1. 前言

上次寫Python操作LevelDB時提到過，有機會要實現下SkipList。摘錄下wiki介紹：

跳躍列表是一種隨機化數據結構，基于并聯的鏈表，其效率可比擬二叉查找樹。

我們知道對于有序鏈表，查找的時間復雜度為O(n)，盡管真正的插入與刪除操作節點復雜度只有O(1)，但都需要先查找到節點的位置，可以說是查找拉低了有序鏈表的性能。

簡單地講，SkipList采用“空間換時間”的思想，除了原始鏈表外還保存一些“跳躍”的鏈表，達到加速查找的效果。

我的實現：https://github.com/liquidconv/DSAF

2. 感性認識SkipList

bottom-up與top-down，我個人傾向后者。所以在給出SkipList里具體定義與算法前，先從問題出發，研究一下SkipList的設計思路。

來看一個有序鏈表(這里H表示鏈表頭部，T表示鏈表尾部，不是有效節點)：

1.png

假設我們要查找7，只能老老實實地按照1->2->3->…的順序走，忍受O(n)的效率；但如果是數組的話，可以使用二分查找達到O(lgn)。

可以在鏈表中使用二分查找嗎？

不可以，因為二分查找需要用到中間位置的節點，而鏈表不能隨機訪問。

——那么就把中間位置的節點單獨保存吧。

2.png

原來的鏈表寫成了三個鏈表，記從下到上的編號為0、1、2，可以發現0號鏈表就是原始鏈表，1號鏈表是原始鏈表四等分點，2號鏈表是原始鏈表的二等分點。

我們再來查找7，初始搜索范圍為(H, T)：

在2號鏈表中與4比較，7>4，更新搜索范圍為(4, T)

在1號鏈表中與6比較，7>6，更新搜索范圍為(6, T)

在0號鏈表中與7比較，7=7，查找成功。

形象化地說，SkipList就是額外保存了二分查找的中間信息。不過SkipList中含有隨機化，生成的結構不會像上面那樣完美，來看實際生成的一個SkipList：

3.png

之后會詳細討論隨機化的問題，現在先承上啟下地梳理下信息：

• SkipList結合了鏈表和二分查找的思想
• 將原始鏈表和一些通過“跳躍”生成的鏈表組成層
• 第0層是原始鏈表，越上層“跳躍”的步距越大，鏈表元素越少
• 上層鏈表是下層鏈表的子序列
• 查找時從頂層向下，不斷縮小搜索范圍

最后，可以利用“鏈”的性質，減少存儲空間：

4.png

3. 實現SkipList

這里寫的SkipList是非常naive的，有許多可優化之處。

3.1 定義

首先定義SkipList中的節點：

typedef struct SkipListNode {int key;void *data;int level;SkipListNode **next_nodes; } SkipListNode;

key是鍵，data是值，與標準鏈表中的節點一樣；區別在“鏈”的部分，level表示節點在第幾層中，next_nodes是每層上的后繼節點——比如上面那個例子里的節點4，在第2層是T，在第1層是6，在第0層是5。

然后來定義SkipList：

class SkipList {public:SkipList(int max_level);~SkipList(void);void insertNode(int key, void *data);void deleteNode(int key);void *getData(int key);void displayList(void);private:int MAX_LEVEL;int RandomLevel(void);SkipListNode *head;SkipListNode *tail; };

接口的含義還是很清楚的。構造SkipList時給定最大層數(其實是可以讓層數動態增長的)，displayList用于打印整個SkipList。

這里假設key是不重復的，所以insertNode實現了插入與修改，deleteNode實現了刪除，getData實現了查找。

3.2 構造與析構

首先來看構造函數SkipList(int max_level)：

SkipList::SkipList(int max_level) {MAX_LEVEL = max_level > 0? max_level : 1;head = new SkipListNode;tail = new SkipListNode;head->next_nodes = new SkipListNode *[MAX_LEVEL];for(int i = 0; i < MAX_LEVEL; ++i)head->next_nodes[i] = tail; }

首先確定SkipList的最大層數MAX_LEVEL，然后生成head與tail節點，head節點顯然必須是一個MAX_LEVEL層的節點，讓head在每一層上的后繼節點都是tail。

用圖片來表示SkipLsit(3)的話，就是：

5.png

析構函數~SkipList(void)也很簡單：

SkipList::~SkipList(void) {SkipListNode *curr = nullptr;while(head->next_nodes[0] != tail) {curr = head->next_nodes[0];head->next_nodes[0] = curr->next_nodes[0];delete curr->next_nodes;delete curr;}delete head->next_nodes;delete head;delete tail; }

第0層的鏈表是原始鏈表，上層鏈表的節點都來自第0層，所以可以利用這個性質，沿著第0層鏈表釋放節點，注意除了釋放SkipListNode還要釋放里面的next_nodes。

3.3 插入、刪除與查找

SkipList的插入、刪除與查找一脈相承，理解插入后刪除與查找都很簡單。但在給出插入算法的代碼前，先讓我們想想insertNode里需要做哪些工作：

• 標準有序鏈表插入前需要定位，通常是確定新節點的前驅節點；SkipList中一個節點至多是MAX_LEVEL層的，需要插入到MAX_LEVEL個有序鏈表里，所以要確定每層的前驅節點
• 構造新節點，生成小于MAX_LEVEL的隨機數k，作為新節點的層數
• 將新節點插入到第0層到第(k-1)層的鏈表中

概括起來還是三步走：找前驅，做節點，插入鏈表。

第一步，找前驅：

SkipListNode *update[MAX_LEVEL];SkipListNode *curr = head;for(int i = MAX_LEVEL - 1; i >= 0; --i) {if(curr->next_nodes[i] == tail || curr->next_nodes[i]->key > key)update[i] = curr;else {while(curr->next_nodes[i] != tail && curr->next_nodes[i]->key < key)curr = curr->next_nodes[i];update[i] = curr;}}

update是前驅節點數組，curr用來迭代，初始值為head。for循環的大結構是自頂向下遍歷每層，找到該層上新節點的前驅節點。

重點在于if-else結構，我們來看第i層。curr只有后繼節點不是tail，而且curr第i層后繼節點的key比新節點key小的時候才會更新，所以curr滿足性質：

curr的后繼節點是tail，或者curr->key比key小。

假如curr的后繼節點是tail，或者curr的key比新節點的key小，curr的后繼節點比新節點的key大的話，新節點的插入位置都正好在curr后面，也就是curr是新節點在第i層的前驅節點。

否則就需要在第i層鏈表上向后移動curr，直到curr的后繼節點是tail，或者curr的后繼節點的key大于新節點的key，也就是回到之前的情形。

假設要在下面的SkipList里插入5，來看update數組的計算過程：

6.png

i = 2
curr進入循環時為head，第1層后繼節點為curr->next_nodes[2]
curr->next_nodes[2]不是tail，而且key = 4 < 5
進入else部分，更新curr為4號節點
update[2] = 4號節點

i = 1，搜索范圍為(4, tail)
curr進入循環時為4號節點，第1層后繼節點為curr->next_nodes[1]
curr->next_nodes[1]不是tail但key = 6 > 5
進入if部分，不更新curr
update[1] = 4號節點

i = 0，搜索范圍為(4, 6)
curr進入循環時為4號節點，后繼節點為6號節點
進入if部分，不更新curr
update[0] = 4號節點

繼續之前搜索范圍的說法，搜索的過程可以看做搜索范圍（curr, curr->next_nodes[i]）的收緊。初始時為(head, tail)，每層的while循環里收緊下界，curr遞增，在逐層下降的for循環里收緊上界，curr->next_nodes[i]遞減。

這里為了清晰刪除了保證key不重復的代碼，后面有完整版。

第二步，做節點

int level = RandomLevel();SkipListNode *temp = new SkipListNode;temp->key = key;temp->data = data;temp->level = level;temp->next_nodes = new SkipListNode *[level + 1];

內容非常簡單，RandomLevel()之后討論隨機化時再說，總之就是產生一個0到MAX_LEVEL - 1之間的隨機數。唯一的坑就是生成next_nodes是要用（level+1）而不是level，考慮level = 0的情形就明白了。

第三步，插入鏈表

for(int i = 0; i <= level; ++i) {temp->next_nodes[i] = update[i]->next_nodes[i];update[i]->next_nodes[i] = temp;}

來看完整的insertNode(int key, void *data):

void SkipList::insertNode(int key, void *data) {SkipListNode *update[MAX_LEVEL];SkipListNode *curr = head;// 尋找每一層上待插入節點之前的節點for(int i = MAX_LEVEL - 1; i >= 0; --i) {if(curr->next_nodes[i] == tail || curr->next_nodes[i]->key > key)update[i] = curr;else {while(curr->next_nodes[i] != tail && curr->next_nodes[i]->key < key)curr = curr->next_nodes[i];if(curr->next_nodes[i] != tail && curr->next_nodes[i]->key == key) {curr->next_nodes[i]->data = data;return;}update[i] = curr;}}// 生成待插入節點int level = RandomLevel();SkipListNode *temp = new SkipListNode;temp->key = key;temp->data = data;temp->level = level;temp->next_nodes = new SkipListNode *[level + 1];// 在每層上的鏈表中插入節點for(int i = 0; i <= level; ++i) {temp->next_nodes[i] = update[i]->next_nodes[i];update[i]->next_nodes[i] = temp;} }

刪除與插入完全是對稱的，直接來看代碼：

void SkipList::deleteNode(int key) {SkipListNode *update[MAX_LEVEL];SkipListNode *curr = head;// 尋找每一層上待刪除節點之前的節點for(int i = MAX_LEVEL - 1; i >= 0; --i) {if(curr->next_nodes[i] == tail || curr->next_nodes[i]->key > key)update[i] = nullptr;else {while(curr->next_nodes[i] != tail && curr->next_nodes[i]->key < key)curr = curr->next_nodes[i];if(curr->next_nodes[i] != tail && curr->next_nodes[i]->key == key)update[i] = curr;elseupdate[i] = nullptr;}}SkipListNode *temp = nullptr;// 在每層上的鏈表中刪除節點for(int i = 0; i < MAX_LEVEL; ++i) {if(update[i]) {temp = update[i]->next_nodes[i];update[i]->next_nodes[i] = temp->next_nodes[i];}}// 最終釋放節點if(temp) {delete temp->next_nodes;delete temp;} }

同樣先查找前驅數組，由于節點不一定在某層中出現，找不到時就把前驅節點標記為nullptr，在該節點出現的層的鏈表里刪除該節點，最終釋放節點。

查找就更加簡單了，從上到下遍歷，找到就返回：

void *SkipList::getData(int key) {SkipListNode* curr = head;for(int i = MAX_LEVEL - 1; i >= 0; --i) {if(curr->next_nodes[i] == tail || curr->next_nodes[i]->key > key)continue;else {while(curr->next_nodes[i] != tail && curr->next_nodes[i]->key < key)curr = curr->next_nodes[i];if(curr->next_nodes[i] != tail && curr->next_nodes[i]->key == key)return curr->next_nodes[i]->data;}}return nullptr; }

3.4 隨機化

SkipList是一種概率算法，非常依賴于生成的隨機數。這里不能用rand() % MAX_LEVEL的簡單做法，而要用滿足p=1/2幾何分布的隨機數。

來看RandomLevel()的代碼：

int SkipList::RandomLevel(void) {int level = 0;while(rand() % 2 && level < MAX_LEVEL - 1)++level;return level; }

這里不做太多的數學分析，只做直觀解釋。考慮MAX_LEVEL = 4的情形，可能的返回值為0、1、2、3，顯然出現概率分別為：

P(0) = (1/2)^0 * (1/2) = 1/2
P(1) = (1/2)^1 * (1/2) = 1/4
P(2) = (1/2)^2 * (1/2) = 1/8
P(3) = 1 - P(0) - P(1) - P(2) = 1/8

假設有16個元素的話，可以預計第0層有16個元素，第1層約有16 - 8 = 8個元素，第2層約有16 - 8 - 4 = 4個元素，第3層約有16 - 8 -4 -2 = 2個元素，從底向上每層元素數量大約減少一半。

SkipList層數合適時自頂向下搜索，理想情況下每下降一層，搜索范圍減小一半，達到類似二分查找的效果，效率為O(lgn)；最壞情況下也只是curr從head移動到tail，效率為O(n)。

我的實現里最大層數是通過MAX_LEVEL靜態指定的，也可以讓最大層數動態增長——RandomLevel里不設置最大值，插入節點時得到的level比當前SkipList層數大時就在頂上再加一層，刪除節點時如果只有這個節點在高層就去掉高層。

4. 參考資料

• Skip list：
  https://en.wikipedia.org/wiki/Skip_list
• skiplist 跳表詳解及其編程實現
  http://www.tuicool.com/articles/J7rQRb

作者：kophy
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來源：簡書
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總結

以上是生活随笔為你收集整理的深夜学算法之SkipList：让链表飞的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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