算法 - KMP算法原理頓悟有感

• • KMP?
  • KMP核心思想
  • • 舉個(gè)栗子
  • 上點(diǎn)代碼
  • • next數(shù)組
    • • （1）若P~j~ == P~t~
      • （2） 若P~j~ 和 P~t~不相等
  • 改進(jìn)上面的KMP算法
  • • nextval
    • • 求解nextval數(shù)組的一般方法
      • 上代碼

中國(guó)開(kāi)國(guó)七十一年三月十二日下午，解衣欲睡，雨聲入耳，悟以往，思來(lái)日，懼無(wú)以為生計(jì)，遂至嗶哩嗶哩尋KMP算術(shù)，觀后遂頓悟，以作文記之。

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KMP?

? KMP算法是在某一字符串中尋找給定子串的算法，比起逐一比較的方法，KMP算法快了不少。

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KMP核心思想

? 比較過(guò)程如圖所示：

? 此處的疑點(diǎn)：為什么有時(shí)候模式串一次往后移那么多？為什么有時(shí)候模式串又只往后移一格？到底是怎么個(gè)模式串移動(dòng)法？

? 這就是KMP的關(guān)鍵。

? 答案：當(dāng)發(fā)現(xiàn)模式串的第i個(gè)字符匹配錯(cuò)誤時(shí)，將模式串向后移動(dòng)N個(gè)位置。此處，N = 模式串第i個(gè)字符前的子串中的長(zhǎng)度 - 模式串第i個(gè)字符前的子串最長(zhǎng)且小于子串本身長(zhǎng)度的公共前后綴的長(zhǎng)度。

一句話總結(jié)：讓i之前的公共前綴移動(dòng)到公共后綴的位置上。

由此可知，KMP算法的移動(dòng)主要和模式串有關(guān)，和待查找的字符串關(guān)系不大。
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舉個(gè)栗子

假設(shè)模式串為 ABABAAABABAA

假設(shè)模式串與帶比較字符串的第1位比較不匹配：則模式串前移1位（1號(hào)位與主串下一位比較）

假設(shè)模式串與帶比較字符串的第2位比較不匹配：二號(hào)位前的子串為A，公共前后綴長(zhǎng)度是0，則模式串向前移1位（1號(hào)位與主串當(dāng)前位比較）

假設(shè)模式串與帶比較字符串的第3位比較不匹配：三號(hào)位前的子串為AB，公共前后綴長(zhǎng)度是0，則模式串向前移1位（1號(hào)位與主串當(dāng)前位比較）

假設(shè)模式串與帶比較字符串的第4位比較不匹配：三號(hào)位前的子串為ABA，公共前后綴長(zhǎng)度是1，則模式串向前移2位（2號(hào)位與主串當(dāng)前位比較）

到這為之，如圖所示：

我們得到一個(gè)規(guī)律，如果當(dāng)前子串最大公共前后綴長(zhǎng)度為N，那我們就移動(dòng)模式串使N+1號(hào)位與主串當(dāng)前位比較。

那么以此類推：

我們把第一句話標(biāo)記為0，當(dāng)我們看到0時(shí)，將1號(hào)位與主串下一位比較。

并且我們將后面的每一句話的第一個(gè)數(shù)字取出，結(jié)合上面的數(shù)組下標(biāo)，將這些數(shù)字放在一個(gè)數(shù)組中，這樣一來(lái)，根據(jù)數(shù)組所提供的信息，我們?cè)谀Ｊ酱先魏我粋€(gè)位置匹配失敗，就知道下一步該怎么做了：

這個(gè)數(shù)組就是傳說(shuō)中的next數(shù)組。

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上點(diǎn)代碼

? 循序漸進(jìn)，若想知道KMP算法的代碼實(shí)現(xiàn)怎么寫(xiě)，我們先要知道天真的傻瓜式比較法的代碼怎么寫(xiě)。

//too simple, sometimes naive //假設(shè)字符串位置從1開(kāi)始 int naive(String str, String substr) {int i = 1, j = 1, k = i; //i:主串游標(biāo)，j:模式串游標(biāo)，k:位置記錄器while (i<=str.length && j<=substr.length){ //i、j都落在各自字符串的范圍內(nèi)if(str.ch[i] == substr.ch[j]){i++;j++;}else {j = 1;i = ++k; //尋找初始比較位置的下一個(gè)位置}}if (j>substr.length) return k;else return -1; }

現(xiàn)在用KMP的思想做一點(diǎn)修改：

int KMP(String str, String substr, int next[]) {int i = 1, j = 1; //KMP不需要回溯，不需要kwhile (i<=str.length && j<=substr.length){ if(j == 0 || str.ch[i] == substr.ch[j]){ //此處注意j=0的處理i++;j++;}else {j = next[j]; //i不需要回溯，j有next數(shù)組指導(dǎo)往哪走 }}if (j>substr.length) return i-substr.length; //計(jì)算首字符存在的位置else return -1; }

而關(guān)鍵在于：next數(shù)組怎么獲得？
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next數(shù)組

KMP所做的事的聰明之處在于：把之前工作的結(jié)果合理利用起來(lái)，減少重復(fù)勞動(dòng)。

求解next數(shù)組需要繼承這一思想。

假設(shè)一段模式串如下圖所示：

P為模式串中的字符，P的下標(biāo)代表每一個(gè)字符的位置，模式串的長(zhǎng)度為m

現(xiàn)在我們把模式串復(fù)制一份，并凸顯出1到t位置上的字符，也就是左端長(zhǎng)度為t的子串

我們將上面P_j-t+1到P_j的子串與下面P₁到P_t的子串對(duì)應(yīng)起來(lái)，假設(shè)紅色部分完全匹配，黃色部分暫時(shí)不知道，則next[j] = t。

現(xiàn)在我們需要求next[j+1]的值。
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（1）若P_j == P_t

那么很容易求得next[j] = t + 1 = next[j] + 1
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（2） 若P_j 和 P_t不相等

當(dāng)P_j 不等于 P_t時(shí)，這時(shí)的情況似曾相識(shí)：主串某個(gè)位置與模式串某個(gè)位置發(fā)生不匹配的現(xiàn)象。

假如我們把上面的字符串稱為假主串，下面的稱為假模式串：

這不就是熟悉的KMP嗎！

在我們已知next[j]求next[j+1]的情況下時(shí)，我們可以使用next[j]之前所有的next數(shù)組

所以當(dāng)若P_j 和 P_t不相等時(shí)，則循環(huán)將t賦值為next[t]，直到t=0或者滿足（1）為止，當(dāng)t = 0時(shí)，next[j+1] = 1。

總結(jié)：

我們發(fā)現(xiàn)，這種求法天生適合翻譯成代碼：

void getNext(string substr, int next[]) {int t = 0, j = 1;next[1] = 0;while (j<substr.length){if(t == 0 || substr.ch[j] == substr.ch[t]){next[j+1] = t + 1;t++; j++;}else t = next[t];} }

? 在求完next數(shù)組之后，為了理解接下來(lái)的工作，以及不忘初心，我們必須回顧及總結(jié)next數(shù)組的含義到底是什么。

? next[5] = 3意味著5這個(gè)位置之前的子串的公共前后綴長(zhǎng)度為2。

? 一句話：next[i] = j意味著i這個(gè)位置之前的模式串有j-1個(gè)字符是能夠與主串匹配的。
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改進(jìn)上面的KMP算法

? 這里就讓人頭疼了，本來(lái)上面那個(gè)就不怎么好理解，還要改進(jìn)？

在求解next[j]時(shí)，上圖其實(shí)做了很多重復(fù)的工作。

因?yàn)?到4上的字符串相等，因此next[5]直接賦值為0即可。

所以針對(duì)KMP算法的改進(jìn)主要集中在求解next數(shù)組的改進(jìn)上，我們把改進(jìn)之后的數(shù)組稱為nextval數(shù)組。

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nextval

? nextval的優(yōu)化思路：求解nextval[j]時(shí)，移過(guò)來(lái)比較的字符必須與比較過(guò)不符合要求的P_j不相同。

? 如上圖所示：其中P代表模式串中的字符，我們?nèi)粢髇extval[j]，需不停將j賦值為next[j]，再把這些位置上的字符與P_j進(jìn)行比較，如果它們與P_j相等，那么意味著P_j與主串中的字符未匹配，則這些位置上的字符來(lái)到這也沒(méi)用。若其中有一個(gè)字符與P_j不等，那nextval[j]則為對(duì)應(yīng)位置（上圖P_a中的）。

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求解nextval數(shù)組的一般方法

當(dāng)j等于1時(shí)，nextval[j]賦值為0，作為特殊標(biāo)記

當(dāng)j大于1時(shí)：

• 若P_j不等于P_next[j]，則nextval[j]等于next[j]
• 若P_j等于P_next[j]，則nextval[j]等于nextval[next[j]]

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上代碼

void getNextval(string substr, int nextval[]) {int t = 0, j = 1;nextval[1] = 0; //這句很明顯要加上while (j<substr.length){if(t == 0 || substr.ch[j] == substr.ch[t]){//計(jì)算nextval值if(substr.ch[j+1] != substr.ch[t+1]])nextval[j+1] = t + 1;elsenextval[j+1] = nextval[t + 1];t++; j++;}else t = nextval[t]; //用nextval代替next數(shù)組} }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法 - KMP算法原理顿悟有感的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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