? ? ? ? ?數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)題中解法千變?nèi)f化，但分析最近幾年的趨勢來看，有一種比較重要的思想->樹上差分。（會樹剖的大神不要嘲笑，雖然很多時候樹剖都能很好解決QwQ）。至少，樹上差分熟練的話還是可以解決很多問題的。這里就先分析兩種基本的差分思路。

1.找被所有路徑共同覆蓋的邊。

? ? ? ? ?可能這樣講不是很詳細(xì)，那就看一道例題【Noip2015】運(yùn)輸計劃（【Bzoj4326】）。大意是有許多條運(yùn)輸路徑，讓你在把一條邊的用時不計的情況下找到最大路徑的最短用時?？吹竭@題很明顯想到二分答案，而對于每一個答案，我們要記錄超過此答案的計劃。之后我們該怎么辦呢，如果有一條邊被所有計劃共同覆蓋，且去掉它（用時降為0）后能使得其中超答案時間最多的邊都不超時，那便是可行答案。而我們就要來分析一下如何找這條邊。

? ?首先我們除了一般的grand，depth等數(shù)組以外，多開兩個數(shù)組：tmp和prev。tmp用來記錄點(diǎn)的出現(xiàn)次數(shù)（具體點(diǎn)說實(shí)際上記錄的是點(diǎn)到其父親的邊的出現(xiàn)次數(shù)），prev記錄每個點(diǎn)到其父親的那條邊（這里根據(jù)題目記的權(quán)值，有必要時也可以記編號）。對于一條起點(diǎn)s，終點(diǎn)t的路徑。我們這樣處理：tmp[s]++,tmp[t]++,tmp[LCA(s,t)]-=2。（記住：最后要從所有葉結(jié)點(diǎn)把權(quán)值向上累加。）以一次操作為例，我們來看看效果（可以畫一張圖）。首先tmp[s]++，一直推上去到根，這時候s到root的路徑訪問次數(shù)都+1，tmp[t]++后，t到lca路徑加了1，s到lca路徑加了1，而lca到根的路徑加了2。這時，我們只需要tmp[LCA(s,t)]-=2，推到根，就能把那些多余的路徑減掉，達(dá)到想要的目的。而這是一次操作，對于很多次操作的話，我們只需要維護(hù)tmp，而不必每次更新到根，維護(hù)好tmp最后Dfs一遍即可。這時如果tmp[i]==次數(shù)的話，說明i到其父親的邊是被所有路徑覆蓋的。

? ? ? ? ?光是看起來可能很麻煩，建議畫一張圖模擬一個簡單的過程。代碼實(shí)現(xiàn)的話可以參考這個運(yùn)輸計劃中的二分check過程...丟上來。（如果像這樣多次找的話注意tmp的重置。）（kth可以暫時不用管，這只是這道題中維護(hù)的點(diǎn)的編號。）

bool check(int x){ int cnt=0,dist=0; memset(tmp,0,sizeof(tmp)); for(int i=1;i<=m;i++){ if(Q[i].Dis > x){ tmp[Q[i].s]++;tmp[Q[i].t]++; tmp[Q[i].lca] -= 2; dist=chkmax(dist,Q[i].Dis-x); cnt++; } } if(!cnt) return true; for(int i=n;i>1;i--) tmp[grand[kth[i]][0]] += tmp[kth[i]]; for(int i=2;i<=n;i++) if(tmp[i]==cnt && prev[i]>=dist) return true; return false; }

2.將路徑上的所有點(diǎn)權(quán)值加一，求最后點(diǎn)的權(quán)值。

? ? ? ? ? ?乍一看和上一個操作是差不多的，但實(shí)際上還是有一些不同，如果自己在畫圖中發(fā)現(xiàn)問題就能體會到這種差異。

? ? ? ??而對于這種操作，我們該怎么實(shí)現(xiàn)呢？首先還是通過例題了解具體操作，這里推薦【JLOI2014】松鼠的新家（【Bzoj3631】）大意是有一些路徑，每次經(jīng)過時要將路徑上的所有點(diǎn)權(quán)值加上1。對于這種操作，我們?nèi)孕枰粋€tmp數(shù)組。這里的tmp記錄的就是點(diǎn)被訪問的次數(shù)（也可以說是累加的權(quán)值）。這個操作的具體實(shí)現(xiàn)和上一個思想類似（都是差分）實(shí)現(xiàn)的話也只有少許不同。此操作中我們這樣維護(hù)：每次經(jīng)過一條邊，（如從u到v）我們讓tmp[u]++,tmp[v]++,tmp[LCA(u,v)]--,tmp[grand[LCA(u,v)][0]]--。（最后要把tmp推上去）以一次添加為例想象一下，首先u到根的路徑上tmp都+1，此時u到根間結(jié)點(diǎn)tmp都為1，之后v到根路徑上tmp+1，此時u到LCA前一個，v到LCA前一個點(diǎn)的tmp都+1，而LCA到根的所有點(diǎn)都+2，然后從tmp[LCA]--,更新上去，此時u-v路上所有tmp都+1，已經(jīng)達(dá)到目的。而多余的是什么部分呢，也就是LCA的上一個結(jié)點(diǎn)（grand[LCA][0]）到根的這一段都多加了1，所以tmp[grand[LCA][0]]--,更新上去，也就完成了。實(shí)際操作時也不需要每次更新都推上去，只要把四個tmp維護(hù)好，最后Dfs走一邊就更新完了。

如果理解不了的話建議還是畫一張圖（...可以理解的...吧...？）反正體會其中的思想，自己多模擬過程。（這個

...）不知道是不是表達(dá)能力的問題（自以為還是表達(dá)清楚了的）...實(shí)在看不懂的話...我也很難過啊。

代碼也扔一個（一小段）

void pushdown(int x) { for(int i=head[x];i;i=next[i]) { if (to[i]==grand[x][0]) continue; pushdown(to[i]); tmp[x]+=tmp[to[i]]; } } int main(){ n = read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i] = read(); for(int i=1;i<n;i++){ x = read();y = read(); Add(x,y);Add(y,x); } Dfs(a[1]); for(int i=1;i<n;i++){ int u = a[i],v = a[i+1]; tmp[u]++;tmp[v]++; tmp[Lca(u,v)]--; tmp[grand[Lca(u,v)][0]]--; } pushdown(a[1]); for(int i=2;i<=n;i++) tmp[a[i]]--; for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",tmp[i]); return 0; }

反正注意兩種操作的相同與不同之處，可以多刷一些題加深理解，這篇文也許（hhh也許）還會更新，如果

有新的差分思路或者好題啥的，還會update的。

看不懂的話可以加qq騷擾我辣，雖然加了也不一定講得清...反正反正反正qwq...要知道我講得這么不清楚是

愛得深沉的表現(xiàn)知道嗎？？！

hhhhhhhhhhhhhh又精神分裂了，反正記住是因?yàn)橄胫v清（導(dǎo)致講得不清...？）hhhhh。就這樣，講得爛不

要噴我，不接受。hhhhhhh。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【瞎扯】树上差分的基本思路的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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