前言

考場上沒想出來，收到來自題目標題的嘲諷

題目大意

求 $\sum _{i=1}^n\frac{i!}{i^k}\left(\mathrm{mod}998244353\right)$ ，其中 $n(1\le 2\times 10^7),k(1\le k\le 2\times 10^7)$ 為輸入給出。

解題思路

對于暴力思路，直接爆算即可，時間復雜度為 $O\left(\left({\log }_{2}k+{\log }_{2}998244353\right)\times n\right)$ 大常數 $O(n)$ 但常數太大，過不去。
考慮優化——預處理。我們可以預處理出 $1～n$ 范圍內所有數的 $k$ 次方在$\mathrm{mod}998244353$ 意義下的逆元，進一步思考，由于 $a=b\times c$ 則 $a^{?1}=b^{?1}\times c^{?1}$，可以使用歐拉篩進行處理。具體地說，就算對于每個質數，可以直接計算其 $k$ 次方的逆元：

for(int i=2;i<=n;i++){if(!a[i]){ans[++tot]=i;a[i]=_pow(_pow(i,m),Mod-2);//此處}for(int j=1;j<=tot&&ans[j]*i<=n;j++){a[ans[j]*i]=a[ans[j]]*a[i]%Mod;if(i%ans[j]==0)break;}}

而對于合數，則將其拆成兩個數相乘，借此得到其逆元：

for(int i=2;i<=n;i++){if(!a[i]){ans[++tot]=i;a[i]=_pow(_pow(i,m),Mod-2);}for(int j=1;j<=tot&&ans[j]*i<=n;j++){a[ans[j]*i]=a[ans[j]]*a[i]%Mod;//此處if(i%ans[j]==0)break;}}

代碼實現

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const long long Mod=998244353; long long n,m,tot,a[20000010],output,now=1; int ans[5000010]; long long _pow(long long d,long long z) {long long ans=1;while(z){if(z&1)ans=ans*d%Mod;d=d*d%Mod;z>>=1;}return ans; } int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);freopen("math.in","r",stdin);freopen("math.out","w",stdout);cin>>n>>m;a[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!a[i]){ans[++tot]=i;a[i]=_pow(_pow(i,m),Mod-2);}for(int j=1;j<=tot&&ans[j]*i<=n;j++){a[ans[j]*i]=a[ans[j]]*a[i]%Mod;if(i%ans[j]==0)break;}}for(int i=1;i<=n;i++){ // cout<<a[i]<<"\n";now=now*i%Mod;output=(output+now*a[i])%Mod;}cout<<output;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的GDKOI2023 D1T1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。