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引言

搜索廣告拍賣(mài)（sponsored search auction）是搜索引擎向廣告主銷(xiāo)售搜索結(jié)果頁(yè)上的廣告位的一種拍賣(mài)活動(dòng)。用戶(hù)每搜索一個(gè)關(guān)鍵詞，網(wǎng)頁(yè)的頂部和側(cè)面就可以顯示一些廣告。廣告每被點(diǎn)擊一次，相應(yīng)的廣告主就需要向搜索引擎支付一筆費(fèi)用。通常，廣告位不止一個(gè)，不同位置的廣告被用戶(hù)點(diǎn)擊的概率是不一樣的，而希望投放廣告的商家也不止一位。當(dāng)多個(gè)廣告主競(jìng)爭(zhēng)點(diǎn)擊率高的廣告位時(shí)，一場(chǎng)拍賣(mài)就出現(xiàn)了。

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一個(gè)簡(jiǎn)化的搜索廣告拍賣(mài)場(chǎng)景是這樣的：賣(mài)家（搜索引擎）出售?m?個(gè)廣告位，廣告位點(diǎn)擊率從大到小排序?yàn)?q1?≥ q2?≥ ? ≥ qm（假設(shè)點(diǎn)擊率與廣告的實(shí)際內(nèi)容無(wú)關(guān)）。有?n?個(gè)買(mǎi)家（廣告主），每人至多購(gòu)買(mǎi)一個(gè)廣告位，他們對(duì)每次點(diǎn)擊的估值為?v1,?v2, …, vn。估值?vi?只有買(mǎi)家?i?自己清楚，賣(mài)家和其他買(mǎi)家都不知道?vi?的值。買(mǎi)家們向賣(mài)家報(bào)價(jià)?bi?來(lái)代表他們的估值?vi。bi?不一定要等于?vi。賣(mài)家根據(jù)所有的報(bào)價(jià)?b1, b2, …, bn?來(lái)確定這?m?個(gè)廣告位如何分配給廣告主們以及每個(gè)廣告主應(yīng)該為每次點(diǎn)擊支付多少費(fèi)用?pi。假設(shè)買(mǎi)家?i?獲得了廣告位?j，則他的效用為?vi?qj?–?pi?qj，而賣(mài)家的收益即所有?pi?qj?的和。買(mǎi)家通過(guò)調(diào)整報(bào)價(jià)來(lái)最大化自己的效用，而賣(mài)家希望最大化收益。不同的分配方案?qj(?) 和費(fèi)用計(jì)算方式?pi(?) 會(huì)影響買(mǎi)家的報(bào)價(jià)策略，也給賣(mài)家?guī)?lái)不同的收益。

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早在40年前，經(jīng)濟(jì)學(xué)家 Roger B. Myerson 就設(shè)計(jì)出了賣(mài)家收益最優(yōu)的拍賣(mài)方案，稱(chēng)為 Myerson's auction[1]。除了賣(mài)家收益最優(yōu)，Myerson's auction 還具有 truthful 的性質(zhì)，即買(mǎi)家的報(bào)價(jià)?bi?恰好等于估值?vi?時(shí)，他們的效用是最大的。這個(gè)貢獻(xiàn)是 Myerson 在2007年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的原因之一。

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需要強(qiáng)調(diào)的是，Myerson's auction 依賴(lài)于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典假設(shè)：買(mǎi)家的估值?vi?服從某個(gè)概率分布?Fi，且包括賣(mài)家在內(nèi)的所有人都知道這個(gè)分布。Myerson's auction 的分配方案和費(fèi)用計(jì)算方式與分布?Fi?密切相關(guān)，也就是說(shuō)，買(mǎi)家?i?獲得的廣告位?qj(?)?和他支付的費(fèi)用?pi(?)?是同時(shí)關(guān)于報(bào)價(jià) (b1, b2, …, bn) 和分布?(F1, F2, …, Fn)?的函數(shù)。

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然而在現(xiàn)實(shí)中，“知道買(mǎi)家的估值分布”這一假設(shè)并不成立。不成立的原因有：完整的分布無(wú)法用計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存、估值信息屬于廣告主的隱私等。因此，搜索引擎無(wú)法直接使用 Myerson's auction 來(lái)最大化自己的收益。

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不過(guò)，與傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的拍賣(mài)不同的是，搜索廣告拍賣(mài)是重復(fù)的。關(guān)鍵詞每被搜索一次，就產(chǎn)生一場(chǎng)拍賣(mài)，這個(gè)過(guò)程一天能重復(fù)成千上萬(wàn)次。如果一個(gè)買(mǎi)家參加多場(chǎng)拍賣(mài)，搜索引擎就可以通過(guò)他的歷史報(bào)價(jià)記錄來(lái)估計(jì)他的估值分布。如果報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)足夠多，則賣(mài)家依然能使用 Myerson's auction 來(lái)獲得近似最優(yōu)的收益[2]。賣(mài)家收益增加通常意味著買(mǎi)家效用減少。換句話(huà)說(shuō)，通過(guò)“大數(shù)據(jù)殺熟”，賣(mài)家能從買(mǎi)家身上榨取更多利潤(rùn)。

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但是買(mǎi)家甘心被宰嗎？大數(shù)據(jù)殺熟有一個(gè)前提：報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)必須真實(shí)刻畫(huà)買(mǎi)家的估值分布。然而，當(dāng)報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)掌控在買(mǎi)家手中時(shí)，即使在 Myerson's auction 這樣原本滿(mǎn)足 truthful 性質(zhì)的拍賣(mài)中，誠(chéng)實(shí)報(bào)價(jià)?bi?= vi?也未必是納什均衡（納什均衡即每個(gè)參與者在其他參與者的策略不變的情況下采用了最優(yōu)策略的穩(wěn)定狀態(tài)）。因?yàn)橘u(mài)家對(duì)分配和付費(fèi)方案的選擇與買(mǎi)家的分布有關(guān)，所以買(mǎi)家可以修改分布來(lái)影響賣(mài)家的決策，從而獲得更高的效用。這就是我們希望研究的問(wèn)題：

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若搜索引擎使用歷史報(bào)價(jià)來(lái)近似估值分布，

買(mǎi)家會(huì)采用怎樣的報(bào)價(jià)策略？

賣(mài)家的收益又如何？

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模型和結(jié)果

我們考慮了一個(gè)理想化的兩階段模型：首先賣(mài)家公布一個(gè)拍賣(mài)方案?M，比如 Myerson's auction，M?的分配和付費(fèi)計(jì)算方式可以與估值分布有關(guān)；然后買(mǎi)家們提交一組分布?F1', …, Fn'，具體來(lái)說(shuō)，買(mǎi)家?i?根據(jù)某個(gè)報(bào)價(jià)函數(shù)?βi: R+?→ R+?將估值?vi?～ Fi?映射到?bi?= βi?(vi)，使得?bi?的分布服從?Fi'。買(mǎi)家?i?獲得的廣告位?qj?和支付的費(fèi)用?pi?是由?(b1, …, bn)?和 (F1', …, Fn')?決定的。賣(mài)家的收益是?pi?qj?的和的期望，買(mǎi)家?i?的效用是?vi?qj??–?pi?qj?的期望。

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在這個(gè)模型中，Fi?是買(mǎi)家的私有信息，而?Fi'?可被視為私有信息的代理。買(mǎi)家可以任意選擇代理。在代理和拍賣(mài)方式的選擇上，買(mǎi)家之間、買(mǎi)家與賣(mài)家之間形成了復(fù)雜的博弈關(guān)系。因此我們稱(chēng)這個(gè)模型為“私有數(shù)據(jù)代理博弈”（論文中為“私有數(shù)據(jù)操縱博弈，Private Data Manipulation game，PDM”）。

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在私有數(shù)據(jù)代理博弈模型下，我們證明了：

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Myerson's auction 與 Generalized First Price auction 等價(jià)。

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Generalized First Price auction（GFP）是單物品最高價(jià)拍賣(mài)（first price auction）在搜索廣告拍賣(mài)場(chǎng)景中的推廣：在 GFP 中，賣(mài)家將廣告主按照?qǐng)?bào)價(jià)從高到低排序，不妨記為?b1?≥ ? ≥ bn，廣告位也按點(diǎn)擊率從高到低排序，q1?≥?? ≥ qm。分配方案是：廣告主1獲得廣告位1，廣告主2獲得廣告位2，以此類(lèi)推，廣告主 min{n,?m} 獲得廣告位 min{n,?m}；每個(gè)廣告主?i?為每次點(diǎn)擊支付的費(fèi)用?pi?就等于他的報(bào)價(jià)?bi。與 Myerson's auction 不同的是，GFP 本身不 truthful，且它的分配方案和費(fèi)用計(jì)算方式與估值分布無(wú)關(guān)。所謂“等價(jià)”，是說(shuō)在私有數(shù)據(jù)代理博弈中，在 Myerson's auction 和 GFP 各自的納什均衡下，賣(mài)家獲得相同的期望收益，每個(gè)買(mǎi)家的期望效用也相同。換句話(huà)說(shuō)，搜索引擎沒(méi)有必要從數(shù)據(jù)中還原分布后再運(yùn)行所謂“收益最優(yōu)”的拍賣(mài)——運(yùn)行一個(gè)與分布無(wú)關(guān)的拍賣(mài)就足夠了。這個(gè)等價(jià)性意味著：通過(guò)巧妙地選取代理分布，廣告主挫敗了搜索引擎的“剝削”行為，并在某些私有分布?Fi?下提高了自身的效用（比如?F1, …, Fn?獨(dú)立同分布時(shí)）。

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Myerson's auction 與 GFP 等價(jià)的結(jié)論對(duì)任意一組分布?F1, …, Fn?都成立。進(jìn)一步地，在給估值分布加一些限制條件（如獨(dú)立同分布）后，我們得出了 Myerson's auction 與 Generalized Second Price auction（GSP）和 VCG auction 也等價(jià)的結(jié)論（見(jiàn)Figure 1）。

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討論

技術(shù)上，我們?cè)诮?jīng)典的收益等價(jià)定理（revenue equivalence theorem）的基礎(chǔ)上，透過(guò)私有數(shù)據(jù)代理博弈這個(gè)新的視角，考察了 Myerson's auction 和 GFP、VCG、GSP 之間的等價(jià)性現(xiàn)象。我們還推廣了 Tang & Zeng [3] 的“Myerson's auction 與 GFP 在只有一個(gè)廣告位的拍賣(mài)中等價(jià)”的結(jié)論。

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實(shí)際意義上，我們?cè)谥貜?fù)的搜索廣告拍賣(mài)這個(gè)實(shí)際場(chǎng)景里，討論了機(jī)器學(xué)習(xí)中的激勵(lì)問(wèn)題（incentives in machine learning）——當(dāng)機(jī)器學(xué)習(xí)算法的輸出涉及訓(xùn)練數(shù)據(jù)提供方的利益時(shí)，數(shù)據(jù)提供方可通過(guò)修改數(shù)據(jù)來(lái)獲利。我們相信私有數(shù)據(jù)代理博弈模型可以應(yīng)用到其他實(shí)際問(wèn)題。

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參考文獻(xiàn)

[1]R. B. Myerson, "Optimal Auction Design," Math Oper Res, doi: 10.1287/moor.6.1.58.

[2]C. Guo, Z. Huang, and X. Zhang, "Settling the Sample Complexity of Single-Parameter Revenue Maximization," in Proceedings of the 51st Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing, doi: 10.1145/3313276.3316325.

[3]P. Tang and Y. Zeng, "The Price of Prior Dependence in Auctions," in Proceedings of the 2018 ACM Conference on Economics and Computation, doi: 10.1145/3219166.3219183.?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Private Data Manipulation in Optimal Sponsored Search Auction的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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