多考慮一種，所以要去掉其中之一。據此可做出轉移方程

int numTilings(int n){long dp[n + 1][4];long MOD = 1000000007;dp[1][0] = 1;dp[1][1] = 0;dp[1][2] = 0;dp[1][3] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++){dp[i][0] = (dp[i - 1][3]) % MOD;dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % MOD;dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) % MOD;dp[i][3] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][3] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][1]) % MOD;}return (int)dp[n][3]; }

優化

空間優化

c語言好像不能直接拷貝數組，其它語言可用兩個一維數組替代二維數組，一個數組存儲

最優解

dp[i]代表0到i列鋪滿的方法數量。
遞推：0 ~ n-1列鋪好，加個多米諾推到n；0 ~ n-2列鋪好，就是n-1沒鋪好，不能是兩個豎著的多米諾，只能是兩個橫著的多米諾。我們在通過dp(i)平鋪dp(n)時，i+1~n-1列不能有完成拼好的，否則就重復計算了。
0 ~ n-3列鋪好推到n，說明倒數三列狀態都不能是3。就是兩個L型的托米諾，
dp(n-4) 兩個托米諾夾一個多米諾
dp(n-5) 兩個托米諾夾兩個多米諾
…….
托米諾是能倒過來的，所以有托米諾的就會有兩種情況。
由此推出公式dp(n) = dp(n-1) + dp(n-2)+2*(dp(n-3)+dp(n-4)+dp(n-5)……dp(1));
得到dp(n-1)=dp(n-2)+dp(n-3)+2*(dp(n-4)+dp(n-5)+……dp(1));
將兩式相減得到dp(n)=2*dp(n-1)+dp(n-3);

int numTilings(int n){if(n <= 2){return n;}long dp[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 5;long MOD = 1000000007;for(int i = 4; i <= n; i++){dp[i] = (2 * dp[i - 1] + dp[i - 3]) % MOD;}return (int)dp[n]; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的本科团队例会分享1 多米诺与托米诺平铺问题 c语言的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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