【題目描述】
作為一只明媚的兔子,要會疊被子,又得會打蚊子…
兔子住在兔子洞里.兔子洞可以看成是一棵無根樹,有n個洞穴,有n-1條通道連接著n個洞穴.
每天晚上,兔子會在1號洞穴里縮成一團,睡一覺.同時,蚊子大軍出動,去欺負兔子.
因為蚊子人多勢眾,所以它們分兵m*(m-1)路.m是整個兔子洞中只和一條通道相鄰的洞穴數目.任意兩個這樣的洞穴a,b之間(也就是任意兩個葉子節點之間)會有兩只蚊子,一只從a飛到b,一只從b飛到a.它們都沿著a到b的最短路徑移動.蚊子每秒鐘可以通過一條通道.所有蚊子都在0s時突然出現在起點并開始移動.每只蚊子在到達終點后的一瞬間都會突然消失.有些蚊子并不會經過兔子所在的1號節點,它們起到的是恐嚇作用.
又一次滿臉是包地醒來后,兔子忍無可忍了,于是它找到liu_runda讓liu_runda去打蚊子…liu_runda不知所措,于是去某寶搞了一個滅蚊器…這個滅蚊器被放在1號節點.每個時刻,它都會工作一次,把和滅蚊器距離小于等于d范圍內的蚊子全部殺死.(d=0時只能控制1號點一個位置)
遺憾的是,兔子洞尚未通電,兔子只能用愛發電.因此,每個時刻滅蚊器只有p/q的概率能夠正常工作.如果不能正常工作,那么蚊子將不受到任何影響.
滅蚊器無法影響出現之前和消失之后的蚊子.但在蚊子出現在起點和消失在終點的那個時刻,如果滅蚊器正常工作且蚊子在作用范圍內,這只蚊子仍會被殺死.
兔子對liu_runda的誠意表示懷疑…于是它讓liu_runda算出滅蚊器在一晚上期望能殺死多少蚊子.liu_runda當然會算了,但是他想考考你.
因為兔子討厭小數,你需要輸出這個期望值模109+7后的結果.即:如果期望值可以表示成有理數a/b(a,b為整數),你需要輸出a*b-1 mod 1000000007(109+7)的值.
(如果你算錯了,就會被liu_runda拿去喂兔子,啊嗚~~)

【輸入格式】
第一行一個整數n,表示兔子洞中洞穴的個數.洞穴編號為1到n的整數.
接下來n-1行,每行兩個整數u,v,表示u和v兩個洞穴之間有一條通道.
接下來一行三個整數d,p,q,表示滅蚊器的作用范圍是d,每個時刻工作的概率是p/q.
【輸出格式】
一行一個整數ans,表示期望模109+7的值.

【樣例輸入】
3
1 2
1 3
1 1 2
【樣例輸出】
750000007

【樣例解釋】
共有2只蚊子,一只從2飛到3,一只從3飛到2.滅蚊器的作用范圍是1,那么三個點都在作用范圍內,每個蚊子會有三個時刻在作用范圍內,那么每只蚊子生還的概率都是1/8,經過計算,我們期望能夠打死7/4只蚊子,說明liu_runda提供的滅蚊器是比較靠譜的.我們輸出7*4-1mod1000000007的值750000007.

【數據范圍】
記m為葉子節點的個數.
對于第1個測試點,n=300
對于第2,3個測試點,n=3000
對于第4個測試點,d=0,n=100000
對于第5個測試點,p/q=1,n=100000
對于第6,7個測試點n=5000000,m<=500
對于第8,9,10個測試點,n=5000000
對于所有測試點,m < n<=5000000,0<=d<=n,1<=p<=q<=109+7保證1號節點至少和兩條通道相連.

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分析：
考場上想的差不多了，但是就連部分分的碼量我都很崩潰

每只蚊子的貢獻是1-(1-p/q)^k（k是有效的時間）
我們可以先不管前面那個1，把后面的(1-p/q)^k的和求出來，最后用m*(m-1)減去那個和就可以了

一條路徑可以在LCA處拆成兩條
我們考慮如何求出以某個點為LCA的所有路徑的貢獻之和
一條路徑可以拆成兩部分，一部分是從一個葉節點走到LCA，另一部分是從LCA走到另一個葉節點，把這兩部分看作兩條”半路徑”

記g[i]為以i為LCA的所有半路徑的貢獻之和

對于i子樹內的每個葉節點x，g[i]+=(1-p/q)^k，k是x到i的半路徑上的被控制點的個數
g[i]可以通過O(n)樹形dp得到

接下來我們通過g[i]求出以每個點為LCA的路徑的貢獻之和
對于點x,考慮它的所有兒子,每一對兒子(u,v)的貢獻是g[u] * g[v] * (1-p/q)
注意，(u,v)和(v,u)都需要算一次

直接暴力枚舉每一對兒子會超時
我們通過乘法分配律可以用O(兒子個數)的時間復雜度算出來
總的時間復雜度仍為O(n)
空間復雜度也為O(n)

//這里寫代碼片 #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<cmath> #define ll long longusing namespace std;const int N=5000005; const int mod=1000000007; int pre[N],leaves[N],deep[N]; struct node{int x,y,nxt; }; node way[N<<1]; int st[N],tot=0,D,Q,P,PQ,q[N],tou,wei,n; bool isleaf[N]; int g[N];int KSM(int a,int b) {int t=1;a%=mod;while (b){if (b&1)t=(t%mod*1LL*a%mod)%mod;b>>=1;a=(a%mod*1LL*a%mod)%mod;}return (int)t%mod; }void add(int u,int w) {tot++;way[tot].x=u;way[tot].y=w;way[tot].nxt=st[u];st[u]=tot;tot++;way[tot].x=w;way[tot].y=u;way[tot].nxt=st[w];st[w]=tot; }void bfs() {wei=tou=0;q[++wei]=1; deep[1]=0; pre[1]=0;do{int now=q[++tou];leaves[now]=1;isleaf[now]=1;for (int i=st[now];i;i=way[i].nxt)if (way[i].y!=pre[now]){int v=way[i].y;leaves[now]=0;isleaf[now]=0;deep[v]=deep[now]+1;pre[v]=now;q[++wei]=v;}}while (tou<wei);for (int i=wei;i>1;i--)leaves[pre[q[i]]]+=leaves[q[i]]; //統計每棵子樹內的葉子數 }void solve() {int m=leaves[1]; //葉子數int ans=m*1LL*(m-1)/2%mod; for (int i=1;i<=n;i++)if (deep[i]==D||(isleaf[i]&&deep[i]<D)) //會受影響的最頂端結點 {g[i]=leaves[i]*1LL*PQ%mod; //至少在這一點受到影響 int tmp=0,y;for (int j=st[i];j;j=way[j].nxt)if (way[j].y!=pre[i]){y=leaves[way[j].y]; //我們這里需要去除一些確定影響ans=(ans-tmp*1LL*y%mod*PQ%mod+mod)%mod; //now的一棵子樹與其他所有子樹之間的影響 ans=(ans-y*1LL*(y-1)/2%mod+mod)%mod; //now的一棵子樹內部的影響 tmp=tmp+y;}}while (wei>1&&deep[q[wei]]>D) wei--; //深度大的我們不考慮 for (int i=wei;i>=1;i--){int now=q[i];for (int j=st[now];j;j=way[j].nxt)if (way[j].y!=pre[now]){ans=(ans-g[now]*1LL*g[way[j].y]%mod+mod)%mod; g[now]=(g[now]+g[way[j].y]*1LL*PQ)%mod; //g的維護 }}printf("%d\n",ans*2LL%mod); }int main() {freopen("mosquito.in","r",stdin); freopen("mosquito.out","w",stdout);scanf("%d",&n);memset(st,0,sizeof(st));for (int i=1;i<n;i++){int u,w;scanf("%d%d",&u,&w);add(u,w);}scanf("%d%d%d",&D,&P,&Q);PQ=P*1LL*KSM(Q,mod-2)%mod;PQ=(1+mod-PQ)%mod;bfs();solve();return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的10.26 T3.蚊子(mosquito) （树形dp）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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