游樂園門票1元一張，每人限購一張。現在有10個小朋友排隊購票，其中5個小朋友每人只有1元的鈔票一張，另5個小朋友每人只有2元的鈔票一張，售票員沒有準備零錢。問：有多少種排隊方法，使售票員總能找的開零錢？

甲乙兩人比賽乒乓球，最后結果為20∶20，問比賽過程中甲始終領先乙的計分情形的種數。

即甲在得到1分到19分的過程中始終領先乙，其種數是卡特蘭數

飯后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗一個一個放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？

答：得數是第n個卡特蘭數C_n。

括號化問題。一個合法的表達式由()包圍，()可以嵌套和連接，如(())()也是合法 表達式；現在有 6 對()，它們可以組成的合法表達式的個數為

矩陣連乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)

出棧次序問題。一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?

類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

將多邊行劃分為三角形問題。將一個凸N+2多邊形區域分成三角形區域的方法數?類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那么有多少條可能的道路？類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?

給頂節點組成二叉樹的問題。給定N個節點，能構成多少種不同的二叉樹，（能構成h（N）個）Catalan數的解法Catalan數的組合公式為 Cn=C(2n,n) / (n+1);

此數的遞歸公式為 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

卡特蘭數真是一個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關系，例如：

Cn= n對括號正確匹配組成的字符串數，例如 3對括號能夠組成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

Cn= n+1個數相乘，所有的括號方案數。例如， 4個數相乘的括號方案為：

((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

Cn= 擁有 n+1 個葉子節點的二叉樹的數量。例如 4個葉子節點的所有二叉樹形態：

• Cn=n*n的方格地圖中，從一個角到另外一個角，不跨越對角線的路徑數，例如， 4×4方格地圖中的路徑有：

• Cn= n+2條邊的多邊形，能被分割成三角形的方案數，例如 6邊型的分割方案有：

• Cn= 圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數。

下面是一些大公司的筆試題

先來一道阿里巴巴的筆試題目：說16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊一個，開始時燒餅店老板身上沒有錢。16個顧客互相不通氣，每人只買一個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現。

C8=1430，所以總數=1430*8！*8！

2012騰訊實習招聘筆試題

在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？

C3=5；所以總數為5*3！*3！=180.