对多旅行商问题：应用、方法和分类进行了全面的综述
摘要：
多旅行商問題( MTSP )是最有趣的組合優化問題之一,因為它被廣泛應用于機器人、交通、網絡等實際應用中。盡管這一優化問題的重要性不言而喻,但目前還沒有專門考察近期MTSP貢獻的調查。本文旨在通過對現有MTSP研究的全面回顧,填補這一空白。在本次調查中,我們重點關注MTSP近期對經典車輛/機器人和無人機的貢獻。重點介紹了求解MTSP的方法及其應用領域。我們對MTSP變體進行了分析,提出了一個分類學和近期研究的分類。
1、介紹和動機
多旅行推銷員問題（MTSP）是眾所周知的旅行推銷員問題的推廣，即多個推銷員只訪問一次給定數量的城市，并以最小的旅行成本返回到初始位置。MTSP與其他優化問題高度相關，如車輛路徑問題[1]和任務分配問題[2]。事實上，mtsp是對VRP的簡易版本，既沒有考慮車輛容量也沒有考慮客戶需求。MTSP在任務分配問題上也有一些共同特點，但MTSP不允許多次訪問和分團訪問。因此，可以使用MTSP的解決方案來解決VRP或任務分配優化問題。
MTSP是最重要的優化問題之一，它適用于現實生活中的所有場景。根據應用要求，MTSP中的銷售人員可以用地面車輛來表示，如機器人，或者用無人駕駛飛行器（UAVs）等飛行器，也稱為無人機。而銷售人員要訪問的城市可以有不同的表現形式，如運輸和送貨服務中的客戶、無線傳感器網絡數據收集的傳感器節點、軍事應用中的目標、緊急任務中的受害者和災害管理應用中的關鍵地點。
考慮到這種優化問題的重要性，我們在本調查中專門回顧、分析和討論最近對MTSP的貢獻，同時強調應用領域和方法，解決經典車輛（即地面機器人、車輛、卡車）和飛行車輛（即無人機和無人機）的問題。
在經典車輛的背景下，文獻中提出了幾項關于車輛路線問題[3-6]和旅行推銷員問題[7,8]的調查，以了解這些優化問題的不同形式以及解決這些問題的方法。僅舉幾個例子，作者在[7]中介紹了一項關于機器人系統路由問題的調查。本文討論了一些基于TSP和VRP的路由解決方案及其擴展，以滿足機器人系統的約束。這些解決方案包括Dubins TSP（DTSP），這是TSP的推廣，其中路徑由Dubins曲線組成；TSP with Neighborhoods（TSPN），其中一個社區與每個城市相關聯，銷售人員需要訪問任何社區；多重旅行商問題（MTSP），最后是廣義非對稱TSP（GATSP）。
[8]中的研究介紹了多目標旅行推銷員問題（MOTSP）的進化算法的比較分析。作者只關注了五種進化算法，即NSGA-II、NSGA-III、SPEA-2、MOEA/D和VEGA，以確定最適合MOTSP問題的算法。
盡管有幾項研究引用了MTSP，但它只在某些章節中提到，而不是上述任何調查的主題。事實上，Bektas[9]提出的關于MTSP的唯一調查可以追溯到2006年，該調查審查了MTSP及其應用，強調了一些公式，并描述了一些精確和啟發式的解決方案。
因此，缺乏專門針對MTSP的分析研究。為了填補這一空白，本調查致力于審查最近的貢獻，這些貢獻集中在MTSP及其變體或使用MTSP來解決現實問題上。
在飛行器的背景下，[10]中的研究提出了一項關注無人機優化問題的調查，并為無人機提出了TSP和VRP的不同變體。[11]中介紹了另一項有趣的研究，其中作者回顧了無人機軌跡優化和無人機路由的貢獻。他們還提供了無人機路由和軌跡優化問題（UAVRTOP）的正式定義，該問題考慮了無人機的運動學和動力學約束。Bothsurvey[10，11]提出了路由問題及其變體、使用的方法和應用等方面的最新研究的分類法。因此，讀者可以大致了解無人機現有的各種路線問題和目標優化。
讀者也可以參考調查報告[12]，它可以提供一個快速進入民用無人機運行規劃主題的起點。在這項調查中，作者總結了與無人機運行規劃有關的重要無人機特征，描述了無人機運行的規劃問題，以及無人機組合和其他車輛運行的規劃問題。他們最終確定了一些新的無人機優化問題，并討論了眾所周知的優化問題（如TSP）的模型擴展。然而，所有這些調查[1012]都只限于無人機的背景。
在我們的論文中，我們提出了一個不同的調查，它是對MTSP的補充，也是對上述調查的補充。
更確切地說，我們的調查提出了以下貢獻：
?介紹MTSP最重要的實際應用。
?分析MTSP現有的各種變體及其正式說明。
?全面回顧了最近對地面和飛行飛行器的貢獻，同時強調了應用領域，并提出了解決每個貢獻的MTSP的方法。
?MTSP的分類法和最新貢獻分類，有助于讀者進行研究，并為未來的研究方向提供指導。
本文獻綜述的其余部分組織如下。首先，我們在第2節中提到了MTSP的不同現實應用。這促使讀者對優化問題進行審查，因為我們表明它被用來模擬幾個現實生活中的應用。然后，我們在第3節中概述了MTSP，分析了現有的主要MTSP變體，并對它們進行了正式的描述。之后，第4節專門回顧了第4.1節中提出的解決地面車輛和機器人的現有方案，以及第4.2節中對飛行器的解決方案。在第5節中，我們提出了對所審查的MTSP研究的分類、分類和分析。然后，在第6節中，我們討論了這些回顧的貢獻并給出了一些未來的方向。最后，我們在第7節中總結了本調查。圖1介紹了本論文的結構圖。
2.MTSP的應用領域
多年來，無人駕駛的移動機器人、車輛和無人機一直被認為是一種新興技術，它使許多復雜的飛行變得安全和容易。為了實現它們的任務，重要的是為每輛車確定一條路徑，該路徑在考慮一些約束的同時優化給定的目標。MTSP已在不同的實際應用中采用，以獲得優化的多條車輛路線。mtsp的主要應用如圖2所示，如下所示：
運輸和交付。
例如貨物配送或包裹遞送，或者公共汽車運輸。車輛負責將貨物、包裹或人員從指定地點運送到另一地點。在這種應用中，應考慮車輛容量和時間限制。此外，卡車車隊可以有效運輸貴重貨物，而無人機可以在很短的時間內運送小包裹[13-17]。隨著無人機技術的出現，一種新的運輸服務被提出，即無人機與卡車協同工作，將包裹遞送給客戶，以顯著縮短遞送時間。
WSN數據收集和網絡連接。
在無線傳感器網絡中，可以部署額外的傳感器節點來轉發所收集的數據，直到數據到達匯點。然而，可以使用多個移動機器人作為移動接收器，從而幫助收集傳感器節點提供的數據。這種數據收集策略可以最大限度地減少位于固定匯點附近的傳感器節點的能量消耗，從而延長網絡壽命[18-22]。作者在[22]中針對傳感器節點的數據收集和能量充電的聯合問題提出了一個多目標優化模型。所提出的多目標模型試圖優化移動機器人的總能量效率，并減少傳感器節點數據傳輸的平均延遲。在延遲容忍網絡中，移動機器人可以通過從源節點獲取數據，然后將其傳遞到目的節點來重新建立網絡連接。在這樣的應用中，可以使用一組無人機來代替地面機器人。其想法是，這些無人駕駛飛行器飛越斷開連接的地面節點，負責收集數據，并充當中繼[18，23，24]。應考慮對存儲容量和數據延遲的限制。
搜救。
當人類生命處于危險之中時，優化搜救行動中的每一秒至關重要[25，26]。在這樣的應用中，確定要訪問的位置，然后優化要遵循的路線。隨著無人機技術的出現，無人機在搜救行動中變得非常實用和有用[26]。
精準農業。
移動機器人廣泛應用于精準農業，例如確保作物監測或灌溉管理。農民需要為每個機器人提供一條優化的路徑，以降低成本并提高產量。地面車輛和無人機對農民都有很大幫助[27-29]。作者在[29]中提出了一種基于云的架構，該架構由WSN、移動機器人和云系統組成，用于監測溫室區域。作者首先生成了移動機器人要訪問的候選區域監測點。然后，他們生成移動機器人到達這些點的移動路徑。為了計算機器人的最優路徑，使用了TSP和MTSP問題。
災害管理。
在森林火災、地震或工業事故后，移動機器人可以幫助救援隊執行任務[30，31]。例如，無人機的路線應在關鍵地點進行優化[32]，例如在消防行動期間。作者在[30]中提出了一種基于云的災難管理系統。該系統由部署在將被監測的感興趣區域的WSN組成，在發生災難時，傳感器節點將向位于云側的中心站報告該信息。優化的救援計劃被建模為MTSP，然后使用層次分析過程MTSP（AHP-MTSP）（the Analytical Hierarchy Process MTSP (AHP-MTSP)）方法生成。
監測和監督。
大面積區域可以由移動機器人代替傳感器節點進行監測。無人機已被廣泛應用于監控和監視應用中。在這種應用中使用的大多數飛行器都是小型無人機平臺。然而，這些無人機的能量有限。在這種情況下，無人機巡視不得超過其最大能量，或者無人機可能在其監測任務期間進行一次或多次加油停留[33]。
多機器人任務分配和調度。
在機器人社區，一些工作已經將多機器人任務分配（MRTA）（the Multi-Robot Task Allocation）問題建模為MTSP。一般來說，MRTA包括為每個機器人分配一組任務，同時優化一些給定的指標[9，34-38]。
合作任務。
當一群車輛/機器人協同完成給定的任務時，例如軍事應用中的目標攻擊[32]。在合作任務中，車輛路線的計算應考慮其他車輛的路線以及防撞。必須優化這些運載工具的軌跡，以便每輛運載工具都能有效、安全、成功地執行任務。請注意，在協作任務中，不同的機器人可能會多次訪問一個引用。上述一些應用可能需要協作機器人，如災害管理[32]或使用卡車和無人機的包裹遞送[13-15]。
3.MTSP的定義和變體
MTSP被廣泛研究，最初的定義是，給定一組城市、一個停車場、m個推銷員和一個成本函數（如時間或距離），MTSP旨在為m個推銷員確定一組路線，使m條路線的總成本最小化，這樣，每條路線都在停車場開始和結束，每個城市只由一個推銷員訪問一次。
MTSP已被應用于不同的應用領域，這產生了該優化問題的新變體。在本節中，我們分析了MTSP的不同變體，然后對主要變體進行了正式描述。
3.1變異分析
在本文中，我們擴展了[9]中提出的MTSP變體，并根據最近對MTSP的貢獻對更多指標進行了分析。MTSP的新變體是考慮到銷售人員、倉庫、城市以及問題約束和目標的不同特征的結果。
銷售人員特點：
?推銷員的類型：根據應用，MTSP中的旅行推銷員可以是推銷員、車輛、機器人或無人機（UAV），也稱為無人機。注：在下文中，我們對銷售人員、車輛和機器人這三個術語的使用漠不關心。此外，無人機、無人機和飛行車輛這一術語的使用并不重要。
?銷售人員的數量m嚴格大于1；否則，問題與TSP相同。m可以是固定的或者由MTSP確定。
?合作銷售人員：幾個銷售人員可能會合作完成給定的任務。它們可以是相同的車輛類型，也可以組合在一起，例如用于卡車和無人機協同工作向客戶遞送包裹的遞送應用。
倉庫：
?單個倉庫與多個倉庫：在MTSP的標準版本中，只應考慮一個倉庫，其位置是固定的。由于使用了幾個推銷員，多個倉庫的存在可以優化旅游成本。在這種MTSP的變體中，銷售人員可以從一個倉庫開始旅行，并在完成任務時加入另一個倉庫。
?固定倉庫與移動倉庫：一般來說，在MTSP中，倉庫是固定的。然而，在一些應用中，倉庫也可以是移動的。例如，移動倉庫可以是無人機開始和結束其旅程的卡車。
?封閉路徑與開放路徑：在經典的MTSP中，銷售人員的路徑是封閉的，因為他們必須從同一個倉庫位置開始和結束他們的旅程。然而，在某些應用程序中，銷售人員不需要返回倉庫，可以留在最后訪問的城市。此外，如果考慮多個倉庫，則銷售人員可以加入任何可能與其初始倉庫不同的現有倉庫。
?加油點：當允許加油時，可以在倉庫或一些額外的加油位置進行。
城市規格：
?標準MTSP：在標準MTSP中，所有銷售人員共享相同的工作空間，即他們共享所有城市。
?有色MTSP：[39]引入的一種新變體，稱為有色旅行推銷員問題（CTSP），其中有兩組城市。一組由所有銷售人員共享，一組由特定銷售人員訪問的城市。
目標函數：
?單一目標與多目標：MTSP可用于優化單一目標或多個目標。此外，文獻中提到的主要目標是：
-最大限度地減少所有旅行的（累計）距離或時間方面的總成本。
–最大限度地降低銷售人員的旅行成本。
–最大限度地縮短任務時間。
–最大限度地減少能源消耗。
–最大限度地減少銷售人員的數量。
–最大限度地減少額外成本，例如與加油站相關的成本。
值得注意的是，能源消耗和任務完成時間高度依賴于行駛的距離，因此，文獻中考慮的主要目標是：行駛的總距離，機器人的最大行程，以及機器人行程長度之間的平衡。
問題限制：
?能量限制：銷售人員在移動時消耗能量。卡車等車輛的能耗沒有任何限制，而小型無人機等其他車輛的自主性有限。因此，如果車輛在執行任務期間無法進行加油，則計算的行程將受到該車輛有限航程的限制。
?容量限制：在執行任務期間，銷售人員可能攜帶包裹或數據。與能量約束相同，車輛容量約束通常考慮無人機等小型車輛，這些車輛只能攜帶小包裹，并且可能具有有限的數據存儲器存儲。
?時間窗口限制：它對應于銷售人員需要訪問給定目標的時間間隔。在某些應用程序中，它可能對應于數據延遲，即銷售人員必須從一個站點獲取數據，攜帶數據，然后將數據交付到另一個站點。
3.2 變體的形式描述
如前所述，MTSP有幾種變體。在本節中，我們將對主要內容進行正式描述。為此，我們考慮一組n個目標，即{T1，…，Tn}和一組m個機器人{R1，…，Rm}。機器人的任務是以最佳成本協同訪問這些目標。
根據目標函數，MTSP一般有兩個主要提法，它們是[31]：
1.MinSum MTSP：
在該 MTSP變體中，目標函數包括最小化所有機器人的旅行成本之和。從形式上講，MinSum變量被建模為：
?2. MinMax MTSP
在這個變體中，目標函數在于最小化所有機器人的旅行中的最長旅行成本（例如距離或時間）。這一目標在以任務完成時間為重點的研究中得到了高度采納。從形式上講，這種變體被建模為：
當總行程距離或機器人的能量消耗應最小化時，最常使用MinSum，而當任務完成時間必須最小化時，最多使用MinMax。其他目標函數可以作為上述目標函數的線性組合導出[40]。
此外，無論機器人是從單個倉庫開始還是最初位于不同的倉庫，以及機器人是需要返回到其初始倉庫（封閉路徑變體）還是可以停在最后訪問的目標（開放路徑變體），機器人的旅行成本C（tour RI）公式都會發生變化。
更準確地說，設C（Ti，Tj）是從目標Ti行進到目標Tj的成本，并且C（Tour R i）是機器人R i的行進成本，每個變體中的機器人行進成本可以建模如下：
Single depot, closed path MTSP. 單一倉庫，封閉路徑MTSP：在這個變體中，所有機器人都從同一個倉庫開始，一旦完成任務，它們就會返回。因此，機器人Ri從倉庫D開始其巡視，然后按順序訪問r個指定目標的列表{T i 1，…，T i r}，并最終返回D。機器人Ri的巡視成本等于：
Single depot,open path MTSP :I單一倉庫，開放路徑MTSP：在這個變體中，機器人位于最后一個訪問目標的頂部。機器人R i的游覽成本等于：
?
Multiple depots, closed path MTSP :多個倉庫，封閉路徑mtsp：在這個變體中，m個機器人最初位于m個不同的倉庫，稱為{D1，…，Dm}。因此，機器人R i的游覽成本等于：
?
Multiple depots, open path MTSP : 多個倉庫，開放路徑MTSP：在多個倉庫MTSP的開放路徑變體中，機器人不必返回其初始倉庫，因此，機器人R i的旅行成本等于：
?
關于MTSP的正式描述和MTSP可能的表述的更多細節，我們請讀者參閱[31]和[9]。在下文中，我們確定了兩大類MTSP，即：（1）銷售人員、車輛和機器人的MTSP和（2）無人機的MTSP。事實上，基于無人機的優化問題與傳統的車輛和機器人具有不同的特征和約束。
開始沒好好看
4 MTSP方法
顧名思義，MTSP最初是為了優化旅行推銷員問題而設計的。然后，它被推廣到地面車輛機器人的處理優化任務中。然而，最近十年，無人機、新飛車輛已經出現。首先使用的是無人機的危險軍事任務的安全駕駛。隨后，這些簡單的車輛引起了人們對各種民用應用的極大興趣，它們的使用也在繼續增長。在文獻中，最近的一些研究提出了不同的方法來解決MTSP。大多數為飛行器提出的方法都擴展了那些應用于地面車輛的方法，同時考慮了無人機的限制，如能源消耗或其有限的承載能力。
在本節中，我們建議研究和分析應用于分別解決地面車輛（包括銷售人員和機器人）和飛行車輛的MTSP的不同方法，以幫助讀者理解每種類型的車輛的問題，并指導他/她選擇最合適的方法來解決他/她的優化問題。這些方法如圖3所示。
?
?4.1 地面車輛和機器人的MTSP
本節專門回顧現有的專注于地面車輛、機器人或銷售人員在一般情況下的MTSP的貢獻。我們根據所使用的優化方法對這些解決方案進行了分類，如圖3所示。它們如下
4.1.1 確定性方法
也被稱為精確方法，能夠達到給定優化問題的最優解。一般來說，由于計算的復雜性，這些方法非常耗時。因此，只有少數論文采用了精確的方法。作者在[41]中，將多倉庫多旅行推銷員問題（MDMTSP）轉化為單倉庫非對稱TSP問題。在本文中，目標之間的旅行成本必須滿足三角形不等式。為了將問題從一個多倉庫轉化為一個單一的倉庫MTSP，增加了一組額外的節點，使每個新節點都被視為一個倉庫。一旦轉換完成，就應用標準的TSP精確方法來解決這個問題。
在[42]中也使用精確算法解決了帶有異質車輛的MDMTSP。作者首先介紹了整數線性規劃（ILP）的表述。那么，他們提出了一種定制的分支切割算法，該算法在100個目標和5輛車的300次實例中達到了最優解。
另一項研究[43]使用約束編程（CP）來制定和優化解決MTSP，通過應用全局約束、區間變量和域過濾算法。然而，由于解決51個城市和3個銷售人員的實例的執行時間超過2小時，因此所提出的方法很耗時。
4.1.2 基于元啟發式的方法
文獻中最常用的元啟發式算法；遺傳算法（GA）、蟻群優化（ACO）、實用蜂群優化（PSO）和人工蜂群（ABC）技術。
基于GA的方法。
GA技術的原理是基于自然選擇和遺傳學來生成上一代的最佳解決方案。這個過程從一個初始隨機解（代）開始。然后，計算一個健身函數來評估每個迭代中的解決方案的性能。之后，該過程選擇兩個父代解決方案，并計算交叉/變異操作，以產生兩個新的解決方案，這些解決方案將在下一代中插入。如果計算出的子代解決方案有更好的適配值，它們將取代父代解決方案。這個選擇、交叉和變異的過程不斷重復，直到新一代達到種群規模。這就完成了一次迭代（生成）。該算法一直持續到達到一定的代數（由用戶決定）或解決方案的質量不再提高為止?
在GA方法中，解決方案被表示為染色體。有不同的染色體表示技術。文獻中使用的主要方法如圖4所示。
作者在[45]中提出了一個兩部分的染色體編碼（圖4d），并開發了一種新的交叉方法。提出的交叉方法與現有的交叉方法進行了比較，如有序交叉算子（ORX）、循環交叉算子（CX）和部分匹配交叉算子（PMX）。考慮到目標被優化，包括總行程和最大行程長度。性能評估證明了所提出的交叉方法在產生更好的解決方案質量方面的效率。
?[46]中的作者旨在建立一個遺傳算法解決方案來解決MTSP。他們首先比較了六種不同的交叉運算符，即循環交叉（CX）、部分匹配交叉、順序交叉（OX）、邊緣重組交叉（ERX）、交替位置交叉（AEX）、順序結構交叉（SCX）。不同規模的實驗分析TSPLIBbenchmarkinstances[47]顯示了交叉方法的性能。此外，實驗研究表明，順序構造交叉法的性能優于其他交叉法。
最近，一些研究集中在Partheno遺傳算法（PGA）上[44,48]。[48]中的研究介紹了兩種partheno遺傳算法。第一個是帶有輪盤賭和精英選擇的PGA，并提出了四種新的變異操作類型。第二種被稱為IPGA，它建議將選擇和突變結合起來，使用更廣泛的突變算子。作者使用了一種序列編碼方法來描述該種群，該方法考慮了機器人在染色體中的路由和斷點（圖4c）。這個染色體被分割開來：第一部分代表機器人的路徑，第二部分對應于斷點部分。仿真結果顯示，IPGA的性能最好。
作者在[44]中研究了PGA在解決MDMTSP方面的優點和缺點，并報告了由于缺乏群體中個體的局部信息而導致的缺陷。為了解決這個缺陷，作者提議將繁殖機制整合到入侵性雜草算法（IWO）中。由此產生的算法，稱為RIPGA，用于改進的具有復制機制的Partheno-Genetic算法，與GA解決方案進行了比較，以證明其在避免局部融合方面的效率。
一些實際應用需要對更多的標準進行優化，如最小化機器人的能源消耗、任務完成時間等。因此，方法解決MTSP可能需要同時優化幾個目標。這種問題被稱為 "多目標MTSP（MOMTSP）。事實上，作者在[49]中使用了非支配排序遺傳算法（NSGA-II）來提供多目標MTSP的解決方案。該方案旨在優化兩個目標，即：最小化總行程和平衡銷售人員之間的旅行時間。該解決方案計算出一組非主導的解決方案。然而，作者并沒有解釋如何計算旅行時間。
[50]中的另一項研究提出了一個多目標優化問題，稱為多機器人部署無線傳感器節點問題（MRDS），其中多個機器人必須在給定的位置部署傳感器節點。在MRDS中考慮了三個目標；最小化任務時間（即傳感器部署時間），最小化使用的機器人數量，以及平衡機器人的行程時間。作者解決了基于NSGA-II算法的MRDS問題。
基于PSO的方法。
粒子群優化方法是最著名的元啟發式方法之一，與遺傳算法有許多相似之處。PSO首先啟動一個隨機解決方案的群體，然后更新生成，直到達到一個最佳狀態。然而，與遺傳算法不同，PSO不使用交叉或變異操作來進化群體。在PSO中，可能的解決方案，被稱為粒子，以其速度為特征，按照當前的最佳粒子在問題空間中移動。
粒子群優化方法被應用于[51]中提出的研究中。在這項研究中，作者解決了多機器人合作任務分配的問題，并將其表述為MTSP。該解決方案的目的是使機器人的總行駛距離和最大旅游成本最小。作者擴展了標準的PSO來處理幾個目標。為此，作者提出了兩種策略，即刪除劣質解決方案的帕累托前沿細化策略，以及基于概率的領導者選擇策略。作者將所提出的方法與眾所周知的多目標方法進行了比較，如OMOPSO[52]、SPEA2[53]、NSGA-II[54]和SMPSO[55]，并證明了其優越性。
在同樣的背景下，作者在[56]中也討論了MRTA問題，并提出了動態和分布式PSO的DDPSO。解決方案由兩個階段組成。在第一個例子中，它將任務分組到集群中。然后，在第二階段，它將集群分配給機器人。將所提出的解決方案與分布式粒子群算法和遺傳算法進行了比較。
基于ACO的方法。
蟻群優化方法是一種基于種群的元啟發式方法，用于解決組合優化問題。ACO的靈感來自于真實蟻群的能力，即通過使用化學信息素軌跡在蟻群之間進行交流來有效地組織蟻群的食物尋找行為。在群體中，每個個體都是一個人工代理，它逐步和隨機地構建一個給定優化問題的解決方案。在下文中，我們回顧了基于ACO方法解決MTSP的貢獻。
作者在[57]中對任務分配問題進行了建模，該問題是在水下車輛安全約束的MTSP下進行的。該解決方案旨在最小化總行駛距離和總轉彎角度，從而使車輛能耗最小化。此外，解決方案迫使每輛車的目標數不能超過1。建議的解決方案包括兩個步驟。首先，該解決方案決定了分配給每輛車的目標數量。然后，使用所提出的多蟻群系統（MACS）方法來解決多目標MTSP。實驗結果證明，所提出的多ACS優于經典的ACS。
在[58]中，作者們解決了ACO解決多目標單倉庫MTSP的問題。
在[59]中，作者提出了面向任務的蟻隊ACO（MOAT-ACO）算法。MOATACO算法的目的是最小化總距離并實現負載平衡。在這個解決方案中，作者賦予蟻群以方向性意識和忠誠度特征，并提出了一個任務信息素來模仿生物本能。因此，這緩解了蟻群之間的糾纏，從而使其中一個目標最小化，即總距離。為了達到第二個目標，即負載平衡（旅游之間的負載平衡），引入了一個蟻群發射規則，允許最慢的蟻群加入更難工作的蟻群。
作者在[60]中解決了MRTA問題，并提出了一種基于ACO的多目標MTSP算法。ACO方法與序列變量鄰域下降相結合，以進一步改進局部Pareto集解。該解決方案旨在同時最小化總行程和最大行程，并與NSGA-II、MOEA/D-ACO[61]和FL-MTSP[62]進行了比較。盡管該解決方案在解決方案質量方面優于這些方法，但它低于FL-MTSP。作者在[63]中討論了具有時間窗口的mstp，并通過將ACO與最小生成1-樹集成來提供最優解決方案，提出了一種混合解決方案。
基于ABC的方法。
與ACO方法一樣，人工蜂群是一種專注于蜜蜂群智能食品搜索行為的優化方法。ABC也是一種基于種群的方法，其中食物源的位置（即種群）是優化問題的潛在解決方案，來自食物源的甘油數量代表相關解決方案的適用性。Venkatesh等人。[64]使用ABC算法解決單一倉庫的MTSP，旨在最小化總行駛距離（MinSum）和最大行駛距離（MinMax）。作者還提出使用局部搜索來改善獲得的結果。同一作者在[65]中討論了彩色MTSP，還提出了一個基于ABC的解決方案。作者修改了ABC算法并引入了生成鄰域解決方案（GNS）來解決MTSP。
混合方法
在文獻中，一些研究提出了混合算法，結合不同的元啟發法和技術來更有效地解決多旅行推銷員問題。
例如，[61]中的研究提出了一種混合方法，將ACO算法與基于分解的多目標進化算法（MOEA/D）相結合，以解決多目標MTSP。該解決方案的想法是將多目標MTSP分為幾個單目標子問題。然后，每個單目標子問題被分配給一只蟻。蟻群被組織成一組，每只都有幾只相鄰的蟻。每組都與一個信息素矩陣和每個啟發式知識矩陣相關聯。此外，每只蟻子都負責尋求其分配的子問題的最優解。出于這個原因，蟻群利用其啟發式知識矩陣、其群體信息素矩陣和其當前的解決方案。圍繞這種方法的關鍵問題是時間融合的模糊性和實施的難度。
[67]中提出了一種新的用于大規模MTSP的混合算法。所提出的解決方案，稱為AC-PGA for Ant ColonyPGA，是通過整合PGA和ACO獲得的。更確切地說，該算法首先利用PGA來確定銷售員倉庫的最佳值和每個銷售員要訪問的城市數量。然后，它利用ACO來計算每個銷售員的最短路徑。
進一步的研究[68]解決了家庭保健問題中護理人員的調度和路由問題，并將其表述為帶有時間窗口的MTSP。他們提出了一種結合ACO和記憶算法的混合方法[69]。該解決方案的目的是最小化總的旅行時間，并平衡護理人員（銷售人員）的工作時間。
4.1.3. 基于市場的方法
基于市場的方法，也被稱為基于拍賣的方法，可以是集中式的中央拍賣者，接收出價并將城市分配給成本最低的銷售人員，或者分布在不同的銷售人員之間共享競價過程。
作者在[70]中提出了一種基于市場的分布式動態MTSP算法，其中銷售人員是機器人。因此，該問題被稱為多個行走機器人問題（MTRP）。在這個解決方案中，每個機器人以漸進和分布式的方式選擇自己的目標，如下所示。首先，每個機器人使用最短距離作為成本函數來選擇合適的目標。然后，它宣布對其目標參觀時間表進行單項拍賣。選擇最佳的機器人覓食任務要歸功于一種稱為DNP（用于合同網協議）的基于構造的協議。Webots仿真結果表明，所提出的解決方案在可擴展性、總路徑長度和通信開銷方面都很有效。
在[71]中，多機器人任務分配問題（MRTA）被公式化為MSTP，并使用帶有動作過程的K-均值聚類技術進行求解。該解決方案可以縮短總距離四個波長，并平衡機器人的長度。首先，使用K-means算法形成n組任務，其中n是機器人的數量。然后，每個機器人計算訪問在前一步驟中形成的每個集群的成本。最后，在拍賣步驟中，機器人在集群上出價，每個集群以最低的成本分配給機器人。然而，該算法的復雜性相當高，因為它考慮了集群機器人分配的所有可能組合。因此，這種方法可能不適合解決大規模實例。
受基于共識的捆綁算法（CBBA）[72]和基于市場的前瞻代理方法（MALA）[73]的啟發，[74]的作者為MTSP引入了一個基于市場的解決方案。解決方案是一個重復的市場程序，機器人執行以下步驟：市場拍賣、代理人之間的交易、代理人轉換和代理人放棄步驟。每個機器人根據目標成本，在市場拍賣階段選擇最佳任務。機器人在代理與代理之間的交易步驟中任意檢查其他機器人的任務，以驗證它們是否能以較低的價格執行這些任務中的任何一個。在代理切換階段，該算法試圖探索不在最小位置的解決方案。該算法在anumberofiterations之后沒有性能改進。
Cheikhrouhouetal.proposeda-based method，稱為Move-and-Improve，見[75,76]。建議的解決方案涉及機器人在分配目標和逐步消除可能的重疊方面的合作。這個概念很簡單：機器人在與鄰居交流時，每一步都會移動并試圖優化其解決方案。移動和改進方法包括四個主要階段：（1）初始目標分配，（2）旅游建設，（3）沖突目標的談判，（4）解決方案改進。使用MATLAB和Webots模擬器對移動和改進進行了模擬，并使用機器人操作系統（ROS）部署在真實的機器人上。
另一個基于聚類市場的算法（CM-MTSP）[77]被提出來用于多目標MTSP。解決方案包括三個步驟，即：聚類、拍賣和改進。在聚類步驟中，一個中央服務器使用k-means將目標分組為集群。然后，服務器逐一宣布已經形成的集群，機器人通過計算成本對每個集群進行投標，并將其發送給服務器。服務器最后將集群分配給成本最低的機器人。改進步驟的目的是優化另一個目標，即最大旅行和任務完成時間。這種改進是通過機器人之間的集群排列來實現的。在這個算法中，作者給每個機器人分配了一個集群。然而，改變聚類的數量可能會帶來更好的結果。此外，作者以同時處理多目標問題的方式處理，不一定能得到最好的結果。
4.1.4. 其他方法
在下文中，我們將回顧一些MTSP的貢獻，這些貢獻采用了不同的技術，如概率論、游戲理論、模糊邏輯、分析層次過程等。
TosolvetheMDMTSP,作者在[78]中介紹了使用概率集合的Damethod，其中車輛被表示為自主代理，車輛作為一種策略進行路由
Khoufi等人。[79]提出了一個多目標優化問題，以確定負責從無線傳感器節點收集數據的機器人之旅，并將這些數據傳遞給倉庫。建議的優化問題應滿足一些約束條件，如數據交付延遲、機器人能量和有限的機器人數量。這個優化問題是基于博論方法解決的。所提出的理論游戲是一個聯盟形成游戲，它優化了最大旅行時間、機器人的數量，并平衡了機器人的旅行。
Todressthemulti-objectiveMTSP,afuzzylogic-basedsolution（FL-MTSP）是由Trigui等人提出的。[62]。該解決方案考慮了兩個目標，MinSum和MinMax。FL-MTSP解決方案與基于GA的解決方案[34]進行了比較，以證明其效率。
最近，Cheikhrouhou等人[31,80]提出了AHP-MTSP，一種基于分析層次過程（AHP）的方法。AHP-MTSP首先為每個考慮的目標計算一個權重。這些權重是根據用戶的偏好并使用AHP方法[81]計算的。然后，不同的目標被匯總成一個單一的函數，作為不同加權目標的總和。AHP-MTSP與包括FL-MTSP[62]和CM-MTSP[77]在內的幾種方法的比較證明了其優越性。
受[45]工作的啟發，[82]中的作者提出了一種ModifiedTwo-PartWolfPackSearch(MTWPS)方法，該方法由兩部分染色體編碼方法和轉置和擴展操作來解決MTSP.該解決方案旨在最小化總行程和最大行程。
Venkatesh等人。[64]提出了一種基于入侵性雜草優化算法的元啟發式方法。為了進一步改進解決方案，還使用了局部搜索方法。
表1總結了為地面車輛和機器人提出的不同討論的MTSP解決方案。
4.2.無人機MTSP
在本節中，我們回顧了最近在無人機背景下使用MTSP的研究，并根據所采用的方法對這些MTSP解決方案進行了分類，同時強調了它們的應用領域。表2總結了為無人機提出的不同審查MTSP解決方案。
?4.2.1. 確定性的方法
在運輸和配送應用中，[87]中的作者首次正式定義了將飛行器與卡車結合起來進行包裹配送的問題。然后，他們擴展了[13]中的研究，引入了多飛行伙伴旅行推銷員問題（mFSTSP），即部署卡車和無人機車隊向客戶運送小包裹。這個問題被公式化為混合整數線性規劃（MILP），并通過Gurobi解決小尺寸問題。
在這一背景下，[14]中的作者基于[87]中的研究，提出了無人機的多重旅行推銷員問題（MTSPD），該問題基于無人機和卡車在最后一英里的交付。擬議模式是MTSP的一個變體。在這個優化問題中，多架無人機和多輛卡車一起執行交付。MTSPD的目標是在將所有包裹交付給客戶后，將車輛、卡車和無人機在倉庫的到達時間降至最低。為了求解MTSPD，作者提出了混合整數規劃（MIP）公式，并使用IBM-CPLEX[88]獲得了解決方案。
由于計算的復雜性，[13]和[14]中引入的優化問題只對小實例進行了優化解決。然而，這兩項研究都應用啟發式方法來解決他們在中型和大型實例中的問題。我們在下一節中回顧了這些啟發式方法。
[15]中的另一項研究擴展了[87]中提出的多個四級alesman問題的問題。在該研究中，當一個客戶和另一個客戶將包裹送到另一個顧客那里以提取新包裹或直接返回到倉庫以開始新的交付時，地址負責丟棄包裹。該問題被建模為一個不相關的并行機調度（PMS），并將多個倉庫與多輛卡車和無人機進行了集成，受時間窗口、接送同步和多次訪問的限制。為了解決這個問題，提出了一種新的約束規劃方法，以最小化滿足所有交付任務所需的最大時間。
在攻擊多個目標的背景下，[32]研究了多個無人作戰飛行器（UCAV）的合作軌跡規劃綜合目標分配問題。該問題被表述為動態約束、多倉庫、多旅行問題與鄰域（DC_MDMTSPN），它是MTSP的一個變種。所提出的問題考慮到了戰場環境約束（如威脅規避）和UCAV動力學模型（如避免相互碰撞），并基于兩階段的方法進行解決。在第一階段，作者構建了有向圖，然后將原始問題轉化為非對稱TSP（ATSP）。在第二階段，他們使用Lin? Kernighan啟發式（LKH）搜索算法來解決ATSP。
[83]中的研究介紹了異構多無人機任務分配問題的問題表述為多個旅行推銷員問題。作者提出了一種新的基于數字圖的無死鎖算法，以及一種修正的兩部分Wolf Pack Search算法來有效解決確定性的離線問題。
4.2.2. 基于元啟發式的方法
元啟發式已經被應用于解決許多NP-hard優化問題。在這一節中，我們對基于MTSP的啟發式算法如遺傳算法和Tabu搜索的貢獻進行了回顧。請注意，許多研究提出了組合啟發式方法，其中問題的解決遵循幾個階段，并基于不同的技術（如聚類、元啟發式）來降低問題的復雜性。
基于遺傳算法的方法。
在最后一英里交付的背包和背包的背景下，作者在[14]中為小型實例優化求解了MTSPD，并提出了一種新的啟發式算法，稱為自適應插入算法（ADI）來求解大型實例。ADI的原理是首先構建一個初始解決方案，然后通過應用移除和插入運算符來構建MTSPD解決方案來改進它。為了執行ADI的第二階段，作者基于遺傳算法、組合K?means/Nearest Neighbor和隨機聚類/Tour。仿真結果表明，在小規模實例中，求解器和遺傳元啟發式算法GA?ADI都達到了最優解。請注意，GA-ADI解決MTSPD問題的速度明顯快于求解器IBM-CPLEX[88]。然而，在大型情況下，作者只使用了GA?ADI啟發式算法，他們證明了使用多架無人機來縮短交付時間的效率。
作者在[23]中提出了一項將無人機作為DTN中繼的研究，并引入了一個名為Deadline Triggered Pigeon with Traveling Salesman Problem with Deadline（DTP-TSP-D）的主動方案。在這個問題中，無人機可以與一個或一個集群的節點進行通信，從一個地面節點拾取數據，同時考慮它從一個地方向另一個地方傳遞信息的能力，然后懸停，直到被觸發傳遞指向其他地面節點的信息。一個遺傳算法被用來確定在交付時間方面優化的無人機之旅。
[24]中的一項類似研究提出，使用無人機作為消息渡輪節點，負責在DTN網絡中斷開連接的節點之間傳輸消息。作者介紹了一個多消息擺渡無人機優化問題，該問題是中期戰略計劃的一個變體，使得最優路徑規劃最小化了消息傳遞延遲。為了保持最優路徑規劃解，采用遺傳算法在可行的時間內求解該問題。在遺傳算法中，建立節點集群，每個集群將被分配給一個UAV，然后UAV訪問集群中所有節點的路徑是根據節點之間的流量和節點中的消息負載來確定的，以優化網絡中的消息傳遞。在小型網絡中，該遺傳算法提供了與使用窮舉搜索方法獲得的算法一樣好的解決方案，但運行時間更短。此外，所提出的優化問題在DTN中的消息傳遞延遲方面優于傳統的MTSP解決方案。
[18]中的研究，解決了在大規模WSN中使用多個移動匯的數據收集問題，以節省整個網絡的能量并提高數據包交付率。為了解決這個問題，作者提出了一個兩階段的啟發式方法。在第一階段，形成k個傳感器節點集群，其中k是UAVsactingasmobilesinks的數量。在第二階段，根據平滑路徑構建（SPC）算法確定每個無人機的路徑。在SPC中，遺傳算法被用來確定每個無人機正好訪問集群內每個傳感器節點一次的行程。然后，根據無人機轉彎約束計算出平滑的行程。
當合作的無人機在危險地區運行以執行多項任務時，優化部署的無人機數量以及每個無人機的軌跡，將有助于在最短的時間內完成任務。在這種情況下，[84]的研究提出了針對多任務、任務分配和路徑規劃問題的Multi?無人機，這是MTSP的一個變種，在給定的時間約束和任務集下優化無人機的數量。本文介紹了解決該問題的方法、協調優化算法、組合遺傳算法和集群算法。作者首先提出了K-means聚類算法來建立多個任務的聚類，其中每個聚類將被分配給一個無人機。第二，相鄰任務的sameclusterare分組，以減少無人機要訪問的地點的數量。之后，一個基于遺傳算法的TSP優化問題將被解決，同時考慮時間約束。協調優化算法和GA之間的比較表明，所提出的協調優化算法比GA更有效。
在無人機負責覆蓋多個區域的監測應用方面，[85]的研究提出了覆蓋路徑規劃的能量受限的多重旅行推銷員問題（EMTSP-CPP）。為了解決這個問題，作者引入了遺傳算法的修改版本，同時考慮了新的個體（染色體）代表，以及新版本的交叉和變異操作，最后是一個約束意識的功能函數。作者證明，與其他方法相比，修改后的遺傳算法具有更好的性能。
在[26]中，提出了一個用于搜索和救援的多目標無人機路徑規劃。所提出的解決方案是基于遺傳算法的，目的是使完成時間最小化。該解決方案將環境劃分為若干單元，然后使用MTSP來保證每個單元正好被一個無人機搜索到。
在精準農業中，無人機可以被部署到用殺蟲劑噴灑田地。在這種情況下，[86]的研究介紹了多四旋翼飛機的任務分配和路徑規劃問題，這是無人機的一種特殊類型。所提出的問題被表述為MTSP優化，目標是減少任務完成時間，同時考慮到對四旋翼飛機電池容量限制的約束。為了解決這個問題，作者提出了一種分層的方法，其中采用了內外循環結構。事實上，內循環是基于遺傳算法的，而outerloopusesanonlinearproming方法是基于內循環獲得的最佳結果。基于與傳統方法的性能比較，說明了所提方法的效率。
基于TS的方法。
塔布搜索法是一種基于局部搜索方法的元啟發式方法，用于數學優化。局部搜索方法往往會卡在次優解中。因此，Tabu搜索通過探索超越局部最優的解空間來提高這些方法的性能。
在監測和監視應用領域，[33]的研究提出了兩階段燃料約束的多重UAV路由問題（FCMURP）。在FCMURP中，考慮了multipledepots，它們也代表了加油點。然而，只有一個倉庫，每個無人機之旅從那里開始和結束。兩階段的FCMURP工作原理如下。在第一階段，采用MTSP為每個無人機建立一個旅游。然而，如果任何無人機沒有足夠的能量來完成其行程，它可以在任何倉庫進行加油站。在第二階段，額外的加油站被添加到第一階段的旅游中，以確保實現能源消耗的可行性。在FCMURP的第一階段，目標是最小化所有無人機的飛行距離之和，而第二階段的目標是最小化額外加油站的預期飛行距離。為了解決FCMURP，作者提出了SampleAverageApproximation（SAA）方法。在小的實例中，SAA方法對兩階段模型的最優解也是趨同的，然而，在大中型實例中，SAA需要這么多時間來趨同。為了應對這個問題，作者提出基于Tabu搜索的啟發式方法來解決FCMURP，他們表明這種啟發式方法提供了高質量的解決方案。
4.2.3其他方式
在卡車和無人機送貨應用中，作者在[13]中提出了三個階段的啟發式方法來解決多個反射側邊旅行推銷員問題（mFSTSP），涉及100個客戶和4個地區。在第一階段，一些客戶被選擇由卡車服務，另一些客戶將由無人機服務。然后，基于旅行推銷員優化問題確定卡車之旅。在第二階段，將每個客戶分配給特定的無人機，并識別卡車之旅和無人機之旅。在第三階段，作者求解MILP以確定卡車和無人機計劃運行的確切時間。異構無人機的飛行續航能力被建模為電池大小、有效載荷、飛行距離和飛行階段的函數。最后，執行局部搜索過程來提高求解質量。作者表明，對于實際大小的問題，三階段啟發式算法提供了具有合理執行時間的高質量解。
在任務分配和調度的背景下，作者在[83]中把多無人機任務分配問題表述為MTSP。所提出的問題考慮了各種情況，包括多個連續任務、異質無人機、時間敏感和不確定性。為了解決這個參數不確定的問題，引入了幾種方法，如穩健優化方法、對偶性理論和一種新的組合算法，包括經典的內部點方法和改進的兩部分狼群搜索算法。作者還提出了一種在線分層規劃算法來解決具有時間敏感不確定性的在線問題。最后，他們進行了幾次數值模擬和物理實驗，以檢查所提出的算法的效率。表2總結了現有的無人機MTSP的解決方案。
5.分類法、分類和分析
在這一節中，我們首先提供了一個MTSP的擴展分類法，它是基于MTSP的變體、應用的優化方法和提出解決方案的應用領域。之后，根據這個提議的分類法，對之前審查的解決方案進行了分類。這個分類法對現有的MTSP研究進行了概述，可以幫助讀者為特定的應用選擇合適的MTSP變體，以及用于解決問題的方法。最后，我們根據我們的分類中提供的指標，通過對所審查的論文進行分析研究來結束本節。
5.1.MTSP的擴展分類法
在下文中，我們提出并擴展了mtsp。首先，我們首先根據三個標準列舉該分類法中考慮的屬性，即：mtsp的變體、方法和應用領域。我們為前面第3節所述的mtsp劃變體選擇了最常見的屬性。我們還選擇了用于解決mtsp的不同方法（第4節中引用）。此外，上文第2節詳細介紹了mtsp的不同應用領域。
MTSP變體
銷售員：
? 1- 銷售員
? 2- 機器人
? 3- 車輛
? 4- 無人機
目的地：
? 5- 單一
? 6- 多個
? 7- 加油點
城市：
? 8- 標準MTSP
? 9- 彩色TSP
?問題 約束條件：
? 10 能量
? 11-容量
? 12-時間窗口
問題 目標：
? 13-單目標優化問題
? 14-多目標優化問題
?方法 實現
15-精確算法
?16-遺傳算法（GA）
17-粒子群優化（PSO）
?18-蟻群優化（ACO）
19-人工蜂群（ABC） ?
20-Tabu搜索(TS)
21-聚類算法(如K?表示，最近的鄰居)
22-基于市場的聚類 23-其他 ? a-模糊邏輯 ? b-游戲理論 ? c-ADI啟發式 ? d-三階段啟發式 ? e-樣本平均近似(SAA) ? f- Lin? Kernighan啟發式(LKH) ? g-主動方案 ? h-Prob
應用 24-運輸和運送 25-數據收集 26-搜索和救援 27-精準農業 28-災害管理 29-監測和監視 30-多機器人任務分配和調度 31-合作任務管理 32-一般情況
5.2.審查的MTSP解決方案的分類
我們根據之前提出的分類法對調查中審查的現有研究進行分類，如表3所示。在下文中，我們將對這些分類的解決方案進行詳細分析。
5.3.對審查的MTSP解決方案的分析
為了更好地理解和分析表3中提出的分類，我們在圖中提出。5、我們調查中引用的論文在車輛類型、應用方法、應用領域和出版年份方面的統計研究。
我們可以看到，71%的專注于MTSP的研究是在地面車輛的背景下進行的，而飛行車輛的這一比例為29%，如圖所示。第5a段。這可以通過以下事實來解釋：地面車輛的MTSP研究自2007年以來一直在發表，然而，我們調查中引用的最古老的關于無人機的論文發表于2015年，如圖所示。5b。地面飛行器和機器人的MTSP比無人機的MTSP研究得更多，因為這種飛行飛行器被認為是一種新興技術，在民用領域的使用相對較新。
此外，如圖所示。5c所示，GA方法是兩類車輛中使用最多的方法（36%的論文使用了GA）。第二種最常用的方法是精確方法和ACO方法（被18%的論文使用）。然后，它是基于市場的方法（被11%的論文使用）。
此外，如表3所示，對于地面車輛，大多數論文考慮了多個倉庫的變體，然而，對于無人機，大多數論文考慮了MTSP的單一倉庫變體。事實上，使用的倉庫數量取決于應用領域，也取決于車輛的類型。例如，與地面車輛相比，無人機的自主性有限，這些無人機一般部署在非延伸區域。這就證明了需要一個單一的倉庫來給無人機充電和發射。此外，這個單一的pot可以是移動的，以優化預定的時間和無人機的能量，例如，通過使用卡車和無人機的最后一英里交付，如[13,14]中提出的。
此外，一些論文如[32,33]考慮了無人機路徑上的加油點。
無人機解決方案的另一個特點是，它們考慮了更多的約束條件，如[13,33,85,86]中的能量約束和[15,23,83,84]中的時間窗口約束。這是因為無人機比地面車輛有更多的受限資源（即特別是在能源方面），這是有道理的。對于地面車輛，能量被認為是一個優化目標（即要最小化），而不是一個約束條件。此外，與地面車輛背景相反，MTSP的單一目標以及多目標變體被公平考慮，在無人機背景中，多目標變體很少被考慮（只有參考文獻。[26]）。事實上，無人機解決方案中考慮最多的目標是最小化任務時間。
就所使用的方法而言，如圖6所示，在所有類型的車輛中，最常用的是遺傳算法方法。地面車輛第二常用的方法是ACO元啟發式。然后是基于市場的方法。值得注意的是，在幾篇論文中，GA方法與其他技術相結合，如[61，67]中的GA+ACO，或[68]中的GA+模因算法。此外，對于無人機環境，遺傳算法方法被廣泛用于聚類技術，如[14，18，23，24，84]。此外，我們從表3中注意到，為無人機背景提出的中期戰略計劃解決方案更為復雜，基于多種方法的整合。事實上，正如一些論文所建議的那樣，無人機受到其能量和負載/承載能力的限制，可以與卡車協同運行。因此，優化問題變得復雜。為了在考慮無人機的約束和應用要求的同時優化預期時間，許多研究提出分幾個步驟解決優化問題，以降低問題的復雜性。為了做到這一點，這些研究針對這些不同階段應用或組合了幾種方法。
在應用領域方面（圖5d），大多數為地面車輛提出的論文考慮了一般情況，不限于特定的應用領域，除了一些論文，如[38,51,57,60,71]，這是為MRTA問題提出的。然而，無人機解決方案呈現出應用的多樣性領域（表3）。
6.討論和未來方向
前兩節專門回顧了為MTSP提出的貢獻。事實上，我們已經概述了文獻中提出的解決MTSP的不同方法，同時強調了應用領域。
盡管MTSP與現實生活中的應用非常相關，但我們指出，一些研究已經解決了一般情況下的MTSP，而沒有考慮具體的應用。然而，當研究在一個特定的背景下，如包裹運送、數據收集、監測和監視等，MTSP的新變體被提出。這些變體考慮了不同類型的車輛（如機器人、車輛、卡車和無人機），以及倉庫和要訪問的城市的新特征。
例如，無人機的特點是成本低、機動性強，可以很容易地被部署來執行搜救任務或監測特定區域。然而，在交通領域，地面車輛和卡車的使用是因為它們有很大的自主性和裝載能力。應該注意的是，一些研究是基于異質車輛的，并提出了卡車和無人機一起用于完成特定任務的解決方案。
根據應用要求，在MTSP中還考慮了額外的約束條件，如車輛容量、能源消耗和時間窗口，這些都是常用的車輛路由問題。即使MTSP在考慮這些約束條件時變得與VRP相似，在我們的調查中，我們只審查了問題被表述為MTSP的論文。
在最近的研究中，已經提出了幾種精確和啟發式的方法，可以直接解決MTSP，也可以在轉換為TSP后解決。
盡管精確的方法給出了最優解，但由于問題的NP-hardness，它們只對非常小的實例有用。元啟發式方法，包括遺傳算法（GA）、蟻群優化（ACO）、人工蜂群（ABC）和粒子群優化（PSO），已經被廣泛探索，以有效解決MTSP。然而，當問題擴大時，執行時間非常長，使其不適合實時應用。我們指出，遺傳算法是最廣泛使用的元啟發式算法，然而，近年來，有一種趨勢是應用ACO算法。
此外，一些研究提出了基于混合算法的MTSP解決方案，該算法結合了元啟發式的使用和例如局部搜索或聚類算法。然后在不同的階段解決該問題，這樣，計算復雜度就會降低，融合時間就會變得合理。
基于市場的方法也被用來解決MTSP，因為它可以有效地解決動態的系統變化，并且不需要事先了解所有的系統狀態來提供一個解決方案。
車輛完成特定任務所遵循的路徑必須滿足兩個重要條件。一方面，車輛軌跡必須是可行的，因此需要考慮到車輛的約束條件，如耐力、運動學（如速度和加速度）和系統動力學。另一方面，必須通過避免與障礙物的碰撞以及車輛之間的碰撞來確保車輛的安全。
為了簡單起見，許多研究沒有考慮這些車輛特征和建議的優化問題，以放松這些約束。只有少數關于無人機應用的貢獻在問題模型中加入了車輛約束[11]或在解決方案中考慮了避免碰撞[32]。
未來對MTSP優化問題的研究需要更加關注車輛特性和約束條件，以便為現實生活中的應用提供有效的解決方案。
與車輛和卡車不同，地面機器人和無人機的能量可能有限。一些研究集中在無人機的續航能力上，然而，在未來的貢獻中需要提出一個機器人和無人機的能耗模型。
至于經典的MTSP，關于無人機MTSP的研究可以為數據基準[89]提供解決方案，以便在為解決MTSP而提出的不同方法之間進行比較，并將研究工作推向這個方向。
7.結論
多重旅行推銷員問題是最有趣的組合優化問題之一，因為它能夠描述和制定現實生活中的應用。事實上，這項調查表明，MTSP在多個領域都使用了公式化的優化問題，包括運輸和交付、數據收集、搜索和救援、多機器人任務分配和調度等。雖然MTSP很重要，但目前還缺乏描述現有解決方案的調查。本文旨在通過對MTSP的現有和最近的解決方案進行全面回顧來填補這一空白。我們將現有的解決方案分為兩大類：（1）車輛和機器人的MTSP；（2）無人機或無人機的MTSP。此外，每個類別的解決方案都根據所使用的優化方法進行分類，如精確的、元啟發式的、基于市場的等。本文還根據幾個標準提出了所研究的解決方案的分類法，包括MTSP的變體、方法、應用等。最后，值得注意的是，MTSP仍然是一個有前途的研究領域，特別是對于基于無人機的應用，新的優化問題正在出現。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的对多旅行商问题：应用、方法和分类进行了全面的综述的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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