電大計算機本科【計算機數學基礎(1)】形成性考核冊答案(附完整題目)

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電大【計算機數學基礎(1)】形成性考核冊答案【計算機數學基礎(1)】形考作業一： 第1章　命題邏輯 一、單項選擇題 1. 下列語句是真命題為( )． A. 我正在說謊　　 B.　如果1+2=3，則雪是黑的　　C. 如果1+2=5，則雪是黑的　 D. 你上網了嗎？ 答案：C 解答：A. 我正在說謊，這是勃論．“我正在說”的真值應是1，但是說的是錯話，真值為0．故是勃論．B.　這是蘊涵式．令P：1+2=3，真值為1；Q：雪是黑的，真值為0，于是1?0?0．“如果1+2=3，則雪是黑的”是假命題．C. 令P：1+2=5，真值為0；Q：雪是黑的，真值為0，于是0?0?1．于是“如果1+2=5，則雪是黑的”是真命題．選項C正確．D. 這是疑問句，不是命題． 2. 命題公式P?(Q?P)為( )． A. 重言式　　B.　可滿足式　　C.　矛盾式　　D.　等值式 答案：A． 解答：P?(Q?P)??Pú(?QúP)?(?PúP)?Q?1．故選擇A． 二、填空題 1. P,Q為兩個命題，當且僅當 時，PùQ的真值為1，當且僅當　　　時，PúQ的真值為0． 答案：P?1ùQ?1 (或P的真值為1且Q的真值為1)；P?0ùQ?0． 解答：見教材關于合取ù與析取ú的真值表． 2. 給定兩個命題公式A，B，若　　　　，則稱A和B時等值的，記作A?B． 答案：A?B?1 解答：見教材“等值”的定義． 3. 任意兩個不同極小項的合取為　　　　，全體極小項的析取式為　　　　式． 答案：永假式；永真．解答：見教材第22頁的兩條性質． 三、計算題 1. 將下列命題符號化； (1) 李強不是不聰明，而是不用功． (2) 如果天不下雨，我們就去郊游． (3) 只有天不下雨，我們才去郊游．解答：(1) 令P：李強聰明，Q：李強用功． 原命題符號化為“?(?P)ù?Q” (2) 令P：天下雨；Q：我們去郊游．原命題符號化為“?P?Q” (3) 令P：天下雨；Q：我們去郊游．原命題符號化為“Q??P”2. 給出下列公式的真值表；(1) (PùQ?R)?PùQù?R； (2) (?PúQ)ù(Q?R)??(Pù?R)解　(1) 　命題公式(PùQ?R)?PùQù?R 的真值表PQRPùQPùQ?R?RPùQù?R(PùQ?R)?PùQù?R0000110000101000010011000110100010001100101010001101011111111000(2) 命題公式(?PúQ)ù(Q?R)??(Pù?R)的真值表PQR?PúQQ?R Pù?R?(Pù?R)(?PúQ)ù(Q?R)??(Pù?R)00011011 00111011011001101111011100011011010101 11101010111111011 3. 給P和Q指派真值1，給R和S指派真值0，試給出下列命題的真值：(1)Pú(QùR).解　Pú(QùR)?1ú(1ù0)?1ú0?1 4. 判斷下列命題公式的類型：(1)　P?(PúQúR)．解　P?(PúQúR)??PúPúQúR?1 6. 通過求命題公式(PúQ)?R的主合取范式，求其真值為0的真值指派． 解　方法1．等值演算法． (PúQ)?R??(PúQ)úR?(?Pù?Q)úR?(?PúR)ù(?QúR)?(?Pú(Qù?Q)úR)ù((Pù?P)ú?QúR)???M4ùM6ùM2 命題公式(PúQ)?R的成假賦值為：(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)．注：由此馬上可以得到命題公式(PúQ)?R的主析取范式為　　　　　　　(PúQ)?R?m0úm1úm3úm5úm7 ?(?Pù?Qù?R)ú(?Pù?QùR)ú (?PùQùR)ú (Pù?QùR)ú (PùQùR) 方法2．列真值表法 　　　　　　　　　　命題公式(PúQ)?R的真值表PQRPúQPúQ?R000010010101010　0111110010101111101011111 取命題公式(PúQ)?R為0的析取項的合取為所求主合取范式(表中末列的第3,5,7行)： (PúQ)?R?取命題公式(PúQ)?R為1的合取項的析取為所求主析取范式(表中末列的第1,2,4,6,8行)：(PúQ)?R?(?Pù?Qù?R)ú(?Pù?QùR)ú (?PùQùR)ú (Pù?QùR)ú (PùQùR) 7. 試求命題公式化PùQúR的主析取范式和主合取范式． 解　先求主析取范式．PùQúR?(PùQù(Rú?R))ú((Pú?P)ù(Qú?Q)ùR)?(PùQùR)ú (PùQù?R)ú(PùQùR)ú (?PùQùR)ú (Pù?QùR)ú (?Pù?QùR)?(PùQùR)ú (PùQù?R)ú (?PùQùR)ú (Pù?QùR)ú (?Pù?QùR)?m7úm6úm3úm5úm1再求主合取范式．PùQúR?(PùQ)úR?(PúR)ù(QúR)? (Pú(Qù?Q)úR)ù((Pù?P)úQúR)?(PúQúR)ù (Pú?QúR)ù (PúQúR)ù (?PúQúR)?(PúQúR)ù (Pú?QúR)ù (?PúQúR)?M0ùM2ùM4 四、證明題 1. 用等值演算法證明Pù(P?Q)?Q為重言式． 證明　Pù(P?Q)?Q?Pù(?PúQ)?Q??((Pù?P)ú(PùQ))úQ?(?Pú?Q)úQ??Pú(?QúQ)?1 3. 構造下面推理的證明：(1)前提：R??Q，RúS，S??Q，P?Q．結論：?P． 證明　方法1．用歸謬法(反證法)．① ?(?P ) 否定結論引入 ②　P 　　T① E1 ③ P?Q 　　前提引入 ④　Q T②,③,I11假言推理⑤ ??Q T④,E1⑥ R??Q 前提引入⑦ ?R T⑤，⑥，I12拒取式 ⑧ RúS 前提引入 ⑨ S T⑦,⑧，I10析取三段論 ⑩ S??Q 前提引入11 ?Q T⑨,⑩，I11假言推理12 Qù?Q T④,　11　，矛盾．　　　　　方法2．直接證明．① R??Q 前提引入 ②　?RúQ T① E16 ③ S??Q 　　前提引入 ④　?Sú?Q T,③,E16⑤ (?Rú?Q)ù(?Sú?Q) T ②,④，I9合取引入1⑥ ?(RúS)ú?Q T⑤，⑦ RúS 前提引入　　　 ⑧ ?Q T⑥,⑦，I10析取三段論 ⑨ P?Q 前提引入 ⑩ ?P T⑧,⑨，I12拒取式　　　注：還有其它方法，如證明　　　((R??Q)ù(RúS)ù(S??Q)ù(P?Q))??P是永真式(即真值為1)．請同學自己練習． 第2章　謂詞邏輯 一、單項選擇題 1. 設L(x)：x是演員，J(x)：x是教師，A(x,y)：x佩服y．命題“所有演員都佩服某些教師”．可符號化為( )． A． B．C． D． 答案：B． 解答：選項A顯然不對，公式中y是什么都沒有交待． 選項B中，公式翻譯出來為“任給x，如果x是演員，就存在y(有一些y)，若y是教師，都有演員佩服教師”，也即“所有演員都佩服某些教師”．此命題中，L(x)和J(x)都是特性謂詞，對全稱量詞"，特性謂詞后用?，對存在量詞$，特性謂詞后用ù，見教材第41頁14～15行．故選項B正確． 選項C中，公式翻譯出來為“任給x，x是什么沒交待，緊跟其后存在y，y是什么，沒交待，關系亂．故選項C不正確． 選項D中，公式翻譯出來為“任給x，x是什么沒交待，緊跟其后存在y，y是什么，沒交待，關系亂，且沒有蘊涵聯結詞?．故選項D不正確． 2. 與是( )． A. 等價式　　B.　蘊含式　　　C.　重言蘊含式 答案：A． 解答： 選項A，對任意解釋I，有DI，"xA(x)要么是1,要么是0，但是B是命題，它的真值是確定的．先看"xA(x)?B的真值．若B?1，有；若B?0，有　　再看"xA(x)?"(x)B的真值．因為B與x無關，"xB的真值與B的真值相同．有若B?1，則"xB?，有；若B?0，則"xB?1，有 可見，?．故選項A正確． 從上面的解釋可知，? 但是要注意：與不等值．而是?． 二、填空題 2. 公式中的自由變元為　　　，約束變元為　　　　　． 答案：x，y；x，z． 解答：在中x是約束變元，y是自由變元．在中約束變元是z，自由變元是y．在S(x)中只有自由變元x．總之，在公式中約束變元是x，z；自由變元是x，y． 三、計算題 1. 在謂詞邏輯中，將下列命題符號化：(1) 有些人喜歡所有的花；(2) 盡管有人聰明，但未必每個人都聰明． 解　(1) 設M(x)：x是人，F(x)：x是花，L(x,y)：x喜歡y． 命題“有些人喜歡所有的花”符號化為：． (2) 設M(x)：x是人，H(x)：x是聰明．命題“盡管有人聰明，但未必每個人都聰明”符號化為：或 2. 對下面每個公式指出約束變元和自由變元：(1) $x"y(P(x)ùQ(y))?"xR(x)； (2) $x$y(P(x,y)ùQ(z))． 解　(1) $x"y(P(x)ùQ(y))?"xR(x)中的約束變元是：x，y；無自由變元． (2) $x$y(P(x,y)ùQ(z))中的約束變元是：x，y；自由變元是：z． 3. 設個體域D={a,b,c}，試將下列各式化為不含量詞的形式：(1) "xF(x)ù$xG(x)； (2) "x(P(x)?Q(x))． 解　(1) "xF(x)ù$xG(x)?F(a)ùF(b)ùF(c)ù(G(a)úG(b)úG(c))； (2) "x(P(x)?Q(x))?(P(a)?Q(a))ù(P(b)?Q(b))ù(P(c)?Q(c))． 4. (1) 已知解釋I如下：個體域DI={－2,3,6}；DI中的特殊元素e=6，P:3>2，Q(x)：x￡3，R(x)：x>5．求"x(P?Q(x))úR(e)的真值． (2) 已知解釋N如下：個體域DN={2}；P(x)：x>3，Q(x)：x=3．求$x(P(x)?Q(x))． 解　(1) "x(P?Q(x))úR(e)?(P?Q(－2))ù(P?Q(3))ù(P?Q(6))úR(6)?(1?1)ù(1?1)ù(1?0) ú1?1ù1ù0ú1?0ú1?1(2) $x(P(x)?Q(x))?P(2)?Q(2)?0?0?1 5. 求謂詞公式"xP(x)?"zQ(x,z)ú"zR(x,y,z)的前束范式 解　"xP(x)?"zQ(x,z)ú"zR(x,y,z)? $x?P(x)ú"zQ(x,z)ú"zR(x,y,z) (化去?)　　　　?$u?P(u)ú"vQ(x,v)ú"zR(x,y,z)(約束變元換名)　　　　?$u"v"z(?P(u)úQ(x,v)úR(x,y,z))(擴大量詞的轄域)　　　　?$u"v"z(P(u)?Q(x,v)úR(x,y,z)) 注：最后兩個都是前束范式． 6. 求謂詞公式$x(?$yP(x,y)?($zQ(z)?R(x)))的前束范式 解　$x(?$yP(x,y)?($zQ(z)?R(x)))?$x("y?P(x,y)ú("z?Q(z)úR(x)))(化去?)　　　?$x"y"z(?P(x,y)ú(?Q(z)úR(x)))(擴大量詞轄域)? $x"y"z(P(x,y)?( Q(z)?R(x))) 四、證明題 1. 試證明"xA(x)ú"xB(x)T"x(A(x)úB(x)) 證明　"xA(x)ú"xB(x)T"x(A(x)úB(x))，只須證明"xA(x)ú"xB(x)?"x(A(x)úB(x))?1．方法1．若"xA(x)ú"xB(x)?0，則必有"xA(x)ú"xB(x)?"x(A(x)úB(x))?1； 若"xA(x)ú"xB(x)?1，即對任意解釋I,有DI，"xA(x)?1或"xB(x)?1，即"x?DI，有A(x)?1或"x?DI，有B(x)?1，也就是"x?DI，有A(x)?1或B(x)?1，有"x(A(x)úB(x))?1．即"x(A(x)úB(x))為真． 總之有"xA(x)ú"xB(x)?"x(A(x)úB(x))?1，所以"xA(x)ú"xB(x)T"x(A(x)úB(x))． 方法2．構造證明． ① "xA(x)ú"xB(x) 前提引入 ② A(y)ú"xB(x) T①,US ③ A(y)úB(y) T②,US ④ "y(A(y)úB(y)) T③,UG ⑤ "x(A(x)úB(x) 2. 構造下面推理證明： 前提：$xP(x)?"xQ(x) 結論："x(P(x)?Q(x)) 證明　方法1，歸謬發(反證法)． ① ?"x(P(x)?Q(x)) 否定前提引入 ② ?"x(?P(x)úQ(x)) T①,E16 ③ $x(P(x)ù?Q(x)) T②,否定移入 ④ P(c)ù?Q(c) T③，ES　　⑤ P(c) T④，化簡 ⑥ ?Q(c)　　　　　　　　T④，化簡⑦ $xP(x) T⑤,EG⑧ $xP(x)?"xQ(x) 前提引入　　⑧ "xQ(x) T⑦,⑧，I11,假言推理　　⑨ Q(c) T⑧,US ⑩ ?Q(c)ùQ(c) T⑥,⑨，I9合取引入 方法2． ① $xP(x)?"xQ(x) 前提引入　　② "x?P(x)ú"xQ(x) T①，消去?　　　③ "x(?P(x)úQ(x)) T②，教材第48頁3.(14)(T)　　④ "x(P(x)?Q(x)) T③，E16電大天堂【計算機數學基礎(1)】形考作業二： 第3章　　集合及其運算 一、單項選擇題 1. 設集合A={1,a}，則P(A)=( )． A. {{1},{a}} B. {?,{1},{a}} C. {?,{1},{a,},{1,a}} D. {{1},{a},{1,a}} 答案：C． 解答：依據冪集合的定義，P(A)是由A的所有子集構成的集合，集合A的子集有：?，{1},{a}和{1,a}．故選項A正確． 2. 設A,B,C為任意三個集合，下列命題正確的是( )． A. 若AèB=AèC，則B=C B. 若A?B=A?C，則B=C C. 若～AèB=E且AêB，則A=B D. 若A－B＝?，則A=B 答案：C． 解答：若A={1,2,3}，B={1,2}，C={1},則AèB=AèC，但B1C．故選項A不正確． 若A={a,b}，B={a}，C={a,c}．有A?B=A?C，但B1C．故選項B不正確． 因為AêB，故～A?B=?，又～AèB=E，故～A=～B，所以A=B．故選項C正確． 若AíB，則有A－B＝?．故A－B＝?，得不到A=B．故選項D不正確． 3. 設A,B,C,D為任意四個集合，下列命題正確是( )．. A. (BèC)×A=B×AèC×A　　　　B. (A×B)×C＝A×(B×C)C. (B?C)×A=(B×A)è(C×A)　　　D.　AíC且BíD，則A×C＝B×D 答案：A． 解答：選項A.正確．證明如下．"，?(BèC)×A?b?(BèC)ùa?A?(b?Búb?C)ùa?A?(b?Bùa?A)ú(b?Cùa?A)??B×Aú?C×A??( B×AèC×A) 所以，(BèC)×A=B×AèC×A． 選項B.中笛卡爾積(A×B)×C的有序對是<,c>的形式，而A×(B×C)的有序對是>的形式，它們不相等． 選項C.不正確，舉例說明．如A={a},B={1,2},C={2,3},于是(B?C)×A＝{<2,a>}．而B×AèC×A＝{<1,a>,<2,a>}è{<2,a>,<3,a>}={<1,a>,<2,a>,<3,a>}．所以(B?C)×A1(B×A)è(C×A)．若將右端的è改為?，即有(B?C)×A=(B×A)?(C×A)．證明類似選項A.．請讀者練習． 選項D作為一般結論不成立，正確結論請見教材第83頁定理6．若A=B=?時，結論成立． 二、填空題1 . 填寫下列集合之間的關系：　　　(1) {1,3,7} {3,7}；(2) {5,7}　　　{5,8}；(3) ? {1,3}；(4) {2,3} 　　 {2,3}． 答案：(1) é或ê；　(2) ?或1　　； (3) ì或í； (4) =． 解答：(1) 顯然{3,7}是{1,3,7}的子集，且是真子集，故填寫“é”．一般地，子集用“ê”也可以． (2) 這兩個集合不存在互為集合，填寫“?或1”都不錯．更確切講應說“{5,7}與{5,8}是相交集合”． (3) 空集合?是任何集合的子集，故填寫“ì或í”都可以． (4) 它們是一個集合，相等． 2. 由集合的吸收律，(AèB)?B= ，Aè(A?B)= ． 答案：B；A． 解答：按照教材第72頁：8.　吸收律為A?(AèB)=A．由于交和并的運算都有交換律，故(AèB)?B=B?(BèA)=B．Aè(A?B)=A． 3. 有序對=的充分必要條件是　　　　　． 答案：a=x,b=y． 解答：見教材第3章3.3節有序對的定義10． 三、計算題 1. 用列舉法或描述法表示下列集合： (1) 不超過29的全體素數組成的集合； (2) 不等式的解集． 解　(1) S={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}(列舉法) (2) A={x?x－1>0ùx?}={x?x>1ùx?}(描述法) 2. 設A={x?34，x?}．求 (1) AèB； (2) A－B；　　(3) A?B． 解　(1) AèB={x?(34)ùx?}={x?34，x?}＝{x?3,}；(A×B)?(A×C)＝({a,b}×{1,2,3})?{a,b}×{3,4}={

總結

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