平衡二叉树算法详解
轉自：http://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/11/15/2249492.html
寫的有點兒俗，理論性不是很強，不過還算通俗易懂。總之，謝謝上位大俠的解釋~~~
平衡二叉樹定義(AVL)：它或者是一顆空樹，或者具有每以下性質的二叉樹：它的左子樹和右子樹的深度之差的絕對值不超過1，且它的左子樹和右子樹都是一顆平衡二叉樹。
平衡因子(bf)：結點的左子樹的深度減去右子樹的深度，那么顯然-1<=bf<=1;
很顯然，平衡二叉樹是在二叉排序樹(BST)上引入的，就是為了解決二叉排序樹的不平衡性導致時間復雜度大大下降，那么AVL就保持住了(BST)的最好時間復雜度O(logn)，所以每次的插入和刪除都要確保二叉樹的平衡，那么怎么保持平衡呢？
我努力看了看數據結構上的講解，但是看的只暈+_+！我對他的講解很無語，他所謂的“旋轉”操作講的不明不白，看的我氣的蛋疼！你說你旋轉，你得說清是如何旋轉？以那個結點為中心，那些或者說那個結點轉了，那些結點不動。你就在哪里旋轉來旋轉去的，誰知道你是咋轉的，你在哪慢慢轉吧！哥轉不過你，另找高明！于是在網上找啊找，只為想搞明白是到底怎么轉的！點擊打開鏈接讓我對“旋轉”有所領悟，表示感謝！
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插入時：
那究竟是如何“轉”的呢？
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首先必須明白一個核心操作，不讓它叫“旋轉”！而叫——>“兩個結點的變換”
如圖：
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???????就拿第一個來說->點100和101的變換：
點101占據點100的位置，點100換到了101的對面的位置，其他點的相對位置不變。
我們可以更直觀的理解為：把101結點“上提”一下！
分析：101>100，所以100可以作為101的左孩子；
也就是在二叉排序樹中，兩個結點這樣的變換操作是可行的，是符合二叉排序樹的性質。
不僅這個簡單的圖，任何復雜的二叉排序樹都可以，你可以試試，也許你會說如果點101左邊有孩子怎么辦？別著急~，當然有辦法！
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下邊正式說這個圖的四種不平衡情況（插入時）及操作：
首先還需要明白一個概念->最小不平衡子樹的根結點：也就是當你進行插入操作時，找到該需要插入結點的位置并插入后，從該結點起向上尋找（回溯），第一個不平衡的結點即平衡因子bf變為-2或2。
為什么要引入這個最小不平衡根結點的概念，因為在插入時，對該子樹進行保持平衡操作后，其它的結點的平衡因子不會變，也就是整棵樹又恢復平衡了。為什么呢？
你想想不平衡點的bf一定是-2或2吧，經過平衡操作后，他會把一邊子樹的一個結點分給另一邊的子樹，也就是一邊的深度分給另一邊，這樣就平衡了！
比如，插入前：左邊是深度1，右邊深度是0；插入后左邊深度是2，右邊深度是0，經過平衡后左邊深度是1，右邊深度是1；
那么你說插入前和插入后該根結點所領導的子樹的深度變沒？？仍是1，顯然沒變！那么就仍保持了這棵樹的平衡了！
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下面即四種情況分別為：左左、右右、左右、右左，每種情況又有兩個圖：①、②，①是該情況的最簡單的圖形，②是該情況的一般的圖形；
設x為最小不平衡子樹的根結點，y為剛插入的點
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左左：
即在x的左孩子a的左孩子c上插入一個結點y（該結點也可以是c,如圖①），即y可以是c，也可以是c的左孩子（如圖②），也可以是c的右孩子（不在畫出）
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圖①就不用說了，結點x和結點a變換，則樹平衡了；那么圖②就是樹中的一般情況了a結點有右孩子d，那要進行x和a變換，那么a的右孩子放哪啊？
很簡單，如圖放在x的左孩子上；分析：x>d,d>a,所以d可作為x的左孩子，且可作為a的右孩子中的孩子。下邊這樣的類似情況不再一一分析，自己分析分析~
實現：找到根結點x，與它的左孩子a進行交換即可使二叉樹樹再次平衡；
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右右：
即在x的右孩子a的右孩子c上插入一個結點y（該結點也可以是c,如圖①），即y可以是c，也可以是c的右孩子（如圖②），也可以是c的左孩子（不在畫出）
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實現：找到根結點x，與它的右孩子a進行交換即可使二叉樹樹再次平衡；
左右：
即在x的左孩子a的右孩子c上插入一個結點y（該結點也可以是c,如圖①），即y可以是c，也可以是c的右孩子（如圖②），也可以是c的左孩子（不在畫出）
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這個左右和下邊的右左，稍微復雜了點，需要進行兩次交換，才能達到平衡，注意這時y是c的右孩子，最終y作為x的左孩子；若y是c的左孩子，最終y作為a
的右孩子，畫圖分析一下~~下邊類似，不再敖述。
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實現：找到根結點x，讓x的左孩子a與x的左孩子a的右孩子c進行交換，然后再讓x與x此時的左孩子c進行交換，最終達到平衡；
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右左：
即在x的右孩子a的左孩子c上插入一個結點y（該結點也可以是c,如圖①），即y可以是c，也可以是c的右孩子（如圖②），也可以是c的左孩子（不在畫出）
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實現：找到根結點x，讓x的右孩子a與x的右孩子a的左孩子c進行交換，然后再讓x與x此時的右孩子c進行交換，最終達到平衡；
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上邊的四種情況包含了所有插入時導致不平衡的情況，上面給出的僅僅是一棵大樹中的最小不平衡子樹，一定要想清楚，別迷了！
另外一定要注意這個交換操作，比如a與b交換（a在上，b在下），b一定要占據a的位置！什么意思？就是b要放在（覆蓋）儲存a的那塊內存上，
再通俗點說，若a是x的左孩子，則交換后b要做x的左孩子；這就是所謂的b占據a的位置！
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那么如何找到最小不平衡子樹的根結點x，并判斷出它是屬于那種情況的？
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插入一個結點時，我們首先找到需要插入的位置，并插入；數據結構上用的是遞歸，不要說遞歸太浪費時空，你想想一個含2^31個結點的平衡二叉樹的深度大約是31吧，它遞歸再多也不就是31層！而且遞歸代碼短小、精悍、富含藝術之美！所以我認為對于這個平衡二叉樹，用遞歸很合適！
顯然插入之后就要檢查是否出現不平衡的結點，那么如何檢查？
我們知道，你插入的時候用的是遞歸，一條線找到要插的位置，并插入；那么誰的平衡因子的有可能變呢？
不難想象，只有該條線上的結點的平衡因子有可能改變！那么我們在回溯的時候不就可以找到第一個不平衡的子樹的結點？！
可是我們如何判斷該結點的平衡因子是否應該改變，顯然要看它被插入結點的一邊的深度是否增加；
如何看它被插入結點的一邊的深度是否增加？
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如上圖，如何看x的右孩子a（即被插入結點的一邊）的深度增加？我們知道在a的右孩子上插入了結點y那么a的bf是一定要減1
那么x結點的bf？可根據a的bf決定是否改變！
若a:bf=-1或1，那么a之前一定為0，表示a的深度增加了，那么x的bf可根據a是x哪一邊的孩子決定+1或-1；
若a:bf=0，那么a之前一定為-1或1，表示a的深度沒增加，那么不僅x的bf就不用變，該條線上的所有結點的bf都不用變，直接返回即可；
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當然了，那么找到最小不平衡子樹的根結點x了，如何判斷它屬于哪種不平衡呢？
①根據上邊的幾種情況，我們需要知道兩個方向，在回溯時可以記錄一下該結點到下一個結點的方向0：左、1：右為第二個方向，傳遞給上一層中，那么上層中的方向就是一個方向，有了這兩個方向就能確定是哪種不平衡了。
還就上邊的圖說吧~可以定義一個全局變量secdirection（第二個方向），也可在遞歸中定義一個局部變量，返回給上一層。在回溯到a中時，secdirection=1，到x的時候
x->a的方向也為1，定義firdirection=1；而這時x:bf=-2；那么就找到了最小不平衡子樹的根結點x，又知道了兩個方向，那么進行相應的平衡操作不就行了。
②其實我代碼中的就是按照①寫的，可是剛又想了，其實不用用個變量記錄第二個方向，可以根據a的bf確定它的第二個方向，a:bf=-1說明右孩子的深度增加，y加到右孩子上；
a:bf=1;說明左孩子的深度增加，y加到左孩子上；
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好了，找到了最小不平衡子樹的根結點x了，也知道了那種不平衡，調用keepbalance(...)就使樹平衡了，可是某些結點的平衡因子在變換是變了~~咋辦？
我就是一種一種情況推出來的，不知道別人怎么變的，每一種情況都有固定的幾個點變了，變成了一個固定的值！誰有更好的辦法，請多多指教！
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下邊一一列出（插入操作中）變換后bf改變的結點及值：
左左：前a->bf=1 后?x->bf=0,a->bf=0；右右：前a->bf=-1 后x->bf=0,a->bf=0；顯然左左與右右的x與a變換后的bf都為0；
左右、右左中結點bf的改變要根據之前c的bf！
左右：若c->bf=1,則x->bf=-1,a->bf=0,c->bf=0；若c->bf=-1,則x->bf=0,a->bf=1,c->bf=0；若c->bf=0,則x->bf=0,a->bf=0,c->bf=0；
右左：若c->bf=1,則x->bf=0,a->bf=-1,c->bf=0；若c->bf=-1,則x->bf=1,a->bf=0,c->bf=0；若c->bf=0,則x->bf=0,a->bf=0,c->bf=0；
可以發現，當左右、右左的c->bf相同時x與a的bf剛好取相反的值。
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好了，到現在插入一個結點的二叉樹終于平衡了，相應的平衡因子也修改了！插入算是完成了！！
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刪除時：
刪除類似插入的操作，蛋又不同，刪除會有一些特殊情況需要特殊處理，當然核心操作“保持平衡”是不變的！
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刪除時少一個結點，也就是該結點所在的子樹深度可能會減小，而插入時多一個結點，該結點所在的子樹深度可能會增加，
所以遞歸刪除一個結點時，回溯時找到最小不平衡子樹的根結點時，要向相反的方向去找屬于哪種情況；
如圖：
y為要刪除的結點；
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圖①：y結點刪除后，回溯到x結點x:bf=-1變為x:bf=-2；則需從相反方向即從x的右孩子的方向向下檢查屬于哪種情況，顯然第一個方向為1：右；
第二個方向看a:bf的值——若為1時，那就相當于插入時‘右左’的情況；若為-1時，那就相當于插入時‘左左’的情況；可現在a:bf既不是1也不是-1
而是0，這就是刪除的特殊情況了！我們不妨試試對他進行類似于插入時的‘右右’操作，看怎么樣~?? ?如上圖，經過變換后該子樹平衡了！但是因子的
修改就跟插入時的‘右右’不一樣了！此時變為：x:bf=-1,a:bf=1；所以我們不妨就把a:bf=0也歸納為刪除的‘右右’或‘左左’（如圖②，不再敖述）操作；
那么刪除時因子的改變需在插入時因子的改變中添加上：
左左：前a:bf=0 后x:bf=1,a:bf=-1； 右右：前a:bf=0 后x:bf=-1,a:bf=1；其他不變！
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插入時結束結點平衡因子的修改，直接返回（也就是該樹已經平衡了）：
回溯時發現兒子結點的平衡因子為0（當發現不平衡結點，并進行平衡操作后，平衡后根結點的bf一定為0，也結束了）
但是刪除時結束結點平衡因子的修改，直接返回，就與插入時不一樣了：回溯時發現兒子結點的平衡因子為-1或1！
再刪除操作中，平衡一個子樹后，該子樹的深度不一定不變，而只有上邊那種特殊情況該子樹的深度不變，其他都會變！
可以想象，其實是很簡單的道理：除了特殊情況其他都與插入的情況一模一樣，說白了就是把深度大的子樹（根結點的其中一個）向深度小子樹貢獻一個深度，
那么這樣一來，該子樹（對于根結點所領導的樹）的深度是不是比原來的小1了？！所以要繼續向上一個一個進行檢索，直到根結點為止！
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好了，到這里刪除也算是說完了，可以貼代碼了吧~
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平衡二叉樹的C實現：
View Code #include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>typedef int Elemtype;typedef struct Balanced_Binary_Tree{Elemtype e;int bf;struct Balanced_Binary_Tree *child[2];}*AVL;///------------簡單的位操作-------------------void setbit(char *i,char val,char pos){if(pos==1)(*i)=(*i)|1;else{if(val==1) (*i)=(*i)|2;else (*i)=(*i)&1;}}char getbit(char i,char pos){///調試時，發現這里能返回2///// return (i&pos); 出錯的地方return (i&pos)&&1;/}///--------------------------------------------///-----------生成一個結點---------------------AVL createnode(Elemtype e){AVL node=NULL;node=(AVL)malloc(sizeof(struct Balanced_Binary_Tree));node->e=e; node->bf=0;node->child[0]=node->child[1]=NULL;return node;}///---------------------------------------------///★★★★★★★★AVL的核心操作★★★★★★★★★★★★///★★★★★★★★★保持平衡★★★★★★★★★★★★★★//改變因子函數void setfactor(AVL f,int button){char fir=button/10,sec=button%10;AVL s=f->child[fir],ss=s->child[sec];char choice=ss->bf;int a=1,b=0;//調試時發現，刪除時的特殊情況//插入時，不會有這種情況，若button=0,則s->bf=1///若button=11，則s->bf=-1；然而刪除時，卻會出現//button=0或者button=11時 s->bf=0!!!!!!!/那么這種特殊情況，平衡后所得的因子就跟一般的///不一樣了!!!如下///if(button==0 && s->bf==0) f->bf=1,s->bf=-1;else if(button==11 && s->bf==0) f->bf=-1,s->bf=1;///else if(button==0 || button==11){f->bf=0;s->bf=0;}else{/寫博客時，發現這里有問題///// if(button==1) choice=-choice;/但是為什么我測試的時候怎么都對?!////經再次測試，上邊確實錯了!!!/改為下邊應該就對了吧///if(button==1) {a^=b,b^=a,a^=b;}if(choice==-1) f->bf=a,s->bf=b;else if(choice==0) f->bf=s->bf=0;else f->bf=-b,s->bf=-a;ss->bf=0;}}//兩節點變換函數void conversion(AVL *T,char direction){AVL f=*T,s=f->child[direction];f->child[direction]=s->child[!direction];s->child[!direction]=f;*T=s;}//保持平衡函數void keepbalance(AVL *T,char fir,char sec){AVL *s=&((*T)->child[fir]);int button=fir*10+sec;if(button==0 || button==11){setfactor((*T),button);conversion(T,fir);}else{setfactor((*T),button);conversion(s,sec);conversion(T,fir);}}///★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★///------------插入時的選向操作-------------------void selectforInsert(AVL *T,char *info,int direction){AVL cur=*T;char firdirection,secdirection;if(direction==0) (cur->bf)++;else (cur->bf)--;if(cur->bf==0) setbit(info,1,1);else if(cur->bf==-1 || cur->bf==1) setbit(info,direction,2);else{ firdirection=direction;secdirection=getbit(*info,2);keepbalance(T,firdirection,secdirection);setbit(info,1,1);}}//----------------------------------------------//*************插入操作************************//char InsertAVL(AVL *T,Elemtype e){ //可用于查詢char info;if(!(*T)){(*T)=createnode(e);return 0;}else if((*T)->e==e) return -1;else if((*T)->e>e)//左{info=InsertAVL(&((*T)->child[0]),e);if(getbit(info,1)) return info;selectforInsert(T,&info,0);}else //右{info=InsertAVL(&((*T)->child[1]),e);if(getbit(info,1)) return info;selectforInsert(T,&info,1);}return info;}//*********************************************////-------------刪除時的選向操作--------------------void selectforDelete(AVL *T,char *info,char direction){AVL cur=(*T);char firdirection,secdirection;if(direction==0) (cur->bf)--;else (cur->bf)++;if(cur->bf==0) *info=0;else if(cur->bf==-1 || cur->bf==1) *info=1;else{firdirection=!direction;///調試時，發現這里少寫了一個等號// if(cur->child[firdirection]->bf=1) secdirection=0;草，真帥氣!原來1==a這樣寫確實有必要!if(1==cur->child[firdirection]->bf) secdirection=0;/else secdirection=1;keepbalance(T,firdirection,secdirection);////調試時，發現經過子樹平衡操作后，*info不一定都是0，就是那個特殊情況，在setfactor中////的那種特殊情況時，這里*info應改為1! 所以代碼改如下：///// *info=1; 寫代碼時：這跟插入可不一樣啊...該子樹平衡了，它父節點的因子比變!// *info=0;//因此，這還沒完還要是0!! ............啊……這里不一定是0! 還是那個特殊情況搞的鬼!//if(cur->bf==0) *info=0;else *info=1;/}}//------------------------------------------------//-------------變向遞歸--輔助刪點-----------------char find(AVL *gogal,AVL *p){char info;AVL tp=NULL;if(NULL!=(*p)->child[0]){info=find(gogal,&((*p)->child[0]));if(info!=0) return info;selectforDelete(p,&info,0);}else{(*gogal)->e=(*p)->e;tp=(*p)->child[1];free((*p));*p=tp;info=0;}return info;}//------------------------------------------------//**************刪除操作*************************//char DeleteAVL(AVL *T,Elemtype e){char info;AVL tp=NULL;if(!(*T)) return -1;//原if(!T) return -1;于2011年11月29日8:59:15修改else if((*T)->e==e){if(NULL!=(*T)->child[1]){info=find(T,&((*T)->child[1]));if(info!=0) return info;selectforDelete(T,&info,1);}else{//調試時，發現這樣寫不對!!!///// (*T)=(p=(*T)->child[0])-(free((*T)),0);//Just save a variable! 這里出問題// (*T)=p-(free((*T)),0); 可以// (*T)=(p=((*T)->child[0]))+(free((*T)),0); 不可以tp=((*T)->child[0]);free((*T));*T=tp;//調試時，發現這里漏了給info賦值info=0;///}}else if((*T)->e>e){info=DeleteAVL(&(*T)->child[0],e);if(info!=0) return info;selectforDelete(T,&info,0);}else{info=DeleteAVL(&(*T)->child[1],e);if(info!=0) return info;selectforDelete(T,&info,1);}return info;}//************************************************////*****************JUST FOR TEST************************//#define MOVE(x) (x=(x+1)%1000)AVL queue[1000];void print(AVL p,int i){int front,rear,temp,count;front=rear=-1; count=temp=0;queue[MOVE(rear)]=p; count++;printf("%d\n",i);while(front!=rear){p=queue[MOVE(front)]; count--;if(p->child[0]) queue[MOVE(rear)]=p->child[0],temp++;if(p->child[1]) queue[MOVE(rear)]=p->child[1],temp++;printf("%d->%d ",p->e,p->bf);if(count==0){printf("\n");count=temp;temp=0;} }printf("\n");}//**************************************************//int main(){AVL T=NULL;int i,nodenum=0;freopen("input.txt","w",stdout);nodenum=100;for(i=0;i<nodenum;i++){InsertAVL(&T,i);}print(T,-1);for(i=0;i<nodenum-1;i++){DeleteAVL(&T,i);print(T,i);}return 0;}?
那個位操作函數，使程序好像很復雜似的，完全可以用一個外部結構體替換！只是我不想用外部變量，盡量在函數內完成吧
由于本人比較笨，寫了很長時間~~有什么不正確的，歡迎指正！！！
這些圖費了很大功夫才弄好，本來在編輯框里畫的好好的，可是一發表，那些圖有些就亂了，剛開始我還試著一個一個對照著修改，看最終發現還是不行……最后忽然想到我怎么不在編輯框中截圖呢？最后在編輯框中一個一個截圖一個一個上傳，這樣效果好多了！費這么大功夫只為一點：讓讀者看著舒服，容易理解。
我還想說：開這個博客園以來，也沒多長時間，蛋把我氣的不淺！每次都是搞好程序，準備到這里寫博客時，就是打不開！氣死我了！卡死啦！有時候確實是我網速慢，但有時候網速好了也很難打開啊！你說你還是程序員的家園！看你卡的，我都無語了！網速稍微慢點就打不開，就這浪費了我很多時間！我對博客園很失望！！
朋友們，你們感覺呢？
總結
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