轉載自：http://blog.csdn.net/gamer_gyt/article/details/51498546

一：圖的分類

1：無向圖

??????? 即兩個頂點之間沒有明確的指向關系，只有一條邊相連，例如，A頂點和B頂點之間可以表示為 <A, B> 也可以表示為<B, A>，如下所示

??????????????????????

2：有向圖

??????? 頂點之間是有方向性的，例如A和B頂點之間，A指向了B，B也指向了A，兩者是不同的，如果給邊賦予權重，那么這種異同便更加顯著了

??????????????????????

=================================================================================================

在次基礎上，根據圖的連通關系可以分為

無向完全圖：在無向圖的基礎上，每兩個頂點之間都存在一條邊，一個包含N個頂點的無向完全圖，其總邊數為N（N-1）/2

有向完全圖：在有向圖的基礎上，每兩個頂點之間都存在一條邊，一個包含N個頂點的有向完全圖，其總邊數為N（N-1）

連通圖：針對無向圖而言的，如果任意兩個頂點之間是連通的，則該無向圖稱為連通圖

非連通圖：無向圖中，存在兩個頂點之間是不連通的，則該無向圖稱為非連通圖

強連通圖：針對有向圖而言的，如果有向圖中任意兩個頂點之間是連通的（注意方向問題，A—>B，成立，但B—>A不一定成立），則該有向圖稱為強連通圖

非強連通圖：如果有向圖中存在兩個頂點之間是不連通的，則該有向圖稱為非強連通圖

二：圖的存儲結構

1：鄰接矩陣

?????? 使用二維數組來存儲圖的邊的信息和權重，如下圖所示的4個頂點的無向圖

???????????????????????????????????????????????

??????? 從上面可以看出，無向圖的邊數組是一個對稱矩陣。所謂對稱矩陣就是n階矩陣的元滿足a_ij?= a_ji。即從矩陣的左上角到右下角的主對角線為軸，右上角的元和左下角相對應的元全都是相等的。

如果換成有向圖，則如圖所示的五個頂點的有向圖的鄰接矩陣表示如下

????????????????????????????????

2：鄰接表

??????? 鄰接矩陣是一種不錯的圖存儲結構，但是對于邊數相對較少的圖，這種結構存在空間上的極大浪費，因此找到一種數組與鏈表相結合的存儲方法稱為鄰接表。

鄰接表的處理方法是這樣的：

? ? （1）圖中頂點用一個一維數組存儲，當然，頂點也可以用單鏈表來存儲，不過，數組可以較容易的讀取頂點的信息，更加方便。

? ? （2）圖中每個頂點vi的所有鄰接點構成一個線性表，由于鄰接點的個數不定，所以，用單鏈表存儲，無向圖稱為頂點vi的邊表，有向圖則稱為頂點vi作為弧尾的出邊表

如下為無向圖的鄰接表表示：

從圖中可以看出，頂點表的各個結點由data和firstedge兩個域表示，data是數據域，存儲頂點的信息，firstedge是指針域，指向邊表的第一個結點，即此頂點的第一個鄰接點。邊表結點由adjvex和next兩個域組成。adjvex是鄰接點域，存儲某頂點的鄰接點在頂點表中的下標，next則存儲指向邊表中下一個結點的指針。

有向圖的鄰接表表示：

3：十字鏈表

對于鄰接表來說，計算頂點的入度是不方便的，那么有沒有一種存儲方式能夠輕松的計算頂點的入度和出度呢，答案是肯定的

在十字鏈表中重新定義了節點的結構：

firstin表示入邊表頭指針，指向該頂點的入邊表中第一個結點，firstout表示出邊表頭指針，指向該頂點的出邊表中的第一個結點

重新定義的邊表結構為：

??????? 其中，tailvex是指弧起點在頂點表的下表，headvex是指弧終點在頂點表的下標，headlink是指入邊表指針域，指向終點相同的下一條邊，taillink是指邊表指針域，指向起點相同的下一條邊。如果是網，還可以增加一個weight域來存儲權值。

?????? 比如下圖，頂點依然是存入一個一維數組，實線箭頭指針的圖示完全與鄰接表相同。就以頂點v₀來說，firstout指向的是出邊表中的第一個結點v₃。所以，v₀邊表結點hearvex = 3，而tailvex其實就是當前頂點v₀的下標0，由于v₀只有一個出邊頂點，所有headlink和taillink都是空的。

??????? 重點需要解釋虛線箭頭的含義。它其實就是此圖的逆鄰接表的表示。對于v₀來說，它有兩個頂點v₁和v₂的入邊。因此的firstin指向頂點v1的邊表結點中headvex為0的結點，如上圖圓圈1。接著由入邊結點的headlink指向下一個入邊頂點v₂，如上圖圓圈2。對于頂點v₁，它有一個入邊頂點v₂，所以它的firstin指向頂點v₂的邊表結點中headvex為1的結點，如上圖圓圈3。

? ? 十字鏈表的好處就是因為把鄰接表和逆鄰接表整合在一起，這樣既容易找到以v為尾的弧，也容易找到以v為頭的弧，因而比較容易求得頂點的出度和入度。

? ? 而且除了結構復雜一點外，其實創建圖算法的時間復雜度是和鄰接表相同的，因此，在有向圖應用中，十字鏈表是非常好的數據結構模型。

? ? 這里就介紹以上三種存儲結構，除了第三種存儲結構外，其他的兩種存儲結構比較簡單

三：圖的遍歷

1：深度優先遍歷（DFS）

它從圖中某個結點v出發，訪問此頂點，然后從v的未被訪問的鄰接點出發深度優先遍歷圖，直至圖中所有和v有路徑相通的頂點都被訪問到。若圖中尚有頂點未被訪問，則另選圖中一個未曾被訪問的頂點作起始點，重復上述過程，直至圖中的所有頂點都被訪問到為止。

基本實現思想：

（1）訪問頂點v；

（2）從v的未被訪問的鄰接點中選取一個頂點w，從w出發進行深度優先遍歷；

（3）重復上述兩步，直至圖中所有和v有路徑相通的頂點都被訪問到。

遞歸實現

（1）訪問頂點v；visited[v]=1；//算法執行前visited[n]=0

（2）w=頂點v的第一個鄰接點；

（3）while（w存在）??

???????? ??if（w未被訪問）

?????????????????? 從頂點w出發遞歸執行該算法；?
???????????w=頂點v的下一個鄰接點；

?

非遞歸實現

?（1）棧S初始化；visited[n]=0；

?（2）訪問頂點v；visited[v]=1；頂點v入棧S

?（3）while(棧S非空)

????????????x=棧S的頂元素(不出棧)；

??????????? if(存在并找到未被訪問的x的鄰接點w)

??????????????????? 訪問w；visited[w]=1；

????????????????????w進棧;

??????????? else

?????????????????????x出棧；

2：廣度優先遍歷（BFS）

它是一個分層搜索的過程和二叉樹的層次遍歷十分相似，它也需要一個隊列以保持遍歷過的頂點順序，以便按出隊的順序再去訪問這些頂點的鄰接頂點。

基本實現思想：?

（1）頂點v入隊列。

（2）當隊列非空時則繼續執行，否則算法結束。

（3）出隊列取得隊頭頂點v；訪問頂點v并標記頂點v已被訪問。

（4）查找頂點v的第一個鄰接頂點col。

（5）若v的鄰接頂點col未被訪問過的，則col入隊列。

（6）繼續查找頂點v的另一個新的鄰接頂點col，轉到步驟（5）。

??????? 直到頂點v的所有未被訪問過的鄰接點處理完。轉到步驟（2）。

廣度優先遍歷圖是以頂點v為起始點，由近至遠，依次訪問和v有路徑相通而且路徑長度為1，2，……的頂點。為了使“先被訪問頂點的鄰接點”先于“后被訪問頂點的鄰接點”被訪問，需設置隊列存儲訪問的頂點。

偽代碼

（1）初始化隊列Q；visited[n]=0；

（2）訪問頂點v；visited[v]=1；頂點v入隊列Q；

（3） while（隊列Q非空）???

????????????? v=隊列Q的對頭元素出隊；

????????????? w=頂點v的第一個鄰接點；

???????????? while（w存在）?

???????????????????? 如果w未訪問，則訪問頂點w；

???????????????????? visited[w]=1；

???????????????????? 頂點w入隊列Q；

???????????????????? w=頂點v的下一個鄰接點。

四：舉例說明

package com.hbut.test; import java.util.Scanner; /** * Created by HP on 2017/6/4. */ /* * 定義圖的結構 */ class Graph {static final int MaxNum=20; //最大節點數目 static final int MaxValue=65535; char[] Vertex = new char[MaxNum]; //定義數組，保存頂點信息 int GType; //圖的類型0：無向圖 1：有向圖 int VertxNum; //頂點的數量 int EdgeNum; //邊的數量 int[][] EdgeWeight = new int[MaxNum][MaxNum]; //定義矩陣保存頂點邊的信息 int[] isTrav = new int[MaxNum]; //遍歷標志 }public class GraphTest {/** * @param args * Author：thinkgamer */ static Scanner scan = new Scanner(System.in); //創建鄰接矩陣圖 static void createGraph(Graph g){int i , j , k; int weight; //權 char EstartV, EndV; //邊的起始頂點 System.out.println("輸入圖中各頂點的信息"); for(i=0; i < g.VertxNum; i ++){System.out.println("第" + (i+1) + "個頂點"); g.Vertex[i] = (scan.next().toCharArray() )[0]; }System.out.println("輸入構成各個邊的頂點和權值"); for(k=0;k<g.EdgeNum;k++){System.out.println("第" + (k+1) + "條邊："); EstartV = scan.next().charAt(0); //起始點 EndV = scan.next().charAt(0); //終點 weight = scan.nextInt(); //權值 for(i=0; EstartV!=g.Vertex[i] ; i++); //在已有頂點中查找開始節點 for(j=0; EndV != g.Vertex[j]; j++); //在已有節點上查找終結點 g.EdgeWeight[i][j] = weight; //對應位置保存權重，表示有一條邊 if(g.GType == 0) //如果是無向圖，在對角位置保存權重 g.EdgeWeight[j][i] = weight; }}//清空圖 static void clearGraph(Graph g){int i,j; for(i=0; i< g.VertxNum; i++)for(j =0; j<g.VertxNum; j++)g.EdgeWeight[i][j] = Graph.MaxValue; //設置矩陣中各元素的值為MaxValue }//輸出鄰接矩陣 static void OutGraph(Graph g){int i,j; System.out.print("圖的頂點信息："); for(j = 0; j < g.VertxNum;j ++)System.out.print("\t" + g.Vertex[j]); //在第一行輸入頂點信息 System.out.println(); for(i =0 ;i <g.VertxNum; i ++){System.out.print( g.Vertex[i]); for(j = 0;j < g.VertxNum; j++){if(g.EdgeWeight[i][j] == Graph.MaxValue) //若權值為最大值 System.out.print("\tZ"); //Z 表示無窮大 else System.out.print("\t" + g.EdgeWeight[i][j]); //輸出邊的權重 }System.out.println(); }}//遍歷圖 static void DeepTraOne(Graph g,int n){//從第n個節點開始遍歷 int i; g.isTrav[n] = 1; //標記為1表示該頂點已經被處理過 System.out.println("—>" + g.Vertex[n]); //輸出節點數據 //遍歷鄰接矩陣中第n個節點的直接連通關系 for(i = 0; i< g.VertxNum; i++){if(g.EdgeWeight[n][i] != g.MaxValue && g.isTrav[i] == 0)//目標節點與當前節點連通，并且該節點沒有被訪問過 {DeepTraOne(g, i); //遞歸進行遍歷 }}}//深度優先遍歷 static void DeepTraGraph(Graph g){int i; for(i = 0; i< g.VertxNum; i++){g.isTrav[i]= 0; }System.out.println("深度優先遍歷："); // 從沒有被遍歷的節點開始深度遍歷 for(i = 0; i< g.VertxNum ; i++){if(g.isTrav[i] == 0)DeepTraOne(g,i);// 若是連通圖，只會執行一次 }System.out.println(); }public static void main(String[] args) {Graph g = new Graph(); System.out.println("輸出生成圖的類型："); g.GType = scan.nextInt(); //圖的種類 System.out.println("輸入圖的頂點數量："); g.VertxNum = scan.nextInt(); System.out.println("輸入圖的邊數量："); g.EdgeNum = scan.nextInt(); clearGraph(g); //清空圖 createGraph(g); //生成鄰接表結構的圖 System.out.println("該圖的鄰接矩陣數據如下："); OutGraph(g); //輸出圖 DeepTraGraph(g); //深度優先遍歷圖 }}

運行測試結果：

有向圖測試結果（無向圖類似，只是在輸入生成圖類型時輸入0）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图的存储以及深度优先以及广度优先遍历的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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