寫在篇前

??本篇文章主要介紹NMF算法原理以及使用sklearn中的封裝方法實現該算法，最重要的是理解要NMF矩陣分解的實際意義，將其運用到自己的數據分析中！

理論概述

??NMF(Non-negative matrix factorization)，即對于任意給定的一個非負矩陣V，其能夠尋找到一個非負矩陣W和一個非負矩陣H，滿足條件V=W*H,從而將一個非負的矩陣分解為左右兩個非負矩陣的乘積。**其中，V矩陣中每一列代表一個觀測(observation)，每一行代表一個特征(feature)；W矩陣稱為基矩陣，H矩陣稱為系數矩陣或權重矩陣。這時用系數矩陣H代替原始矩陣，就可以實現對原始矩陣進行降維，得到數據特征的降維矩陣，從而減少存儲空間。**過程如下圖所示：

??nmf更詳盡的原理可以參考Non-negative matrix factorization - Wikipedia，這里我主要列出我很關注的損失函數(lossFunction or objective function)：

• squared frobenius norm
  $$\underset{W,H}{argmin}\frac{1}{2}||A?WH|{|}_{Fro}^2+\alpha \rho ||W|{|}_1+\alpha \rho ||H|{|}_1+\frac{\alpha (1?\rho )}{2}||W|{|}_{Fro}^2+\frac{\alpha (1?\rho )}{2}||H|{|}_{Fro}^2$$
  ? 其中：
  $$\frac{1}{2}||A?WH|{|}_{\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}}^2=\frac{1}{2}\sum _{i,j}(A_{ij}?{WH}_{ij}{)}^2$$
  ? $\alpha$為L1&L2正則化參數，而\rho為L1正則化占總正則化項的比例。||*||_1為L1范數。

• Kullback-Leibler (KL)
  $$d_{KL}(X,Y)=\sum _{i,j}(X_{ij}\log (\frac{X_{ij}}{Y_{ij}})?X_{ij}+Y_{ij})$$

• Itakura-Saito (IS)

$$d_{IS}(X,Y)=\sum _{i,j}(\frac{X_{ij}}{Y_{ij}}?\log (\frac{X_{ij}}{Y_{ij}})?1)$$
? 實際上，上面三個公式是beta-divergence family中的三個特殊情況（分別是當$\beta =2,1,0$），其原型是：
$$d_{\beta }(X,Y)=\sum _{i,j}\frac{1}{\beta (\beta ?1)}(X_{ij}^{\beta }+(\beta ?1)Y_{ij}^{\beta }?\beta X_{ij}{Y}_{ij}^{\beta ?1})$$

代碼實現

代碼解讀

???在sklearn封裝了NMF的實現，可以非常方便我們的使用，其實現基本和前面理論部分的實現是一致的，但是注意sklearn中輸入數據的格式是（samples, features）：

from sklearn.decomposition import NMF from sklearn.datasets import load_irisX, _ = load_iris(True)# can be used for example for dimensionality reduction, source separation or topic extraction # 個人認為最重要的參數是n_components、alpha、l1_ratio、solver nmf = NMF(n_components=2, # k value,默認會保留全部特征init=None, # W H 的初始化方法，包括'random' | 'nndsvd'(默認) | 'nndsvda' | 'nndsvdar' | 'custom'.solver='cd', # 'cd' | 'mu'beta_loss='frobenius', # {'frobenius', 'kullback-leibler', 'itakura-saito'}，一般默認就好tol=1e-4, # 停止迭代的極限條件max_iter=200, # 最大迭代次數random_state=None,alpha=0., # 正則化參數l1_ratio=0., # 正則化參數verbose=0, # 冗長模式shuffle=False # 針對"cd solver")# -----------------函數------------------------ print('params:', nmf.get_params()) # 獲取構造函數參數的值，也可以nmf.attr得到，所以下面我會省略這些屬性# 下面四個函數很簡單，也最核心，例子中見 nmf.fit(X) W = nmf.fit_transform(X) W = nmf.transform(X) nmf.inverse_transform(W) # -----------------屬性------------------------ H = nmf.components_ # H矩陣 print('reconstruction_err_', nmf.reconstruction_err_) # 損失函數值 print('n_iter_', nmf.n_iter_) # 實際迭代次數

注意點：

• init參數中，nndsvd（默認）更適用于sparse factorization，其變體則適用于dense factorization.
• solver參數中，如果初始化中產生很多零值，Multiplicative Update (mu) 不能很好更新。所以mu一般不和nndsvd使用，而和其變體nndsvda、nndsvdar使用。
• solver參數中，cd只能優化Frobenius norm函數；而mu可以更新所有損失函數

案例1

??第一個案例很簡單，目的是理解分解出來的這兩個矩陣能用來干嘛，分別是什么意思，但是其實我在文章第一部分已經解釋了，直接看例子：

>>> import numpy as np >>> X = np.array([[1, 1], [2, 1], [3, 1.2], [4, 1], [5, 0.8], [6, 1]]) >>> from sklearn.decomposition import NMF >>> model = NMF(n_components=2, init='random', random_state=0) >>> W = model.fit_transform(X) >>> H = model.components_ >>> X_new = np.array([[1, 0], [1, 6.1], [1, 0], [1, 4], [3.2, 1], [0, 4]]) >>> W_new = model.transform(X_new) >>> W_new # 輸出 W_new

array([[0.35919303],
? [0.86264547],
? [0.35919303],
? [0.68932578],
? [1.23195088],
? [0.33013275]])

??ok，這個小例子就說明了我們通過NMF獲得系數矩陣H,并用系數矩陣H獲得新矩陣W_new的基矩陣，實現W_new的數據降維(or 特征提取)。實際上，這時W_new = model.transform(X_new)做的工作相當于：

np.mat(X_new)*(np.mat(H).I)

matrix([[0.35919303],
? [0.86264547],
? [0.35919303],
? [0.68932578],
? [1.23195088],
? [0.33013275]])

案例2

??這里再舉一個NMF在圖像特征提取的應用，來自官方示例，根據我的需要改動了一些：

from time import time from numpy.random import RandomState import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.datasets import fetch_olivetti_faces from sklearn import decompositionn_row, n_col = 2, 3 n_components = n_row * n_col image_shape = (64, 64) rng = RandomState(0)# ############################################################################# # Load faces data dataset = fetch_olivetti_faces('./', True,random_state=rng) faces = dataset.datan_samples, n_features = faces.shapeprint("Dataset consists of %d faces, features is %s" % (n_samples, n_features))def plot_gallery(title, images, n_col=n_col, n_row=n_row, cmap=plt.cm.gray):plt.figure(figsize=(2. * n_col, 2.26 * n_row))plt.suptitle(title, size=16)for i, comp in enumerate(images):plt.subplot(n_row, n_col, i + 1)vmax = max(comp.max(), -comp.min())plt.imshow(comp.reshape(image_shape), cmap=cmap,interpolation='nearest',vmin=-vmax, vmax=vmax)plt.xticks(())plt.yticks(())plt.subplots_adjust(0.01, 0.05, 0.99, 0.93, 0.04, 0.)# ############################################################################# estimators = [('Non-negative components - NMF',decomposition.NMF(n_components=n_components, init='nndsvda', tol=5e-3)) ]# ############################################################################# # Plot a sample of the input dataplot_gallery("First centered Olivetti faces", faces[:n_components])# ############################################################################# # Do the estimation and plot itfor name, estimator in estimators:print("Extracting the top %d %s..." % (n_components, name))t0 = time()data = facesestimator.fit(data)train_time = (time() - t0)print("done in %0.3fs" % train_time)components_ = estimator.components_print('components_:', components_.shape, '\n**\n', components_)plot_gallery('%s - Train time %.1fs' % (name, train_time),components_) plt.show()#---------------------------其他注釋--------------------------- V矩陣：400*4096 W矩陣：400*6 H矩陣：6*4096

??下面是script運行結果：

寫在篇后

??NMF最早由科學家D.D.Lee和H.S.Seung提出的一種非負矩陣分解方法，并在Nature發表文章《Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization》。隨后也有了很多NMF變體，應用也越發廣泛，包括文本降維、話題提取、圖像處理等。這里必須指出，我看到一份NMF非常完整的資料，但是精力有限，不能全面cover，有興趣的同學可以參考nimfa。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【机器学习】NMF(非负矩阵分解)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。