算法 - KMP算法原理頓悟有感

• • KMP?
  • KMP核心思想
  • • 舉個栗子
  • 上點代碼
  • • next數組
    • • （1）若P~j~ == P~t~
      • （2） 若P~j~ 和 P~t~不相等
  • 改進上面的KMP算法
  • • nextval
    • • 求解nextval數組的一般方法
      • 上代碼

中國開國七十一年三月十二日下午，解衣欲睡，雨聲入耳，悟以往，思來日，懼無以為生計，遂至嗶哩嗶哩尋KMP算術，觀后遂頓悟，以作文記之。

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KMP?

? KMP算法是在某一字符串中尋找給定子串的算法，比起逐一比較的方法，KMP算法快了不少。

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KMP核心思想

? 比較過程如圖所示：

? 此處的疑點：為什么有時候模式串一次往后移那么多？為什么有時候模式串又只往后移一格？到底是怎么個模式串移動法？

? 這就是KMP的關鍵。

? 答案：當發現模式串的第i個字符匹配錯誤時，將模式串向后移動N個位置。此處，N = 模式串第i個字符前的子串中的長度 - 模式串第i個字符前的子串最長且小于子串本身長度的公共前后綴的長度。

一句話總結：讓i之前的公共前綴移動到公共后綴的位置上。

由此可知，KMP算法的移動主要和模式串有關，和待查找的字符串關系不大。
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舉個栗子

假設模式串為 ABABAAABABAA

假設模式串與帶比較字符串的第1位比較不匹配：則模式串前移1位（1號位與主串下一位比較）

假設模式串與帶比較字符串的第2位比較不匹配：二號位前的子串為A，公共前后綴長度是0，則模式串向前移1位（1號位與主串當前位比較）

假設模式串與帶比較字符串的第3位比較不匹配：三號位前的子串為AB，公共前后綴長度是0，則模式串向前移1位（1號位與主串當前位比較）

假設模式串與帶比較字符串的第4位比較不匹配：三號位前的子串為ABA，公共前后綴長度是1，則模式串向前移2位（2號位與主串當前位比較）

到這為之，如圖所示：

我們得到一個規律，如果當前子串最大公共前后綴長度為N，那我們就移動模式串使N+1號位與主串當前位比較。

那么以此類推：

我們把第一句話標記為0，當我們看到0時，將1號位與主串下一位比較。

并且我們將后面的每一句話的第一個數字取出，結合上面的數組下標，將這些數字放在一個數組中，這樣一來，根據數組所提供的信息，我們在模式串上任何一個位置匹配失敗，就知道下一步該怎么做了：

這個數組就是傳說中的next數組。

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上點代碼

? 循序漸進，若想知道KMP算法的代碼實現怎么寫，我們先要知道天真的傻瓜式比較法的代碼怎么寫。

//too simple, sometimes naive //假設字符串位置從1開始 int naive(String str, String substr) {int i = 1, j = 1, k = i; //i:主串游標，j:模式串游標，k:位置記錄器while (i<=str.length && j<=substr.length){ //i、j都落在各自字符串的范圍內if(str.ch[i] == substr.ch[j]){i++;j++;}else {j = 1;i = ++k; //尋找初始比較位置的下一個位置}}if (j>substr.length) return k;else return -1; }

現在用KMP的思想做一點修改：

int KMP(String str, String substr, int next[]) {int i = 1, j = 1; //KMP不需要回溯，不需要kwhile (i<=str.length && j<=substr.length){ if(j == 0 || str.ch[i] == substr.ch[j]){ //此處注意j=0的處理i++;j++;}else {j = next[j]; //i不需要回溯，j有next數組指導往哪走 }}if (j>substr.length) return i-substr.length; //計算首字符存在的位置else return -1; }

而關鍵在于：next數組怎么獲得？
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next數組

KMP所做的事的聰明之處在于：把之前工作的結果合理利用起來，減少重復勞動。

求解next數組需要繼承這一思想。

假設一段模式串如下圖所示：

P為模式串中的字符，P的下標代表每一個字符的位置，模式串的長度為m

現在我們把模式串復制一份，并凸顯出1到t位置上的字符，也就是左端長度為t的子串

我們將上面P_j-t+1到P_j的子串與下面P₁到P_t的子串對應起來，假設紅色部分完全匹配，黃色部分暫時不知道，則next[j] = t。

現在我們需要求next[j+1]的值。
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（1）若P_j == P_t

那么很容易求得next[j] = t + 1 = next[j] + 1
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（2） 若P_j 和 P_t不相等

當P_j 不等于 P_t時，這時的情況似曾相識：主串某個位置與模式串某個位置發生不匹配的現象。

假如我們把上面的字符串稱為假主串，下面的稱為假模式串：

這不就是熟悉的KMP嗎！

在我們已知next[j]求next[j+1]的情況下時，我們可以使用next[j]之前所有的next數組

所以當若P_j 和 P_t不相等時，則循環將t賦值為next[t]，直到t=0或者滿足（1）為止，當t = 0時，next[j+1] = 1。

總結：

我們發現，這種求法天生適合翻譯成代碼：

void getNext(string substr, int next[]) {int t = 0, j = 1;next[1] = 0;while (j<substr.length){if(t == 0 || substr.ch[j] == substr.ch[t]){next[j+1] = t + 1;t++; j++;}else t = next[t];} }

? 在求完next數組之后，為了理解接下來的工作，以及不忘初心，我們必須回顧及總結next數組的含義到底是什么。

? next[5] = 3意味著5這個位置之前的子串的公共前后綴長度為2。

? 一句話：next[i] = j意味著i這個位置之前的模式串有j-1個字符是能夠與主串匹配的。
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改進上面的KMP算法

? 這里就讓人頭疼了，本來上面那個就不怎么好理解，還要改進？

在求解next[j]時，上圖其實做了很多重復的工作。

因為1到4上的字符串相等，因此next[5]直接賦值為0即可。

所以針對KMP算法的改進主要集中在求解next數組的改進上，我們把改進之后的數組稱為nextval數組。

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nextval

? nextval的優化思路：求解nextval[j]時，移過來比較的字符必須與比較過不符合要求的P_j不相同。

? 如上圖所示：其中P代表模式串中的字符，我們若要求nextval[j]，需不停將j賦值為next[j]，再把這些位置上的字符與P_j進行比較，如果它們與P_j相等，那么意味著P_j與主串中的字符未匹配，則這些位置上的字符來到這也沒用。若其中有一個字符與P_j不等，那nextval[j]則為對應位置（上圖P_a中的）。

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求解nextval數組的一般方法

當j等于1時，nextval[j]賦值為0，作為特殊標記

當j大于1時：

• 若P_j不等于P_next[j]，則nextval[j]等于next[j]
• 若P_j等于P_next[j]，則nextval[j]等于nextval[next[j]]

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上代碼

void getNextval(string substr, int nextval[]) {int t = 0, j = 1;nextval[1] = 0; //這句很明顯要加上while (j<substr.length){if(t == 0 || substr.ch[j] == substr.ch[t]){//計算nextval值if(substr.ch[j+1] != substr.ch[t+1]])nextval[j+1] = t + 1;elsenextval[j+1] = nextval[t + 1];t++; j++;}else t = nextval[t]; //用nextval代替next數組} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法 - KMP算法原理顿悟有感的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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