一 問題引入

在生物學中，經(jīng)常需要比較兩個不同生物的DNA，一個DNA串由由一串稱為堿基的的分子組成，堿基有鳥嘌呤，腺嘌呤，胞嘧啶，胸腺嘧啶四中，我們用英文字母的首字母表示四種堿基，那么DNA就是在有限集{A,C,G,T}上的一個字符串。例如某種生物的DNA序列為：S1=ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA，S2=GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA，我們比較兩個DNA串的原因就是希望確定他們的相似度，作為衡量兩個物種相似度的標準。如果一個串是另外一個串的子串，那么它們就是相似的，但是這里彼此都不是彼此的子串。于是我們就有了新的衡量標準：尋找一個新串S3，使得S3中的元素都在S1，S2中出現(xiàn)過，且不要求連續(xù)，但是堿基在三個串中出現(xiàn)的順序一定要相同。可以找到的S3的長度越長，表明兩個物種越相似！

二?問題描述
給定兩個字符串X[A,B,C,B,D,A,B]和Y[B,D,C,A,B,A],求X和Y的最長公共子序列LCS

三 思路

1 采用暴力破解法: 掃描X所有的可能子串, 取其中一個字符時候,存在 取或不取兩種情況, 假設(shè)X字符串有M個字符,則子串個數(shù)為2的M次方,

假設(shè)Y有N個字符,將M中取出的子串與Y中進行對比,最后的時間復雜度為 N*2^M， ?簡直是龜速啊。。。

2 簡化方案

?2.1 從題目描述中?X = [A,B,C,B,D,A,B] ,?Y[B,D,C,A,B,A] ,目測最大公共子串為 BDAB , BCAB ,最長為4.

?2.2 假設(shè)從一開始就知道X,Y的最大長度為4 ，那么只要關(guān)心X為4的子串與Y進行對比,這樣效率就提高了.

?2.3 進一步假設(shè)X字符串轉(zhuǎn)為char數(shù)組后坐標為{0,1,2,3,4.....M} , 同理Y為{0,1,2,3...N}

? ?假設(shè) ?i ?<= M , j <= N ?, c[i][j] =LCS( X,Y) ?. // i ,j 為一個int整數(shù) ?, c[i][j]為 X的char數(shù)組{0,1,2,3....i} 和Y的char數(shù)組{0,1,2,3...j} 最大公共子串的長度

?// LCS 為?longestcommon?subsequence ( ?最長公共子串 ) 的縮寫 .

? ?那么對于X{0,1,2,3.....M} , Y{0,1,2,3....N}的最大公共子串長度為

? ?c[i][j] + LCS(X1,Y1)

?其中 X1 的坐標{ i+1,i+2,.....M } ,Y1坐標為{j+1,j+2....N}.

? 求最大公共子串長度總結(jié) : ?一部分長度( 假設(shè)已知) ?+ 另外一部長度( 需要求的?)?

四 公式

最大公共子串公式1

? if (X[i] == Y[j] ) ??c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1 ?

? ?證明 :

假設(shè)X , Y (見圖1) , 在X {0，1，2，...i} , Y {0,1,2,3...j} 中最長公共子串長度為 k ,那么 在X{0,1,2,3...,i-1} ,Y{0,1,2,3,...,j-1}(見圖2)中最長公共子串長度為k-1

圖1

圖2

反證法 : X{0,1,2,3...,i-1} ,Y{0,1,2,3,...,j-1}中最長公共子串長度為k-1不成立, 即存在一個w ( w > k-1 ) ,那么 如上圖2 , 當 X[i] == Y[j] 時候, 即在X {0，1，2，...i} , Y {0,1,2,3...j} 中, 最大公共子串長度為 w+1 > ( ?k-1 ) +1 > k ,這與原命題矛盾,所以不存在這樣一個w值.

即 ?? if (X[i] == Y[j] ) ??c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1 ?

最大公共子串公式2

? if (X[i] != Y[j] ) ?c[i][j] = max( c[i][j-1] , c[i-1][j] ) ?// max (a ,b) 返回a,b兩個數(shù)中最大的一個 ,如果相等,則返回a

理解 : c[i][j] 對應圖3 , c[i-1][j] 對應圖4, c[i][j-1]對應圖5, 那么最大公共子串長度一定是c[i-1][j] 和c[i][j-1]中的一個 ,用上面反證法即可證明.

圖3

圖4

圖5

五 遞歸調(diào)用圖

假設(shè)X{0,1,2,3..M},Y{0,1,2,3,...N} 中M =7 , N = 6,那么它的調(diào)用圖如下.

從這幅圖中看出

1 樹的高度為 M+N = 7+6 = 15

2 時間復雜度 2^(M+N) = 2^13 (比暴力破解時間N*2^M=6*2^7還要多很多, 假設(shè)不采用備忘錄法和沒有重復情況下, 動態(tài)規(guī)劃時間復雜度比暴力破解復雜度高很多,但?經(jīng)測試在M=29，N=28,時候 ,暴力破解法時間為 300萬次 ,動態(tài)規(guī)劃調(diào)用1000多次,后面有代碼,可自行測試)

3 有少量重復調(diào)用,比如紅框1和紅框2，都是遞歸6,5這種情況

六 動態(tài)規(guī)劃的特征

1 最優(yōu)子結(jié)構(gòu) (包含問題最優(yōu)解),如?最大公共子串公式2 .

2 重復子問題,如?五 遞歸調(diào)用圖

七 自頂向下+備忘錄法 java代碼

偽代碼 ?

LCS(x,y,i,j)if(x[i]==y[j]) c[i][j] = LCS(x,y,i-1,j-1)+1else c[i][j] = max(LCS(x,y,i-1,j) , LCS(x,y,i,j-1)) return c[i][j]
java代碼

LCS.java

public class LCS {private static int[][] c;private static int counter;/*** 判斷是否為空* */private static boolean isNullOrBlank(String source){if(source==null||"".equals(source.replace(" ", ""))) return true;return false;}/*** 得到最長公共子串* */public static int getLcs(String xStr,String yStr){if( isNullOrBlank(xStr) || isNullOrBlank(yStr) ) return 0;char[] xChar = xStr.toCharArray();char[] yChar = yStr.toCharArray();c = new int[xChar.length][yChar.length];int lcsMaxNumber = getLcsMaxNumber(xChar,yChar,xChar.length-1,yChar.length-1);return lcsMaxNumber;}private static int max(int x,int y){if(x>y) return x;return y;}// /** // * 不采用備忘錄法 // * 得到LCS最長公共子串的長度 // * */ // private static int getLcsMaxNumber(char[] x,char[] y,int i,int j){ // counter++; // if(i>=0&&j>=0){ // c[i][j]初始化為0，當不為0時,表示已經(jīng)遍歷過 // if(x[i]==y[j]){ // c[i][j] = getLcsMaxNumber(x,y,i-1,j-1) + 1; // }else{ // c[i][j] = max(getLcsMaxNumber(x,y,i-1,j),getLcsMaxNumber(x,y,i,j-1)); // } // System.out.println("counter = "+counter+" c["+i+"]["+j+"] = " + c[i][j]); // return c[i][j]; // } // // return 0; // }/*** 備忘錄法* 得到LCS最長公共子串的長度* */private static int getLcsMaxNumber(char[] x,char[] y,int i,int j){counter++;if(i>=0&&j>=0){ if(c[i][j]==0){if(x[i]==y[j]){ // c[i][j]初始化為0，當不為0時,表示已經(jīng)遍歷過c[i][j] = getLcsMaxNumber(x,y,i-1,j-1) + 1;}else{c[i][j] = max(getLcsMaxNumber(x,y,i-1,j),getLcsMaxNumber(x,y,i,j-1));} }System.out.println("counter = "+counter+" c["+i+"]["+j+"] = " + c[i][j]);return c[i][j];}return 0;}public static void main(String[] args) { // String x = "ABCBDAB"; // String y = "BDCABA";String x = "ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA";String y = "GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA";int number = LCS.getLcs(x, y);System.out.println(number);}} 對于前面提到的DNA的輸出最大公共子串長度為20

八 回溯法求最大公共子串

回溯法原理

假設(shè)?X = "ABCBDAB"; ?Y= "BDCABA",它們生成一副下面的圖

↖???↑???←符號解釋
?↖ 輸出該y{j}的值，并且向左斜角走一步 ? ↑ 表示向上走一步? ??←向左走一步
那么當 i = 7 , j = 6時候, 輸出元素為?ABCB ,把該字符串反向后,為BCBA( BCBA即為X和Y的最大公共子串?)
最大公共完整java代碼 （代碼中 b+c 為對應上面回溯原理中的圖） public class LCS2 {private static int[][] c; //保存長度private static char[][] b; //保存特殊符號 ↖ ↑ ←/*** 判斷是否為空* */private static boolean isNullOrBlank(String source){if(source==null||"".equals(source.replace(" ", ""))) return true;return false;}/*** 得到最長公共子串* */public static String getLCS(String x,String y){//判斷x,y是否為空if( isNullOrBlank(x) || isNullOrBlank(y) ) return null;//初始化變量int m = x.length();int n = y.length();b = new char[m][n];c = new int[m][n];char[] xChar = x.toCharArray();char[] yChar = y.toCharArray();//調(diào)用獲取最大公共子串長度方法getLcsMaxNumber(xChar,yChar,xChar.length-1,yChar.length-1);//回溯法得到最長公共子串StringBuffer sb = new StringBuffer();PRINT_LCS(sb,xChar,yChar,m-1,n-1);return sb.toString();}private static int max(int x,int y){if(x>y) return x;return y;}/*** 備忘錄法* 得到LCS最長公共子串的長度* */private static int getLcsMaxNumber(char[] x,char[] y,int i,int j){if(i>=0&&j>=0){ if(c[i][j]==0){if(x[i]==y[j]){ // c[i][j]初始化為0，當不為0時,表示已經(jīng)遍歷過c[i][j] = getLcsMaxNumber(x,y,i-1,j-1) + 1;b[i][j] = '↖';}else{int i_1 = getLcsMaxNumber(x,y,i-1,j);int j_1 = getLcsMaxNumber(x,y,i,j-1);if(i_1>j_1){c[i][j] = i_1;b[i][j] = '↑';}else{c[i][j] = j_1;b[i][j] = '←';}} }return c[i][j];}return 0;}//回溯法得到最長公共子串private static void PRINT_LCS(StringBuffer sb,char[] x,char[] y,int i,int j){if(i==0 || j==0 ){if(b[i][j]=='↖'){sb.append(x[i]);}return ;}if(b[i][j]=='↖'){PRINT_LCS(sb,x,y,i-1,j-1);sb.append(x[i]);}else if(b[i][j]=='↑'){PRINT_LCS(sb,x,y,i-1,j);}else if(b[i][j]=='←'){PRINT_LCS(sb,x,y,i,j-1);}}public static void main(String[] args) { // String x = "ABCBDAB"; // String y = "BDCABA";String x = "ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA";String y = "GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA";String lcs = LCS2.getLCS(x, y);System.out.println("最大公共子串為 = " + lcs);}} 問題引入中?DNA序列為：S1=ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA，S2=GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA的, 由該程序求得,最大公共子串為 ?= GTCGTCGGAAGCCGGCCGAA

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划之最长公共子串的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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