果然，我還是沒有看平臺式慣導的初始對準和高度通道，而是直接來到了捷聯(lián)慣導的部分。之前看過四元數(shù)部分的內(nèi)容，所以現(xiàn)在就當是復習了。回顧一下我之前做的筆記，好像沒有四元數(shù)微分方程，所以還是在這記錄一下吧，也可以說搬運一下。

---

在捷聯(lián)慣導中，表征從導航系n系到機體系b系的四元數(shù)為：

$$Q=cos\frac{\theta }{2}+u^{n}sin\frac{\theta }{2}$$

式中，剛體繞瞬時軸$u^n$（單位向量）旋轉(zhuǎn)。
兩邊求導可得：

$$\frac{dQ}{dt}=?\frac{\dot{\theta }}{2}sin\frac{\theta }{2}+u^n\frac{\dot{\theta }}{2}cos\frac{\theta }{2}+sin\frac{\theta }{2}\frac{d{u}^n}{dt}$$

可以這樣理解，$u^n$為某一瞬時固定軸，是一個常量，所以其導數(shù)為0，則：

$$\frac{dQ}{dt}=?\frac{\dot{\theta }}{2}sin\frac{\theta }{2}+u^n\frac{\dot{\theta }}{2}cos\frac{\theta }{2}$$

對于$u^n\frac{\dot{\theta }}{2}$和四元數(shù)$Q$的乘積有：

$$u^n\frac{\dot{\theta }}{2}?Q=u^n\frac{\dot{\theta }}{2}?(cos\frac{\theta }{2}+u^n\frac{\dot{\theta }}{2})=u^n\frac{\dot{\theta }}{2}cos\frac{\theta }{2}+u^n?u^n\frac{\dot{\theta }}{2}sin\frac{\theta }{2}$$

而$u^n?u^n=?1$，所以：

$$u^n\frac{\dot{\theta }}{2}?Q=u^n\frac{\dot{\theta }}{2}cos\frac{\theta }{2}?\frac{\dot{\theta }}{2}sin\frac{\theta }{2}=\frac{dQ}{dt}$$

即：

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{\dot{\theta }}{2}{u}^n?Q$$

其中，$
\dot{\theta}\vec{u}^n
$表示角速度標量與角速度方向的乘積即為角速度矢量。這里旋轉(zhuǎn)方向從n系到b系，在n系上的投影，如下：

$$\dot{\theta }{u}^n={\omega }_{nb}^n$$

所以：

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{1}{2}{\omega }_{nb}^n?Q$$

$ \vec{\omega}{nb}^n $ 需要通過 $ \vec{\omega}{nb}^b $ 求得：

$${\omega }_{nb}^n=Q?{\omega }_{nb}^b?Q^{?}$$

即：

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{1}{2}{\omega }_{nb}^n?Q=\frac{1}{2}Q?{\omega }_{nb}^b?Q^{?}?Q=\frac{1}{2}Q?{\omega }_{nb}^b$$

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{1}{2}{M}^{\prime }({\omega }_{nb}^b)Q$$

這就是四元數(shù)微分方程

式中：

$${\omega }_{nb}^b={\omega }_{ib}^b?{\omega }_{in}^b={\omega }_{ib}^b?C_n^b{\omega }_{in}^n={\omega }_{ib}^b?C_n^b({\omega }_{ie}^n+{\omega }_{en}^n)$$

${\omega }_{ib}^b$ 為捷聯(lián)陀螺的輸出；
$C_n^b$由姿態(tài)更新的最新值確定；
${\omega }_{ie}^n$ 和 ${\omega }_{en}^n$分別為導航系相對于地球的角速度和地球自轉(zhuǎn)角速度在導航系上的投影，對于導航系取地理坐標系的情況：

$${\omega }_{ie}^n+{\omega }_{en}^n=?\begin{array}{c}?\frac{V_N}{R_M}\\ \\ {\omega }_{ie}cosL+\frac{V_E}{R_N}\\ \\ {\omega }_{ie}sinL+\frac{V_E}{R_N}tanL\end{array}?$$

這在指北方位慣導系統(tǒng)的平臺指令角速度中已經(jīng)證明過。

---

感覺最近推導的公式有點多，思緒有時候很混亂，所以打算捋一捋思緒，不知道又要有多長時間。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的016四元数微分方程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。